1、 华北科技学院华北科技学院 第二部分 积分变换傅里叶变换(第七章)拉普拉斯变换(第八章)复变函数与积分变换复变函数与积分变换12/5/2022 华北科技学院华北科技学院 1、何为积分变换?、何为积分变换?).()(),(Fdttftkba记记为为 所谓积分变换,实际上就是通过积分运算,把所谓积分变换,实际上就是通过积分运算,把一个函数变成另一个函数的一种变换一个函数变成另一个函数的一种变换.:变变量量,具具体体形形式式可可写写为为这这类类积积分分一一般般要要含含有有参参像像原原函函数数;是是要要变变换换的的函函数数,这这里里 )(tf像像函函数数;是是变变换换后后的的函函数数,)(F.),(积
2、积分分变变换换核核是是一一个个二二元元函函数数,tK 当选取不同的积分区域和核函数时,就得到不同当选取不同的积分区域和核函数时,就得到不同名称的积分变换名称的积分变换12/5/2022 华北科技学院华北科技学院 2、积分变换的产生、积分变换的产生 数学中经常利用某种运算先把复杂问题变为数学中经常利用某种运算先把复杂问题变为比较简单的问题,求解后,再求其逆运算就可得比较简单的问题,求解后,再求其逆运算就可得到原问题的解到原问题的解.原原 问问 题题原问题的解原问题的解直接求解困难直接求解困难变换变换较简单问题较简单问题变换后问题的解变换后问题的解求求 解解逆变换逆变换12/5/2022 华北科技
3、学院华北科技学院 如,初等数学中,曾经利用取对数将数的积、如,初等数学中,曾经利用取对数将数的积、商运算化为较简单的和、差运算;商运算化为较简单的和、差运算;基于这种思想,便产生了积分变换基于这种思想,便产生了积分变换.其主要体现在:其主要体现在:数学上:数学上:求解方程的重要工具;求解方程的重要工具;能实现卷积与能实现卷积与普通乘积之间的互相转化普通乘积之间的互相转化.工程上:工程上:是频谱分析、信号分析、线性系统分析是频谱分析、信号分析、线性系统分析的重要工具的重要工具.在工程数学里积分变换能够将分析运算(如在工程数学里积分变换能够将分析运算(如微分、积分)转化为代数运算微分、积分)转化为
4、代数运算.12/5/2022 华北科技学院华北科技学院 Chapter 7 傅里叶变换傅里叶变换 本章介绍傅氏积分、傅氏变换的概本章介绍傅氏积分、傅氏变换的概念及性质,以及一些常见函数的傅里叶念及性质,以及一些常见函数的傅里叶变换,并介绍单位脉冲函数(变换,并介绍单位脉冲函数(函数)函数)及其傅氏变换在工程技术中的应用。及其傅氏变换在工程技术中的应用。12/5/2022 华北科技学院华北科技学院 傅里叶分析发展的历史傅里叶分析发展的历史 1822年,法国数学家傅里叶年,法国数学家傅里叶(Fourier)提出提出“每一个周期函数都可以表示成三角函数之和每一个周期函数都可以表示成三角函数之和”,奠
5、定了傅里叶级数的理论基础。奠定了傅里叶级数的理论基础。1829年,法国数学家狄利克雷年,法国数学家狄利克雷(Dirichlet)以以严密的方式给出傅里叶级数与积分的存在条件的完严密的方式给出傅里叶级数与积分的存在条件的完整证明。整证明。一个周期信号只有在满足一个周期信号只有在满足狄利克雷条件狄利克雷条件的前提的前提下,才可以展开为傅里叶级数。下,才可以展开为傅里叶级数。12/5/2022 华北科技学院华北科技学院 傅里叶生平傅里叶生平176818301768年生于法国;年生于法国;1807年提出年提出“周期信周期信号都可以用弦函数的号都可以用弦函数的级数数来表示级数数来表示”,拉,拉朗日反对发
6、表;朗日反对发表;1822年首次发年首次发“热的热的分析理论分析理论”。12/5/2022 华北科技学院华北科技学院 傅里叶的两个最重要的贡献傅里叶的两个最重要的贡献“周期信号都可以表示为成谐波周期信号都可以表示为成谐波关系的正弦信关系的正弦信 号的加权和号的加权和”傅里叶的第一个主要论点傅里叶的第一个主要论点“非周期信号都可以用正弦信号非周期信号都可以用正弦信号的加权积分来表示的加权积分来表示”傅里叶傅里叶的第二个主要论点的第二个主要论点12/5/2022 华北科技学院华北科技学院 7.1 7.1 傅里叶变换的概念傅里叶变换的概念一、周期函数的傅里叶积级数一、周期函数的傅里叶积级数二、非周期
