1、八年级数学下册八年级数学下册(人教版人教版)第十八章 勾股定理学习目标 1、知识与技能 掌握勾股定理反映的数量关系；会用拼图法、面积法证明勾股定理；在生活实践中学会使用勾股定理。2、过程与方法 通过“观察猜想归纳验证”过程理解勾股定理；学会从特殊到一般的数学思考方法。3、情感态度、价值观 通过实验、猜想、拼图、证明等了解数学知识的发生发展过程，学会合作交流，体验探究乐趣，增强探索意识；感受勾股定理的悠久历史，激发学习热情。除地球外，别的星球上有没有生命呢？自古以来，人类就不断发出这样的疑问，特别是近年来不断出现的UFO事件，更让人们相信有外星人的说法，如果真的有，那我们怎么和他们交流呢？我国著
2、名数学家华罗庚在多年前曾提出这样的设想：向太空发射一种图形，因为这种图形在几千年前就已经被人类所认识，如果他们是“文明人”，也必定认识这种图形.一、创设情境 那么这到底是一种什么样的图形呢？它真的有那么大的魅力吗？下面就让我们通过时光隧道，和古希腊的数学家毕达哥拉斯一起来研究这种图形吧。毕达哥拉斯(公元前572-前492年),古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家。相传有一次他在朋友家做客时，发现朋友家用砖铺成的地面中反映了A、B、C三者面积之间的数量关系，进而发现直角三角形三边的某种数量关系AB C 我们也来观察右图的地面，你能发现A、B、C面积之间有什么数量关系吗？S SA A+S+SB B
3、=S=SC C每块砖都是等腰直角三角形哦（图中每个小方格是1个单位面积）1.A中含有_个小方格，即A的面积是 个单位面积B的面积是 个单位面积C的面积是 个单位面积99189探究一：你能发现图1中正方形A、B、C的面积之间有什么数量关系吗？二、实验探究ABC图1结论：图1中三个正方形A，B，C的面积之间的数量关系是:S SA A+S+SB B=S=SC C探究二：S SA A+S+SB B=S=SC C在图2中还成立吗？ABC图2结论：仍然成立。A的面积是 个单位面积B的面积是 个单位面积C的面积是 个单位面积252516169 9 你是怎样得到正方形C的面积的？与同伴交流交流（图中每个小方格
4、是1个单位面积）ABC问题2:式子SA+SB=SC能用直角三角形的三边a、b、c来表示吗?问题4:那么直角三角形三边a、b、c之间的关系式是:abccbaCBA 至此，我们在网格中验证了:直角三角形两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形面积，即SA+SB=SCa a2 2+b+b2 2=c=c2 2a a2 2+b+b2 2=c=c2 2问题1:去掉网格结论会改变吗？问题3:去掉正方形结论会改变吗？命题1：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b,斜边长为c，那么a2+b2=c2.a ab bc c我们猜想：是不是所有的直角三角形都具有这样的结论呢？光靠实验和猜想还不能把问题彻底搞清楚。
5、这就需要我们对一般的直角三角形进行证明下面我们就一起来探究，看一看我国古代数学家赵爽是怎样证明这个命题的三、拼图证明 以直角三角形的两条直角边a、b为边作两个正方形，把两个正方形如图1连在一起，通过剪、拼把它拼成图2的样子。你能做到吗？试试看。赵爽拼图证明法：bac c 小组活动：仿照课本中赵爽的思路，只剪两刀，将两个连体正方形，拼成一个新的正方形.图1ab黄实图2c c黄实bbaacbab aba22ab2c bacbaMNP剪、拼过程展示：赵爽弦图的证法赵爽弦图的证法224()42SSSabcb a 大大正正方方形形小小正正方方形形直直角角三三角角形形化简得：化简得：c2=a2+b2“赵爽
6、弦图”黄实c ca ab b“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲。因此，当 2002年第24届国际数学家大会在北京召开时，“赵爽弦图”被选作大会会徽。现在，我们已经证明了命题1的正确性，在数学上，经过证明被确认为正确的命题叫做定理，所以命题1在我国叫做勾股定理。勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为a、b,斜边长为c，那么 a2+b2 =c2即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。为什么叫勾股定理这个名称呢？原来在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”。于是我国古代学者就把直角三角形中较短直角边称为“勾”，较长直角
7、边称为“股”，斜边称为“弦”.由于命题1反映的正好是直角三角形三边的关系，所以叫做勾股定理。勾股国外又叫毕达哥拉斯定理其他证明方法 勾股定理是几何学中的明珠，它充满了无穷的魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家、画家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种。关于勾股定理的证明，现在人类保存下来的最早的关于勾股定理的证明，现在人类保存下来的最早的文字资料是欧几里得（公元前文字资料是欧几里得（公元前300年左右）所著的年左右）所著的几几何原本何原本第一卷中的命题第一卷中的命题47：“直角三角形斜边
8、上的正直角三角形斜边上的正方形等于两直角边上的两个正方形之和方形等于两直角边上的两个正方形之和”其证明是用其证明是用面积来进行的面积来进行的传说中毕达哥拉斯的证法传说中毕达哥拉斯的证法已知：如图，以在已知：如图，以在RtABC中，中，ACB=90，分别以，分别以a、b、c为边向外作正方形为边向外作正方形 求证：求证：a2+b2=c2 S矩形矩形ADNM2SADC又又正方形正方形ACHK和和ABK同底（同底（AK）、等高（即等高（即平行线平行线AK和和BH间的距离），间的距离），S正方形正方形ACHK2SABK ADAB，ACAK，CADKAB，ADC ABK 由此可得由此可得S矩形矩形ADNM
9、S正方形正方形ACHK 同理可证同理可证S矩形矩形MNEBS正方形正方形CBFG S矩形矩形ADNMS矩形矩形MNEBS正方形正方形ACHKS正方形正方形CBFG 即即S正方形正方形ADEBS正方形正方形ACHKS正方形正方形CBFG，也就是也就是 a2+b2=c2传说中毕达哥拉斯的证法传说中毕达哥拉斯的证法证明：从证明：从RtABC的三边向外各作一个正方形（如图），作的三边向外各作一个正方形（如图），作CNDE交交AB于于M，那么正方形，那么正方形ABED被分成两个矩形连结被分成两个矩形连结CD和和KB返回由于矩形由于矩形ADNM和和ADC同同底（底（AD），等高，等高(即平行线即平行线AD
