1、 一、刚体的平动和转动一、刚体的平动和转动刚体在运动中，其上任意两点的连线刚体在运动中，其上任意两点的连线始终保持平行。始终保持平行。AA A BB B 刚体刚体:在外力作用下形状和大小保持不变的物体在外力作用下形状和大小保持不变的物体.特点特点：各质点间的相对位置永不发生变化的质点系。：各质点间的相对位置永不发生变化的质点系。第二章第二章 刚体和流体力学刚体和流体力学平动平动：用用质心质心运动讨论运动讨论 转动转动：对点、对轴：对点、对轴定轴转动定轴转动：各质元均作圆周：各质元均作圆周运动，其圆心都在一条固定运动，其圆心都在一条固定不动的直线（转轴）上。不动的直线（转轴）上。OO转轴转轴O
2、刚体的一般运动刚体的一般运动既平动又转动：质心的平动加绕质心的转动既平动又转动：质心的平动加绕质心的转动 转动平面转动平面转轴转轴参考参考方向方向PX各各质元的线速度、加速度一般不同，质元的线速度、加速度一般不同，但角量（角位移、角速度、角加速度）都相同但角量（角位移、角速度、角加速度）都相同描述刚体整体的运动用角量最方便。描述刚体整体的运动用角量最方便。二、定轴转动的角量描述二、定轴转动的角量描述QP XX转动平面转动平面：垂直于转轴的任一平面：垂直于转轴的任一平面 角速度方向规定为沿轴方向，角速度方向规定为沿轴方向，指向用右手螺旋法则确定。指向用右手螺旋法则确定。rv vr加速转动加速转动
3、 方向一致方向一致减速转动减速转动 方向相反方向相反dtd 22dtddtd dtd Z2f0rPO转动平面转动平面1fF一、刚体定轴转动的力矩一、刚体定轴转动的力矩力对点的力矩为：力对点的力矩为：FrMoo xyozyFxFM 210ffrMo 21frfroo 只影响转轴只影响转轴的转动的转动在在 轴上的轴上的投影投影z对对 轴的力矩：（在轴的力矩：（在 轴上的分量）轴上的分量）zz 问题：问题：AzozMM？FrkFkzkA FrkMkMoooz FrkzkA AzMkFkz AzAzMMkzkF ZorO转动平面转动平面FzAArP力对轴上任一点的力矩在力对轴上任一点的力矩在轴上的投影
4、即是力对该轴轴上的投影即是力对该轴的力矩。的力矩。iiiiamfF iiiiiiamfF sinsin 2sinsiniiiiiiiirmrfrF iiiiiiiiiiirmrfrF)(sinsin2M合合外外力力矩矩?0 将切向分量式两边同乘以将切向分量式两边同乘以 ,变换得变换得irJ二、定轴转动的转动定律二、定轴转动的转动定律 i ifiFi im Zir JM nffff113121 nffff223212 0212121 frfr大小相等，方向相反大小相等，方向相反 )(sin2iiiiiiirmrF iiirmJ)(2 令：令：为为转动惯量转动惯量定轴转动的定轴转动的转动定理转动定
5、理物理意义：物理意义：刚体做定轴转动时，所受到的合外刚体做定轴转动时，所受到的合外力对轴的力矩等于刚体对同一转轴的转动惯量力对轴的力矩等于刚体对同一转轴的转动惯量与角加速度的乘积。与角加速度的乘积。1r2r12f2m21f1mo 讨论：讨论：瞬时式，瞬时式，必须是对同一转轴必须是对同一转轴MJM 与转动方向成右手系与转动方向成右手系 JM 矢量表达式为：矢量表达式为：三、转动惯量三、转动惯量(moment of inertia)1 1、定义、定义 质量与该点到转轴距离的平方的乘积。质量与该点到转轴距离的平方的乘积。2Jmr 一一个个质质点点2i iiJm r 有有限限个个质质点点2mJr dm
6、 连连续续体体与转动惯量有关的因素：与转动惯量有关的因素：刚体的质量刚体的质量质量的分布质量的分布转轴的位置转轴的位置单位：单位：2mkg dldmdsdmdVdm质量为质量为线分布线分布质量为质量为面分布面分布质量为质量为体分布体分布其中其中、分别为质量的线密度、面密度和体密度。分别为质量的线密度、面密度和体密度。注注意意只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布的刚体，才能用积分计算出刚体的转动惯量的刚体，才能用积分计算出刚体的转动惯量 dmrJ2 1 1、求质量为、求质量为m、半径为半径为R的均匀圆环的转动惯量。的均匀圆环的转动惯量。轴与圆环平面垂直