7、函数的傅里叶变换二、非周期函数的傅里叶变换三、单位脉冲函数三、单位脉冲函数12/5/2022 华北科技学院华北科技学院 Fourier 变换是积分变换中常见的一种变换,它既能够变换是积分变换中常见的一种变换,它既能够简化运算简化运算(如求解微分方程、化卷积为乘积等等如求解微分方程、化卷积为乘积等等),又具有,又具有非常特殊的物理意义。非常特殊的物理意义。的地位,而且在各种工程技术中都有着广泛的应用。的地位,而且在各种工程技术中都有着广泛的应用。展起来的。在微积分课程中已经学习了展起来的。在微积分课程中已经学习了Fourier 级数的有关级数的有关 内容,因此本节将先简单地回顾一下内容,因此本节
8、将先简单地回顾一下 Fourier 级数展开。级数展开。因此,因此,Fourier 变换不仅在数学的许多分支中具有重要变换不仅在数学的许多分支中具有重要Fourier 变换是在周期函数的变换是在周期函数的 Fourier 级数的基础上发级数的基础上发12/5/2022 华北科技学院华北科技学院 一、一、周期函数的周期函数的 FourierFourier 级数级数问题问题对于任何一个周期为对于任何一个周期为 T 的的(复杂复杂)函数函数 ,)(tfT?1000sincos)(nnnTtnbtnaAtf .)cos(100 nnntnAA 能否:能否:(Fourier级数的历史回顾级数的历史回顾)
9、12/5/2022 华北科技学院华北科技学院 区间区间 上上满足如下条件满足如下条件(称为称为 Dirichlet 条件条件):2/,2/TT 则在则在 的的连续连续点点处有处有)(tfT(1)连续或只有有限个第一类间断点;连续或只有有限个第一类间断点;(2)只有有限个极值点只有有限个极值点.(Dirichlet 定理定理)设设 是以是以 T 为周期的实值函数,且在为周期的实值函数,且在)(tfT定理定理1.Fourier 级数的三角形式级数的三角形式一、一、周期函数的周期函数的 FourierFourier 级数级数在在 的的间断间断处,上处,上式左端为式左端为 .)0()0(21 tftf
10、TT)(tfT12/5/2022 华北科技学院华北科技学院 ,20T 称之为称之为基频基频。(Dirichlet 定理定理)定理定理1.Fourier 级数的三角形式级数的三角形式,dcos)(22/2/0 TTTnttntfTa,2,1,0 n,dsin)(22/2/0 TTTnttntfTb其中其中,2,1 n,)sincos(2)(0100tnbtnaatfnnnT (A)称称(A)式为式为 Fourier 级数的三角形式级数的三角形式。定义定义一、一、周期函数的周期函数的 FourierFourier 级数级数12/5/2022 华北科技学院华北科技学院 2.Fourier 级数的指数
11、形式级数的指数形式代入代入(A)式并整理得式并整理得根据根据 Euler 公式公式 ,sincos00j0etnjtntn )1(j可得可得,2cos00ee0tjntjntn 2sin00ee0tjntjnjjtn .)e2e2(2)(1000 ntjnnntjnnnTjbajbaatf推导推导,)sincos(2)(0100tnbtnaatfnnnT (A)已知已知一、一、周期函数的周期函数的 FourierFourier 级数级数12/5/2022 华北科技学院华北科技学院 2.Fourier 级数的指数形式级数的指数形式.)e2e2(2)(1000 ntjnnntjnnnTjbajba
12、atf推导推导则有则有令令,200ac ,2nnnjbac ,2nnnjbac 其中其中,de)(12/2/0 TTtjnTnttfTc,2,1,0 n,)(0e ntjnnTctf(B)称称(B)式为式为 Fourier 级数的指数形式级数的指数形式。定义定义一、一、周期函数的周期函数的 FourierFourier 级数级数12/5/2022 华北科技学院华北科技学院 lim()()TTftf t 对任何一个非周期函数对任何一个非周期函数f(t)都可以看成是由都可以看成是由某个周期函数某个周期函数fT(t)当当T时转化而来的时转化而来的.作周期为作周期为T的函数的函数fT(t),,使其在使