10、和和CN间的距离间的距离)，刘徽在刘徽在九章算术九章算术中对勾股定理的证明：中对勾股定理的证明：勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不移动也合成弦方之幂，开从其类，因就其余不移动也合成弦方之幂，开方除之，即弦也方除之，即弦也令正方形令正方形ABCD为朱方，正方为朱方，正方形形BEFG为青方在为青方在BG间取一点间取一点H，使使AH=BG，裁下，裁下ADH，移至，移至CDI，裁下，裁下HGF，移至，移至IEF，是为是为“出入相补，各从其类出入相补，各从其类”，其，其余不动，则形成弦方正方形余不动，则形成弦方正方形DHFI勾股定理由此
11、得证勾股定理由此得证 刘徽的证法刘徽的证法返回学过几何的人都知道勾股定理它是几何中一个比较重要的定理，应学过几何的人都知道勾股定理它是几何中一个比较重要的定理，应用十分广泛迄今为止，关于勾股定理的证明方法已有用十分广泛迄今为止，关于勾股定理的证明方法已有500余种其中，美余种其中，美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话总统为什么会想到去证明勾股定理呢？难道他是数学家或数学爱好者？总统为什么会想到去证明勾股定理呢？难道他是数学家或数学爱好者？答案是否定的事情的经过是这样的：答案是否定的事情的经过是这样的：1876年一个周末的傍晚，在美国
12、首都华盛顿的郊外，有一位中年人正年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会德他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨由于好奇心驱使伽菲尔神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么只见一个小男德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么只见一个小男孩正俯着身子用树
13、枝在地上画着一个直角三角形于是伽菲尔德便问他们孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为的两条直角边分别为3和和4，那么斜边长为多少呢？，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到：伽菲尔德答到：“是是5呀呀”小男孩又问道：小男孩又问道：“如果两条直角边分别为如果两条直角边分别为5和和7，那么这个直角三角，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一那斜边的平
14、方一定等于定等于5的平方加上的平方加上7的平方的平方”小男孩又说道：小男孩又说道：“先生，你能说出其中的先生，你能说出其中的道理吗？道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味 于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁题他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法的证明方法总统巧证勾股定理总统巧证勾股定理美国第二十任美国第二十任总统伽菲尔德总统伽菲尔德总统巧证勾股定理总统巧证勾股
15、定理aabbccADCBE向常春的证明方法向常春的证明方法2111()()222ABCDSabbabaab 梯梯形形22211()22111222EBCAECDABCDSSScab bcabb 四四边边形形梯梯形形2221111122222aabcabb 222:abc 从从而而得得到到 注注:这一方法是向常春这一方法是向常春于于1994年年3月月20日构想发日构想发现的新法现的新法abcba-bADCBEc 我们用拼图的方法来说明我们用拼图的方法来说明勾股定理是正确的勾股定理是正确的试试 一一 试试证明证明:上面的大正方形的面积为：上面的大正方形的面积为：下面大的正方形的面积为：下面大的正方
16、形的面积为：从右图中我们可以看出，这两个正方形的从右图中我们可以看出，这两个正方形的边长都是边长都是ab，所以面积相等，即，所以面积相等，即2142cab22142abab222222114422cabcbabcab（记住）勾股定理的各种表达式（记住）勾股定理的各种表达式：在在RtRtABCABC中，中，C=90C=90,A,A、B B、C C的对边分别为的对边分别为a a、b b、c,c,则则:c2=a2+b2a2=c2-b2b2=c2-a222ba c=a=22bcb=22aca ab bc cBCA例题：求出下列直角三角形中未知边的长度.解：（1）在RtABC中,由勾股定理得：AB2=A
17、C2+BC2X2=36+64x2=100 x2=62+82x0 y2+52=132 y2=132-52y2=144 y=12（2）在RtABC中,由勾股定理得:AC2+BC2=AB2y0A A68xC CB B5y13CABX=10四、实践应用方法总结：利用勾股定理建立方程.练习1：图中已知数据表示面积，求表示边的未知数x、y的值.916xy144169看谁算得快练习2：已知S1=1，S2=3，S3=2，S4=4,求S5、S6、S7的值.看谁算得快S1S2S4S5S6S7s s3 3ABCD7cm2如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角
18、形，其中最大的正方形的边长为都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则则正方形正方形A，B，C，D的面积之和为的面积之和为_cm2。491、求下列图中字母所表示的正方形的面积.=625=625225400A A22581B B=144=144五、反馈评价 以直角三角形三边为边作等边三角形,这3个等边三角形的面积之间有什么关系？ABCDEF11美丽的勾股树1、本节课我们学到了什么？通过学习,我们知道了著名的勾股定理，掌握了从特殊到一般的探索方法，还学会到了拼图证明的方法。2、学了本节课后我们有什么感想？我们发现有些数学结论就存在于平常的生活中，需要我们用数学的眼光去观察、思考、发现。六、感悟收获 只要我们细心观察、认真思考，就可以在生活中发现数学的奇妙，让我们在奇妙的数学世界里，不懈探索、自由翱翔，享受数学带给我们的乐趣吧！
