1、一、函数单调性的判定一、函数单调性的判定第三章导数的应用第三章导数的应用第二节函数单调性的判定第二节函数单调性的判定 函数的极值函数的极值二、函数的极值二、函数的极值 定理定理 1设函数设函数 y=f(x)在在 a,b 上上连续，在连续，在(a,b)内可导，内可导，(1)(1)若若 x (a,b)时时,f (x)0，则则 f(x)在在 a,b 上上单调递增单调递增；一、函数单调性的判定一、函数单调性的判定 (2)(2)若若 x (a,b)时时,f (x)0，则则 f(x)在在 a,b 上上单调递减单调递减;(3)(3)若若 x (a,b)时时,f (x)=0，则则 f(x)在在 a,b 上为上
2、为常数常数.证证 (1)在在 a,b 上任取两点上任取两点x1、x2，且且 x1 0 0，故故 f(x1)0，x2 x1 0,因此因此 定理中的闭区间改为其他各种区间结论也定理中的闭区间改为其他各种区间结论也成立成立.求函数求函数 y=f(x)的单调区间的一般步骤是：的单调区间的一般步骤是：(1)(1)确定函数确定函数 f(x)的定义域；的定义域；并用这些点把定义区间并用这些点把定义区间分成若干个部分区间；分成若干个部分区间；(3)列表讨论函数列表讨论函数在各个部分区间的单调性在各个部分区间的单调性.(2)(2)求出求出 f(x)的全部驻点的全部驻点(即即使使 f (x)=0的点的点)和导数和
3、导数 f (x)不存在的点不存在的点，注意注意例例 1求函数求函数 f(x)=x2 的单调区间的单调区间解解 (1)函数函数的定义域为的定义域为(,)；(2)f (x)=2x，令令 f (x)=0，得得 x=0 0;(3)x=0 0 把把(,)分成两个部分区间：分成两个部分区间：(,0)0)，(0,),),列表讨论列表讨论 f (x)的符号的符号:x(,0)0)0 0 (0,)f (x)0 0 f(x)0 0 箭头箭头 ，分别表示函数在指定区间递增和递减分别表示函数在指定区间递增和递减.所以所以,函数在函数在(,00内单调递减内单调递减;0,+;0,+)内单调递增内单调递增.解解 (1)函数函
4、数的定义域为的定义域为(，)；.的的单单调调区区间间-求求函函数数3223=x xx xy y例例 2令令 y =0,0,得得 x=1;当当 x=0时时,y 不存在不存在.(3)列表讨论列表讨论 f (x)的符号的符号:3331=1 1=1=31x xx xx xx xy y-(2)x(,0)(0,(0,1)(1,)f (x)f(x)0 0 不存在不存在 0 0 1 0 0 0.5由定理知由定理知:函数在函数在(,00和和1,+1,+)内单调递增内单调递增;在在0,10,1内单调递减内单调递减.证证 设设 f(x)=e x ex,则则 f(x)在在 1,)内连续内连续,例例 3 证明当证明当
5、x 1时时,e x ex.f (x)=e x e 0由由定理知定理知:f(x)在在1,)内单调递增内单调递增,且且 f(1)=0.在在(1,)内内,故故 x 1 时时,f(x)f(1),从而从而e x ex 0即即 e x ex.定义定义 设函数设函数 y=f(x)在点在点 x0 及其附近的点有及其附近的点有定义，若对点定义，若对点 x0 附近任一点附近任一点(x x0),均有均有(1)f(x)f(x0),则称则称 f(x0)为为 f(x)的的极大值极大值，称称点点 x0 为为 f(x)的的极大点极大点；(2)f(x0)0,在在 x0 的的右侧右侧,f (x)0,则则 f(x0)是是 f(x)
6、的极大值的极大值；(2)如果在点如果在点 x0 的左侧的左侧,f (x)0,则则 f(x0)是是 f(x)的极小值的极小值；(3)如果在点如果在点 x0 的左、右两侧的左、右两侧(点点 x0 除外除外)f (x)同号同号,则则 f(x)在在 x0 处没有极值处没有极值.求函数极值的一般步骤是：求函数极值的一般步骤是：(1)确定函数的定义域确定函数的定义域;(2)求求函数的导数函数的导数,确定驻点和导数不存在的点；确定驻点和导数不存在的点；(4)由定理由定理3,判定函数的极值点并求出极值判定函数的极值点并求出极值.(3)列表讨论列表讨论 f (x)在上述各点左右近旁的符号在上述各点左右近旁的符号
7、；注意注意解解 (1)函数函数的定义域为的定义域为(，)；3331=23-xx xx xy y例例 4 求函数求函数 的极值的极值.(3)列表讨论列表讨论 f (x)的符号的符号:x(,1)(1,3),3)(3,)f (x)f(x)1 0 0 极大值极大值 3 0 0 极小值极小值令令 y =0,=0,得得3,2=2 -xx xy y(2).3=1,=21x xx x -(4)(4)极大点为极大点为 x=1,极大值为极大值为 ;(341)-=f f极小极小点为点为 x=3,极小值为极小值为 f(3)=12.解解 由例由例2知知,函数的驻点是函数的驻点是 x=1,x=0 是使是使.的的极极值值求
8、求函函数数3223=x xx xy y-例例 5 y 不存在的点不存在的点.列表讨论列表讨论 f (x)的符号的符号:x(,0)(0,(0,1)(1,)f (x)f(x)0 0 不存在不存在 1 0 0 极小值极小值 极大值极大值 因此因此,极大点为极大点为 x=0,极大值为极大值为 f(0)=0;极小极小点点为为 x=1,极小值为极小值为 f(1)=0.5.定理定理 4(极值的第二充分条件极值的第二充分条件 )(1)如果如果 f (x0)0，则则 f(x)在在 x0 处有处有极小极小值值 f(x0)；且且 f (x0)=0，f (x0)0.设函数设函数 y=f(x)在点在点 x0 处二阶导数
9、存在，处二阶导数存在，(2)如果如果 f (x0)0，则则 f(x)在在 x0 处有处有极大极大值值 f(x0).例例 6 求函数求函数 f(x)=2x3 33x2 1212x+14+14 的极的极值值.解解定义域为定义域为(,+).f (x)=6x2 6x 1212=6(x+1)(x-2)，令令 f (x)=0 得驻点得驻点 x=1,x=2,f (x)=12x 6=6(2x-1)，因为因为 f (1)=18 0,故故 x=2 为为极小点极小点,f(2)=6 为极小值为极小值.例例 7 求函数求函数 f(x)=x4 的极值的极值.解解定义域为定义域为(,+).f (x)=4x3，令令 f (x)=0,得驻点得驻点 x=0,代入得代入得 f (0)=0.f (x)=12x2，因为用第二充分条件无法判定因为用第二充分条件无法判定 f(x)在在 x=0 处有无极值，所以只能用处有无极值，所以只能用第一充分条件去判定第一充分条件去判定.显然显然 f(x)=x4 在点在点 x=0 的左侧为减函数的左侧为减函数,右右侧为增函数侧为增函数,即即 f(x)=x4 在在 x=0 处取得极小值处取得极小值 0，这说明这说明第二充分条件不如第一充分条件应用广泛第二充分条件不如第一充分条件应用广泛.