13、其在 T/2,T/2之内之内等于等于f(t),,在在 T/2,T/2之外按周期之外按周期T延拓到整个数延拓到整个数轴上轴上,则则T越大越大,,fT(t)与与f(t)相等的范围也越大,这相等的范围也越大,这就说明当就说明当T时,周期函数时,周期函数fT(t)便可转化为便可转化为f(t),即有即有7.17.1傅里叶变换的概念傅里叶变换的概念二、二、非非周期函数的傅立叶变换周期函数的傅立叶变换12/5/2022 华北科技学院华北科技学院 ,2,1nnnnnTTn 或或两个相邻的点的距离为两个相邻的点的距离为布在整个数轴上布在整个数轴上所对应的点便均匀分所对应的点便均匀分取一切整数时取一切整数时当当可
14、知 d)()(ntjtjTTnTTnetetfTtf221 ntjtjTTnTTnetetfTtf221d)(lim)(由公式由公式如图。如图。7.17.1傅里叶变换的概念傅里叶变换的概念12/5/2022 华北科技学院华北科技学院 ntjtjTTnTTnetetfTtf221d)(lim)(T2O 1 2 3 n-1nT2T2T2 nntjtjTnTTnnetetf22210d)(limdetetftjtjT-d)(21 此公式称为函数此公式称为函数f(t)的傅里叶积分公式的傅里叶积分公式,简称简称傅傅氏积分公式氏积分公式7.17.1傅里叶变换的概念傅里叶变换的概念12/5/2022 华北科
15、技学院华北科技学院 .d|)(|ttf(2)绝对可积,即绝对可积,即),(上的任一有限区间内满足上的任一有限区间内满足 Dirichlet 条件;条件;(1)在在定理定理 设函数设函数 满足满足)(tf.)0()0(21 tftf的间断处,公式的左端应为的间断处,公式的左端应为在在)(tf Fourier 积分公式积分公式称称(D)式式为为 Fourier 积分公式积分公式。定义定义则在则在的连续点处,有的连续点处,有)(tf)(tfttftjtjdede)(21 (D)12/5/2022 华北科技学院华北科技学院 (2)Fourier 逆变换逆变换(简称简称傅氏逆变换傅氏逆变换)(tf)(F
16、称为称为傅氏变换对傅氏变换对,记为,记为与与.)()(Ftf ttfFtde)()(j)(tf de)(21)(jtFtf)(F 1(1)Fourier 变换变换(简称简称傅氏变换傅氏变换)定义定义其中,其中,称为称为象原函数象原函数称为称为象函数象函数,)(tf)(FFourier 变换的定义变换的定义注注 上述变换中的广义积分为柯西主值。上述变换中的广义积分为柯西主值。12/5/2022 华北科技学院华北科技学院 注注:以上定义中的反常积分都是指柯西主值意义以上定义中的反常积分都是指柯西主值意义下的反常积分,而非通常意义下的反常积分下的反常积分,而非通常意义下的反常积分即即NNNdttxd
17、ttx)(lim)(为奇函数,则为奇函数,则从而若从而若)(tx 0)(dttx为偶函数,则为偶函数,则若若)(tx 0)(2)(dttxdttx7.17.1傅里叶变换的概念傅里叶变换的概念12/5/2022 华北科技学院华北科技学院 0,01()e,0,0.(),.ttf ttf t例 求函数的傅氏变换及其积分表达式 其中这个叫做指数衰减函数 是工程技术中常碰到的一个函数tf(t)O7.17.1傅里叶变换的概念傅里叶变换的概念12/5/2022 华北科技学院华北科技学院 0ttjtdee 这就是指数衰减函数的傅氏变换这就是指数衰减函数的傅氏变换.221 jjttfFtjde)()(0ttjd
18、e)(7.17.1傅里叶变换的概念傅里叶变换的概念12/5/2022 华北科技学院华北科技学院 de)()(tjFtf21 0e02/00dsincos 022tttttt 因此因此de tjj2221 022dsincos1 tt7.17.1傅里叶变换的概念傅里叶变换的概念12/5/2022 华北科技学院华北科技学院 jjaja2)e(e2 aattdej aatjj e1)e(e1 jajaj .sin2 aaa )(F ttftde)(j 解解)(tf(1)(tfa a1Ot12/5/2022 华北科技学院华北科技学院 (2)求求 Fourier 逆变换,即可得到的逆变换,即可得到的 F
