1、12/5/2022 3:43:54 PM12/5/2022 3:43:54 PM 云在漫步云在漫步12/5/2022 3:43:56 PM12/5/2022 3:43:56 PM 云在漫步云在漫步人类的家地球人类的家地球未来的家火星未来的家火星探索火星的航天飞船探索火星的航天飞船12/5/2022 3:43:56 PM12/5/2022 3:43:56 PM 云在漫步云在漫步怎样求球的体积和表面积？怎样求球的体积和表面积？球既没有底面，也无法象柱、锥、台体一样展成球既没有底面，也无法象柱、锥、台体一样展成平面图形，怎样求球的表面积和体积呢？平面图形，怎样求球的表面积和体积呢？12/5/2022
2、 3:43:56 PM12/5/2022 3:43:56 PM 云在漫步云在漫步343VR球球24SR球球面面O O12/5/2022 3:43:56 PM12/5/2022 3:43:56 PM 云在漫步云在漫步hH12/5/2022 3:43:56 PM12/5/2022 3:43:56 PM 云在漫步云在漫步幂势既同，则积不容异幂势既同，则积不容异 夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等总相等，那么这两个几何体
3、的体积相等利用此原理如何得到球的体积公式利用此原理如何得到球的体积公式?12/5/2022 3:43:56 PM12/5/2022 3:43:56 PM 云在漫步云在漫步R RR RRrlll222()SrRl12V球球2213RRRR343VR球球12/5/2022 3:43:57 PM12/5/2022 3:43:57 PM 云在漫步云在漫步RS131234111133333RVRSRSRSRS球球球球面面24SR球球面面12/5/2022 3:43:57 PM12/5/2022 3:43:57 PM 云在漫步云在漫步如图，圆柱的底面直经与高都等于球的直经如图，圆柱的底面直经与高都等于球的
4、直经2R求证：求证：(1)球的体积等于圆柱体积的球的体积等于圆柱体积的2/3；(2)(2)球的表面积等于圆柱的侧面积球的表面积等于圆柱的侧面积解：解：3234,223VR VRRR球球柱柱23VV球球柱柱224,=224SRSRRR球球圆柱侧圆柱侧SS球球圆柱侧圆柱侧12/5/2022 3:43:57 PM12/5/2022 3:43:57 PM 云在漫步云在漫步例例1.1.钢球直径是钢球直径是5cm,5cm,求它的体积求它的体积.3336125)25(3434cmRV注意：题目的变换12/5/2022 3:43:57 PM12/5/2022 3:43:57 PM 云在漫步云在漫步（变式（变式
5、1 1）一种空心钢球的质量是）一种空心钢球的质量是142g,142g,外外径是径是5cm,5cm,求它的内径求它的内径.(.(钢的密度是钢的密度是7.9g/cm7.9g/cm2 2)解:设空心钢球的内径为2xcm,则钢球的质量是答:空心钢球的内径约为4.5cm.3.1149.73142)25(33x由计算器算得:24.2x5.42 x142 34)25(349.733x12/5/2022 3:43:57 PM12/5/2022 3:43:57 PM 云在漫步云在漫步(变式变式2)2)把直径为把直径为5cm5cm的钢球放入一个正的钢球放入一个正方体的有盖纸盒中方体的有盖纸盒中,至少要用多大的纸至
6、少要用多大的纸?用料最省时用料最省时,球与正方体有什么位置关系球与正方体有什么位置关系?球球内切于正方体内切于正方体2215056cmS侧侧棱长为侧棱长为5cm12/5/2022 3:43:57 PM12/5/2022 3:43:57 PM 云在漫步云在漫步1.球的直径伸长为原来的球的直径伸长为原来的2倍倍,体积变为原来体积变为原来的几倍的几倍?8倍倍12/5/2022 3:43:57 PM12/5/2022 3:43:57 PM 云在漫步云在漫步例例2.2.如图，正方体如图，正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱长为的棱长为a,a,它的各个它的各个顶点都
7、在球顶点都在球O O的球面上，问球的球面上，问球O O的表面积。的表面积。A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O OA AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。略解：关键关键：找找正方体的棱长正方体的棱长a a与球半径与球半径R R之间的关系之间的关系2222211113423,)2()2(22:aRSaRaaRaDBRDB
8、DDBRt得得：，中中112/5/2022 3:43:58 PM12/5/2022 3:43:58 PM 云在漫步云在漫步2.一个正方体的顶点都在球面上一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是它的棱长是4cm,求这个球的体积求这个球的体积.332A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O正方体的体对角线为球的直径32342144421222r332)32(343433rV12/5/2022 3:43:58 PM12/5/2022 3:43:58 PM 云在漫步云在漫步24 RS定理定理:半径是半径是R的球的表面积的球的表面积球面：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所
9、成的曲面。球面：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面。球球(即球体即球体):):球面所围成的几何体。球面所围成的几何体。它包括它包括球面球面和和球面所包围的空间球面所包围的空间。球的球的表面积表面积12/5/2022 3:43:58 PM12/5/2022 3:43:58 PM 云在漫步云在漫步(1)(1)若球的表面积变为原来的若球的表面积变为原来的2 2倍倍,则半径变为原来则半径变为原来倍。倍。(2)(2)若球半径变为原来的若球半径变为原来的2 2倍，则表面积变为原来的倍，则表面积变为原来的倍。倍。(3)(3)若两球表面积之比为若两球表面积之比为1:21:2，则其体积之比是，则其体积之比是
10、。(4)(4)若两球体积之比是若两球体积之比是1:21:2，则其表面积之比是，则其表面积之比是。练练 习习2422:134:112/5/2022 3:43:58 PM12/5/2022 3:43:58 PM 云在漫步云在漫步圆柱球VV32圆柱侧面积球表面积SS教材教材P27例例4所得结论所得结论条件：圆柱的底面直径和高都等于球的直径12/5/2022 3:43:58 PM12/5/2022 3:43:58 PM 云在漫步云在漫步12/5/2022 3:43:58 PM12/5/2022 3:43:58 PM 云在漫步云在漫步12/5/2022 3:43:58 PM12/5/2022 3:43:58 PM 云在漫步云在漫步12/5/2022 3:43:58 PM12/5/2022 3:43:58 PM 云在漫步云在漫步作业作业
