1、5 5：二次曲线一般理论：二次曲线一般理论2211122212(,)2220.F x ya xa xya yb xb yc二次方程所确定的曲线二次曲线二次曲线我们的任务：我们的任务：1 1：选取恰当的坐标系，化简上面的二次：选取恰当的坐标系，化简上面的二次方程方程2 2：从二次方程的一般形式，识别二次曲：从二次方程的一般形式，识别二次曲线的类型，确定它们的形状和位置。线的类型，确定它们的形状和位置。1:坐标变换坐标变换O x y坐标系Oxy坐标系Oxy坐标系Ox y坐标系(,)x y(,)x y旧坐标旧坐标新坐标新坐标M点目的：目的：确定点的新旧坐标之间的关系。确定点的新旧坐标之间的关系。这由
2、新旧坐标系的之间的位置关系来确定这由新旧坐标系的之间的位置关系来确定.坐标系的位置是由坐标原点和坐标轴的方向坐标系的位置是由坐标原点和坐标轴的方向确定。确定。新坐标系的位置，就由新原点新坐标系的位置，就由新原点 的旧坐标，的旧坐标，以及坐标轴以及坐标轴 到新坐标轴到新坐标轴 的角度的角度 确定确定.OOxO x坐标系的平移（移轴）坐标系的平移（移轴）:坐标轴的方向不坐标轴的方向不变，改变坐标原点变，改变坐标原点Oxy坐标系移轴(,)M x y(,)M x y问题问题是寻找坐标变化规律是寻找坐标变化规律MOOxyxy00 xxxyyy00(,)xyO是的旧坐标Ox y坐标系坐标系的旋转（转轴）：
3、坐标系的原点不变，坐标系的旋转（转轴）：坐标系的原点不变，改变坐标轴的方向改变坐标轴的方向xyxyOOxy坐标系Ox y坐标系转轴(,)M x y(,)M x yM=cossin,sincos.x xyyxy变化规律变化规律逆变换逆变换=cossin,sincos.xxyyxy 一般坐标变换公式一般坐标变换公式新坐标系新坐标系 的原点的原点 的旧坐标为的旧坐标为 ,轴到轴到 轴的夹角为轴的夹角为O x yO00(,)xyOxO x.:(,)Oxyx y:(,)O x yx y:(,)O x yx y移轴转轴OOxyxy00,xxxyyy移轴=cossin,sincos.xxyyxy转轴变换公式
4、变换公式00=cossin,sincos.x xyxyxyy0000=()cos()sin()sin()cos.xxxyyyxxyy 逆变换公式为121:0,:0(0,0).(0)O x yxylAxByClBxAyCABxx例：设的 轴和 轴分别为轴到 轴的角度为，求坐标变换公式.122:3410,:4370.(0)O x yxylxylxyxx 例：设的 轴和 轴分别为轴到 轴的角度为，求坐标变换公式.(,)0OxyF x yO x y设一条曲线在坐标系中的方程为，那么，它在中的方程为：(,).nF x yn如果是多项式，经过坐标变换，多项式的次数不会增加.这说明多项式的次数不依赖于坐标系
5、的选取，把具有这样性质的曲线，称为,其中 是多项式次曲的次数线00(cossin,sincos)=0.F xyx xyy(,).F x y方程的左端记为2 2：在坐标变换下二次方程系数的变化：在坐标变换下二次方程系数的变化2211122212(,)22201F x ya xa xya yb xb yc 二次方程（）转轴对方程系数的影响转轴对方程系数的影响:=cossin,sincos.x xyyxy转轴的坐标变换公式：转轴的坐标变换公式：2211122212(,)=222.F x ya xa x ya yb xb yc 经过变换变为：经过变换变为：(,)F x y假设2（）系数与系数与 系数之
6、间的关系系数之间的关系:(,)F x y(,)F x y2211111222cos2sin cossinaaaa2212221112()sin cos(cossin)aaaa2222111222sin2sin coscosaaaa112cossinbbb212sincosbbb cc12112212,=cossin,sincos.b bbbbbbb解出这说明的这说明的 变换规律和变换规律和 的变换规律的变换规律是一样的，同时也说明，转轴不能消去一次项是一样的，同时也说明，转轴不能消去一次项.12(,)b b(,)x y变换保持二次项部分，一次项部分，常数项不变换保持二次项部分，一次项部分，常数
7、项不变，即变，即222211122211122222a xa x ya ya xa xya y1212b xb yb xb ycc12222211 112 1 222211 112 1 222222221212(,)(,)22,.x yb ba ba bba ba ba bba bbbbb取，代入上式得到这是两个与 无关的数，这表明，转轴不会改变这两个数.*(,)(,)F x yFxy把(2)代入得到，即移轴对方程系数的影响移轴对方程系数的影响:移轴的坐标变换公式：移轴的坐标变换公式：*2*2*11122212(,)=222.Fxya xa x ya yb xb yc(,)F x y假设经过上
8、面的变换变为*0*0 xxxyyy(2)*2*1101200*2*2201020(,)()2()()()2()2().Fxyaxxaxxyyayyb xxbyycOxy坐标系*O x y坐标系移轴移轴*00(,)xyO是的旧坐标展开后合并同类项就有展开后合并同类项就有*1111*1212*2222*11101201*21202202*221101200220102000,222(,)aaaaaaba xa ybba xa ybca xa x ya yb xb ycF xy110120112022020,0,a xa yba xa yb二次项系数不变，一次项系数要改变，为了消去一次项，必须并且只
9、须新坐标原点的坐标 满足方程00(,)xy移轴以后移轴以后11 0120112022020,0,a xa yba xa yb方程组方程组111212220.aaaa如果，则方程组有唯一解1112111212221222=0:aaaaaaaa如果，即1112122212(1):aaaab b,此时方程是同解方程1112122212(2):aaaab b,此时方程是矛盾方程.11 0120112022020,0,a xa yba xa yb(,)0F x y 方程方程 无一次项时，曲线对称于原点，下无一次项时，曲线对称于原点，下面方程组有解面方程组有解 时，曲线对称于点时，曲线对称于点00(,)xy00(,)xy如果对称中心是唯一的，就简称为曲线的如果对称中心是唯一的，就简称为曲线的中心。中心。2213630 xxyyxy例：求二次曲线的中心.22244+2+40 xxyyxy例：求二次曲线的中心.00(,).xy 就是曲线的对称中心解：对称中心就是解：对称中心就是(0,3)解：有无穷多个对称中心，它们构成一条直线解：有无穷多个对称中心，它们构成一条直线210.xy 作业作业:P132 3,4,5