19、ourier 积分表达式。积分表达式。解解 dcossin221ta dsinsin22taj dcossin1ta .|,0,|,21,|,1atatat.)0(,dsin axxxa dsin221etja)(F 1)(tf,0 t可得重要积分公式可得重要积分公式:在上式中令在上式中令注注12/5/2022 华北科技学院华北科技学院 ,0 t可得重要积分公式可得重要积分公式:在上式中令在上式中令.)0(,dsin axxxa 一般地,有一般地,有 .0,0,0,0,dsinaaaxxxa 特别地,有特别地,有.2dsin0 xxx 注注12/5/2022 华北科技学院华北科技学院 例例3
20、3d)(tjejtf221 解解:dsincosjtjt1 0dsin2 t0,10,00,1ttttsgn.,2)(求其傅里叶逆变换求其傅里叶逆变换已知像函数已知像函数 jF 7.17.1傅里叶变换的概念傅里叶变换的概念12/5/2022 华北科技学院华北科技学院 历史回顾历史回顾 Fourier级数级数 附:附:1807 年年 12 月月 12 日,在法国科学院举行的一次会议上,日,在法国科学院举行的一次会议上,Fourier 宣读了他的一篇关于热传导的论文,宣称:宣读了他的一篇关于热传导的论文,宣称:在有限区间上由在有限区间上由任意任意图形定义的图形定义的任何任何函数函数都可以表示为单纯
21、的正弦与余弦函数之和。都可以表示为单纯的正弦与余弦函数之和。经拉格朗日、拉普拉斯和勒让德三人经拉格朗日、拉普拉斯和勒让德三人(号称号称 3L)审阅后,审阅后,认为其推导极不严密,被拒认为其推导极不严密,被拒收收。12/5/2022 华北科技学院华北科技学院 1811 年,年,Fourier 将修改好的论文:将修改好的论文:提交给法国科学院。提交给法国科学院。关于热传导问题的研究关于热传导问题的研究其新颖、实用,从而于其新颖、实用,从而于 1812 年获得法国科学院颁发的年获得法国科学院颁发的大奖,但仍以其不严密性被大奖,但仍以其不严密性被论文汇编论文汇编拒拒收。收。经过评审小组经过评审小组(3
22、L)审阅后,认为审阅后,认为历史回顾历史回顾 Fourier级数级数 附:附:12/5/2022 华北科技学院华北科技学院 1822 年,年,Fourier 经过十年的努力,终于出版了专著:经过十年的努力,终于出版了专著:热的解析理论热的解析理论这部经典著作将欧拉、伯努利等人在一些特殊情形下使用这部经典著作将欧拉、伯努利等人在一些特殊情形下使用的三角级数方法,发展成内容丰富的一般理论,特别是在的三角级数方法,发展成内容丰富的一般理论,特别是在工程应用方面显示出巨大的价值。工程应用方面显示出巨大的价值。历史回顾历史回顾 Fourier级数级数 附:附:12/5/2022 华北科技学院华北科技学院
23、 1829 年,德国数学家年,德国数学家 Dirichlet 终于对一类条件较终于对一类条件较“宽宽”的的函数给出了严格的证明。时年函数给出了严格的证明。时年 24 岁。岁。1830年年 5 月月 16 日,日,Fourier 在巴黎去世。在巴黎去世。启示:启示:(1)有价值的东西一定是真的;真的东西一定是美的。有价值的东西一定是真的;真的东西一定是美的。(2)坚持不懈的努力就一定会有收获。坚持不懈的努力就一定会有收获。历史回顾历史回顾 Fourier级数级数 附:附:12/5/2022 华北科技学院华北科技学院 解析数论的创始人之一。解析数论的创始人之一。对数论、数学分析和数学物理有突出贡献
24、。对数论、数学分析和数学物理有突出贡献。对德国数学发展产生巨大影响。对德国数学发展产生巨大影响。德国数学家(18051859)狄利克雷Dirichlet,Peter Gustav Lejeune人物介绍人物介绍 狄利克雷狄利克雷附:附:12/5/2022 华北科技学院华北科技学院 1859年年5月月5日卒于格丁根。日卒于格丁根。1839年任柏林大学教授。年任柏林大学教授。1855年接任年接任 C.F.高斯高斯在哥廷根大学的教授职位。在哥廷根大学的教授职位。1805年年2月月13日生于迪伦。日生于迪伦。18221826年在巴黎求学。年在巴黎求学。中学时曾受教于物理学家中学时曾受教于物理学家 G.
25、S.欧姆欧姆。回国后先后在布雷斯劳大学和柏林军事学院任教。回国后先后在布雷斯劳大学和柏林军事学院任教。人物介绍人物介绍 狄利克雷狄利克雷附:附:12/5/2022 华北科技学院华北科技学院 附:附:人物介绍人物介绍 傅立叶傅立叶 傅立叶级数、傅立叶分析等理论的始创人。傅立叶级数、傅立叶分析等理论的始创人。1822年出版经典著作年出版经典著作热的解析理论热的解析理论。“深入研究自然是数学发现最丰富的源泉。深入研究自然是数学发现最丰富的源泉。”J.Fourier法国数学家、物理学家(17681830)傅立叶Fourier,Jean Baptiste Joseph12/5/2022 华北科技学院华北
26、科技学院 1801年回国后被任命为格伦诺布尔省省长。年回国后被任命为格伦诺布尔省省长。1795年任巴黎综合工科大学助教。年任巴黎综合工科大学助教。1798年随拿破仑军队远征埃及。年随拿破仑军队远征埃及。1768年年3月月21日生子法国中部欧塞尔一个裁缝家庭。日生子法国中部欧塞尔一个裁缝家庭。1785年回乡教数学。年回乡教数学。9岁父母双亡,岁父母双亡,12岁由一主教送入军事学校读书。岁由一主教送入军事学校读书。1817年当选为法国科学院院士。年当选为法国科学院院士。1822年任法国科学院终身秘书。年任法国科学院终身秘书。1830年年5月月16日卒于巴黎。日卒于巴黎。附:附:人物介绍人物介绍 傅
27、立叶傅立叶(返回返回)12/5/2022 华北科技学院华北科技学院 附:附:抽样信号抽样信号 通常将函数通常将函数ttsin)(tSa称为称为抽样信号抽样信号,记为,记为 或者或者.)(sinc t 抽样信号在连续抽样信号在连续(时间时间)信号的信号的离散化、离散化、离散离散(时间时间)信号信号的的1)(sinc tt精确恢复精确恢复以及信号的以及信号的滤波滤波中发挥着重要的作用。中发挥着重要的作用。12/5/2022 华北科技学院华北科技学院 三、三、单位脉冲函数单位脉冲函数 由傅氏变换的定义可知,由傅氏变换的定义可知,函数函数f(t)要在要在整个实轴整个实轴上绝对可积,才存在傅氏变换,这样
28、的条件很强,上绝对可积,才存在傅氏变换,这样的条件很强,使许多常见的函数如使许多常见的函数如常函数、幂函数、正弦、余弦常函数、幂函数、正弦、余弦函数函数等都不能进行傅氏变换等都不能进行傅氏变换,这就限制了,这就限制了傅氏变换傅氏变换的应用的应用 为了扩充为了扩充傅氏傅氏变换的概念及其应用范围,引入变换的概念及其应用范围,引入函数函数(单位冲激函数或单位脉冲函数单位冲激函数或单位脉冲函数),它是一个非,它是一个非常重要的函数常重要的函数.从物理学上看,从物理学上看,函数的提出是十分函数的提出是十分自然的自然的.下面通过一个具体例子,说明这种函数引入下面通过一个具体例子,说明这种函数引入的必要性的
29、必要性7.17.1傅里叶变换的概念傅里叶变换的概念12/5/2022 华北科技学院华北科技学院 1、为什么要引入为什么要引入单位脉冲函数单位脉冲函数 理由理由 (1)在数学、物理学以及工程技术中,一些常用的重要在数学、物理学以及工程技术中,一些常用的重要 函数,如常数函数、线性函数、符号函数以及单位函数,如常数函数、线性函数、符号函数以及单位 阶跃函数等等,都不能进行阶跃函数等等,都不能进行 Fourier 变换。变换。(2)在工程实际问题中,有许多瞬时物理量不能用通常在工程实际问题中,有许多瞬时物理量不能用通常 的函数形式来描述,如冲击力、脉冲电压、质点的的函数形式来描述,如冲击力、脉冲电压
30、、质点的 质量等等。质量等等。三、单位脉冲函数三、单位脉冲函数12/5/2022 华北科技学院华北科技学院 细杆取细杆取 的结果。的结果。0a)(xP)(lim0 xPaa .0,0,0,xx 长度为长度为 a,质量为,质量为 m 的均匀细杆放在的均匀细杆放在 x 轴的轴的 0,a 区间区间 引例引例 )(xPa .,0,0,其它其它axam上,则它的线密度函数为上,则它的线密度函数为 质量为质量为 m 的质点放置在坐标原点,则可认为它相当于的质点放置在坐标原点,则可认为它相当于 显然显然,该密度函数并没有反映出质点的任何质量信息该密度函数并没有反映出质点的任何质量信息,相应地,质点的密度函数
31、为相应地,质点的密度函数为 12/5/2022 华北科技学院华北科技学院 2.单位脉冲函数单位脉冲函数的概念的概念 (1)当当 时,时,0 t;0)(t(2).1d)(tt 显然,借助单位脉冲函数,前面显然,借助单位脉冲函数,前面引例引例中质点的密度函数中质点的密度函数 定义定义 )(t 单位脉冲函数单位脉冲函数 满足:满足:单位脉冲函数单位脉冲函数 又称为又称为 Dirac 函数函数或者或者 函数函数。)(t .)()(xmxP 就可表示为就可表示为 12/5/2022 华北科技学院华北科技学院 1.单位脉冲函数单位脉冲函数的概念的概念 (1)单位冲激函数单位冲激函数 并不是经典意义下的函数
32、,而并不是经典意义下的函数,而是一是一 个个广义函数广义函数(或者或者奇异函数奇异函数),它不能用通常意义下的,它不能用通常意义下的 “值的对应关系值的对应关系”来理解和使用,而总是通过它的性质来理解和使用,而总是通过它的性质 注注 )(t 来使用它。来使用它。(2)单位冲激函数有多种单位冲激函数有多种定义方式,前面给出的定义方式定义方式,前面给出的定义方式 是由是由 Dirac(狄拉克狄拉克)给出的。给出的。单位冲激函数单位冲激函数其它定义方式其它定义方式12/5/2022 华北科技学院华北科技学院 3.单位脉冲函数单位脉冲函数的性质的性质 .)(d)()(00tfttftt (2)对称性质
33、对称性质 .)()(tt 函数为偶函数,即函数为偶函数,即 (1)筛选性质筛选性质 性质性质 设函数设函数 是定义在是定义在 上的连续函数,上的连续函数,)(tf),(.)0(d)()(fttft 则则 一般地,若一般地,若 在在 点连续,点连续,0tt )(tf则则 ().).设为单位阶跃函数,设为单位阶跃函数,)(tu 0 ,00 ,1)(tttu).()(),()(tdttdutudttt 则则12/5/2022 华北科技学院华北科技学院 函数的图形表示方式非常特别,通常采用一个从原点函数的图形表示方式非常特别,通常采用一个从原点 出发长度为出发长度为 1 的有向线段来表示,的有向线段来
34、表示,同样有,函数同样有,函数 的冲激强度为的冲激强度为 A。)(tA 代表代表 函数的积分值,函数的积分值,称为称为冲激强度冲激强度。4.单位脉冲函数单位脉冲函数的图形表示的图形表示 t 1 )(t)(0tt t 1 0t)(tA t A 其中有向线段的长度其中有向线段的长度 12/5/2022 华北科技学院华北科技学院 5、单位脉冲函数单位脉冲函数的的 Fourier 变换变换 .10e ttj 利用筛选性质,可得出利用筛选性质,可得出 函数的函数的 Fourier 变换:变换:tttjd)(e )(t 即即 与与 1 构成构成Fourier变换对变换对 )(t.1)(t t 1 )(t
35、1 )(t 12/5/2022 华北科技学院华北科技学院 重要公式重要公式 .)(2dettj 称这种方式的称这种方式的 Fourier 变换是一种变换是一种广义的广义的Fourier变换变换。在在 函数的函数的 Fourier 变换中,其广义积分是根据变换中,其广义积分是根据 函数的函数的 注注 性质直接给出的,而不是通过通常的积分方式得出来的,性质直接给出的,而不是通过通常的积分方式得出来的,按照按照 Fourier 逆变换公式有逆变换公式有 12/5/2022 华北科技学院华北科技学院 )(2 .)(2 )(1 F ttjd1e 解解 )(1tf(1)(2)将等式将等式 的两边对的两边对
36、 求导,有求导,有 ttjde)(2 tt jtjd)(e,)(2 tttjde,)(2 j)(2 F )(2tf.)(2 j即得即得 12/5/2022 华北科技学院华北科技学院 .)(1j 它是工程技术中最常用的函数之一。它是工程技术中最常用的函数之一。解解 tsgn已知已知 ,2j,)(2 1,)1(sgn21)(ttu又又 )(tut1 tsgn)(U得得 1(21)称称 为为单位阶跃函数单位阶跃函数,也称为,也称为 Heaviside 函数函数,)(tu注注 12/5/2022 华北科技学院华北科技学院 ttjtjdee0 ttjd)(0e )(20 .)(20 )(1 F解解 )(
37、1tf(1)(2)由由 ,t0cos)(2100eetjtj .)()(00 )(2 F )(2tf有有 tj0e tj0e (21)0 0 )(2 F12/5/2022 华北科技学院华北科技学院 附:附:单位冲激函数的其它定义方式单位冲激函数的其它定义方式 ,0,0,/1)(其它其它 tt方式一方式一 令令 .)(lim)(0tt 则则 )(t t 1 方式二方式二 (20 世纪世纪 50 年代,年代,Schwarz)(t,)0(d)()(ttt单位冲激函数单位冲激函数 满足满足 其中,其中,称为称为检验函数检验函数。Ct)(返回返回)12/5/2022 华北科技学院华北科技学院 7.2 7
38、.2 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质一、周期函数的傅里叶积级数一、周期函数的傅里叶积级数二、非周期函数的傅里叶变换二、非周期函数的傅里叶变换三、单位脉冲函数三、单位脉冲函数12/5/2022 华北科技学院华北科技学院 且且 所涉及到的函数的所涉及到的函数的 Fourier)(F)(G.)(tg 在下面给出的基本性质中,在下面给出的基本性质中,,)(tf变换均存在,变换均存在,1.线性性质线性性质 设设 a,b 为常数,则为常数,则 性质性质 对于涉及到的一些运算对于涉及到的一些运算(如如求导求导、积分积分、极限极限及及求和求和等等)的次序交换问题,均不另作说明。的次序交换问题,均不另作说明。
39、证明证明 (略略)12/5/2022 华北科技学院华北科技学院 2.位移性质位移性质 设设 为实常数,则为实常数,则 性质性质 00,t(时移性质时移性质)(频移性质频移性质)xxftjxjd)(0ee ;)(0e Ftj (2)同理,可得到频移性质。同理,可得到频移性质。;)()(0e0 Fttftj (1).)()(0e01tfFtj (2)证明证明 tttfttftjd)()(e00(1)0ttx 令令 12/5/2022 华北科技学院华北科技学院 xxfaxajd)(1e ttaftaftjd)()(e tax 令令 ;1 aFa 证明证明 (1)当当 时,时,0 a(2)当当 时,时
40、,0 a同理可得同理可得 .1)(aFataf 性质性质 3.相似性质相似性质 12/5/2022 华北科技学院华北科技学院 4.微分性质微分性质 若若 则则 ,0)(lim|tft性质性质 .)()(Fjtf 证明证明 ,0)(lim|tft由由 有有 ,0)(lime|tjttf ttftftjd)()(e ttfjtftjtjd)()(ee .)(Fj 12/5/2022 华北科技学院华北科技学院 一般地,若一般地,若 ,0)(lim)1,2,1,0()(|nktfkt则则 .)()()()(Fjtfnn 记忆记忆 ,d)()(e tjFtf由由 ;d)()(e tjFjtf.d)()(
41、)(e)(tjnnFjtf4.微分性质微分性质 若若 则则 ,0)(lim|tft性质性质 .)()(Fjtf 12/5/2022 华北科技学院华北科技学院 记忆记忆 ,d)()(e ttfFtj 由由 ;d)()()(e ttft jFtj .d)()()(e)(ttft jFtjnn )(tftn 上式可用来求上式可用来求 的的 Fourier 变换变换 一、一、基本性质基本性质4.微分性质微分性质 同理,可得到同理,可得到像函数的导数公式像函数的导数公式 12/5/2022 华北科技学院华北科技学院 证明证明 令令 ,d)()(tttftg则则 ,0)(lim|tgt由微分性质有由微分性
42、质有 ,)()(Gjtg 又又 ,)()(tftg ,)()(tgjtf 有有 .)(1d)(Fjttft 即得即得 性质性质 5.积分性质积分性质 12/5/2022 华北科技学院华北科技学院 6.帕塞瓦尔帕塞瓦尔(Parseval)等式等式 .d|)(|21d)(22 Fttf证明证明 由由 ,d)()(e ttfFtj 有有 ,d)()(e ttfFtj dd)()(21ettfFtj d)()(21FF右边右边 tFtftjdd)(21)(e ttfd)(2=左边左边.12/5/2022 华北科技学院华北科技学院 基本性质基本性质(汇总汇总)线性性质线性性质 .)()()()(GbFa
43、tgbtfa .|1)(aFataf 相似性质相似性质 位移性质位移性质 ;)()(0e0 Fttftj .)()(0e01tfFtj (时移性质时移性质)(频移性质频移性质)12/5/2022 华北科技学院华北科技学院 基本性质基本性质(汇总汇总)Parseval 等式等式 .d|)(|21d)(22 Fttf.)(1d)(Fjttft 积分性质积分性质 微分性质微分性质 .)()()()(1tft jFnn ;)()()()(Fjtfnn 12/5/2022 华北科技学院华北科技学院 .)(1j 它是工程技术中最常用的函数之一。它是工程技术中最常用的函数之一。解解 tsgn已知已知 ,2j
44、,)(2 1,)1(sgn21)(ttu又又 )(tut1 tsgn)(U得得 1(21)称称 为为单位阶跃函数单位阶跃函数,也称为,也称为 Heaviside 函数函数,)(tu注注 12/5/2022 华北科技学院华北科技学院 例例 设设 求求 ,cos2)()(0ttutf .)(tf.)()(200220 j解解 已知已知 )(tu,)(1 j 根据根据线性性质线性性质和和频移性质频移性质有有 )(tf)()(1)()(10000 jj,)()()(00eetjtjtutf 又又 12/5/2022 华北科技学院华北科技学院 .4|,0,4|,2/1 解解 根据根据相似性质相似性质有有
45、 )(G )(tg)2(tf 221 F12/5/2022 华北科技学院华北科技学院 设设 求求 ,cos)(2tttf 例例 .)(tf根据根据微分性质微分性质 ,)()()(21tgt jG 有有 解解 令令 则则 ,cos)(ttg,)()(2tgttf 又已知又已知 ,)1()1(cos t)(G)(tf)(2tgt)(G .)1()1(12/5/2022 华北科技学院华北科技学院 dsin422.4d12112t ,1|,0,1|,1)(tttf解解 设矩形脉冲函数设矩形脉冲函数 由于被积函数为偶函数,由于被积函数为偶函数,,sin2)(F已知已知 的频谱为的频谱为 )(tf由由 P
46、arserval 等式等式有有 .d)(2d|)(|22 ttfF .2dsin022 故有故有 12/5/2022 华北科技学院华北科技学院 7.3 7.3 卷积卷积一、卷积的概念与性质一、卷积的概念与性质二、卷积定理二、卷积定理12/5/2022 华北科技学院华北科技学院 即即 反常积分反常积分 对任何实数对任何实数 t 都收敛,都收敛,d)()(21 tff函数为函数为 与与 的的卷积卷积,记,记 为为 )(1tf)(2tf,)()(21tftf)()(21tftf.d)()(21 tff一、一、卷积的概念与性质卷积的概念与性质 设函数设函数 与与 在区间在区间 上有定义,上有定义,)(
47、1tf)(2tf),(定义定义 如果如果 它在它在 上定义了一个自变量为上定义了一个自变量为 t 的函数,的函数,),(则则 称此称此 12/5/2022 华北科技学院华北科技学院 二、二、卷积的概念与性质卷积的概念与性质性质性质 (1)交换律交换律 )()(21tftf.)()(12tftf )()()(321tftftf .)()()(321tftftf (2)结合律结合律 )()()(321tftftf .)()()()(3121tftftftf (3)分配律分配律 12/5/2022 华北科技学院华北科技学院 因此因此,单位冲激函数单位冲激函数(t)在卷积运算中起着类似在卷积运算中起着
48、类似数的运算中的数的运算中的1的作用的作用.任给函数任给函数 f(t),dtftftttf)()()(*)()()(0)(tf)(tf)()(ttf)(*)(tutf特殊函数的卷积特殊函数的卷积同理有同理有)(tf tdf)(12/5/2022 华北科技学院华北科技学院 )()(tgtf,d)()(tgf解解 (1)当当 时,时,0 t.0)()(tgtf)(f)(g )(f)(tgt )(g(2)当当 时,时,0 t)()(tgtf d)()(0 ttgf d0)(ee tt.ee t12/5/2022 华北科技学院华北科技学院 将函数将函数 反转反转并并平移平移到到 t,得到,得到 )(g
49、,)()(tgtg 从上面的例子可以看出从上面的例子可以看出 (1)卷积由卷积由反转反转、平移平移、相乘相乘、积分积分四个部分组成。四个部分组成。另外,利用卷积满足交换律这一性质,另外,利用卷积满足交换律这一性质,适当地选择两个函数适当地选择两个函数 再与函数再与函数 相乘相乘后求后求积分积分,)(tf得到卷积得到卷积 .)()(tgtf 的卷积次序的卷积次序,还可以使积分限的确定更直观一些。,还可以使积分限的确定更直观一些。即首先即首先 (3)在计算一些分段函数的卷积时,如何确定积分限是解题在计算一些分段函数的卷积时,如何确定积分限是解题 的关键。的关键。如果采用图形方式则比较容易确定积分限
50、。如果采用图形方式则比较容易确定积分限。也可采用不等式组的方法,也可采用不等式组的方法,确定卷积表达式中被积函确定卷积表达式中被积函数不等于数不等于0的区间的区间12/5/2022 华北科技学院华北科技学院 例例,0 ,01 ,1)(),()(2 tttgtuttf设设).(*)(tgtf求求 dtfgtftgtgtf)()()(*)()()(解:解:则则要要 ,0)()(tfg tt 11 01 1 时,时,当当 t.0)(*)(tgtf12/5/2022 华北科技学院华北科技学院 例例,0 ,01 ,1)(),()(2 tttgtuttf设设).(*)(tgtf求求 dtfgtftgtgt