7、并通过圆心。轴与圆环平面垂直并通过圆心。解：细圆环解：细圆环dldm Rdl LCdlRdmRJ 222222mRRRdlRL 又解又解:222mRdmRdmRJ J是可加的，所以若为薄圆筒（不计厚度）结果相同。是可加的，所以若为薄圆筒（不计厚度）结果相同。2 2、求质量为、求质量为m、半径为半径为R、厚为厚为l 的均匀圆盘的的均匀圆盘的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。解：取半径为解：取半径为r 宽为宽为dr 的薄圆环的薄圆环,dVdm drlrdmrdJ322 lRdrlrdJJR403212 可见，可见，转动惯量与转动惯量与l 无关无关。所以，实心圆
8、柱对其轴。所以，实心圆柱对其轴的转动惯量也是的转动惯量也是mR2 2/2。2221mRJlRm lrdr 2ZOrdr 3、求一质量为求一质量为m的均匀实心球对其一条直径为轴的的均匀实心球对其一条直径为轴的 转动惯量。转动惯量。解：解：一球绕一球绕 Z 轴旋转，轴旋转，离球心离球心Z高处切一厚为高处切一厚为dz 的薄圆盘。其半径为的薄圆盘。其半径为22ZRr dZZRdZrdV)(222 dZZRdVdm)(22 dZZRdmrdJ2222)(2121 其体积：其体积：其质量：其质量：其转动惯量：其转动惯量：YXZORrdZZ dmrdJ221 2552158mRR 334Rm dJJ RRd
9、ZZR222)(21dZZR222)(21 YXZORrdZZ 4 4、求长为、求长为L、质量为质量为m的均匀细棒对图中不同轴的的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。转动惯量。ABLXABL/2L/2CX解：取如图坐标解：取如图坐标12/2222mLdxxJLLC 3202/mLdxxJLA xdxdm=dx dmrJ2 2 2、平行轴定理、平行轴定理前例中前例中JC 表示相对通过质心的轴的转动惯量，表示相对通过质心的轴的转动惯量，JA表表示相对通过棒端的轴的转动惯量。两轴平行，相距示相对通过棒端的轴的转动惯量。两轴平行，相距L/2/2。可见：可见：222231411212mLmLmLLmJJCA
10、 推广上述结论，若有任一轴与推广上述结论，若有任一轴与过质心的轴过质心的轴平行平行，相距为，相距为d，刚体对其转动惯量为刚体对其转动惯量为J，则有：则有：JJCmd2。这个结论称为这个结论称为平行轴定理平行轴定理。右图所示刚体对经过棒右图所示刚体对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯端且与棒垂直的轴的转动惯量如何计算？量如何计算？(棒长为棒长为L、球球半径为半径为R）2131LmJLL 252RmJoo 2002002)(RLmJdmJJL 222)(5231RLmRmLmJooL LmOmoo 四、转动定律应用举例四、转动定律应用举例例例1 1 、一个质量为、一个质量为M、半径为半径为R的的定滑轮
11、（当作均匀圆盘）上面绕有定滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上，细绳，绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为另一端挂一质量为m的物体而下垂。的物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体忽略轴处摩擦，求物体m由静止下由静止下落高度落高度h时的速度和此时滑轮的角时的速度和此时滑轮的角速度。速度。amhmgmg1T1TN MmmghRRv 241 242Mmmghahv gMmma2 解解方方程程得得：解：解：RamaTmgm :1对对2121 MRJJRTMM：对对 mgmg1T1TNmha 例例2 2、一个飞轮的质量为、一个飞轮的质量为6969kg，半径为半径为0.250.25m,正
12、正在以每分在以每分10001000转的转速转动。现在要制动飞轮，要转的转速转动。现在要制动飞轮，要求在求在5.05.0秒内使它均匀减速而最后停下来。摩擦系数秒内使它均匀减速而最后停下来。摩擦系数为为0.20.2。求闸瓦对轮子的压力。求闸瓦对轮子的压力N为多大？为多大？0解：飞轮制动时有解：飞轮制动时有t0 00 t 0Nfr 外力矩是摩擦阻力矩，角加速度为负值。外力矩是摩擦阻力矩，角加速度为负值。2mRJNRRfMr 2mRNR mRN 代入数据：代入数据：NN63.1802 0:1000r/min104.7rad/s 注注意意到到0mRt 解：棒下摆为加速过程，外解：棒下摆为加速过程，外力矩
13、为重力对力矩为重力对O的力矩。的力矩。棒棒上取质元上取质元dm,当棒处在下摆当棒处在下摆 角时，角时，该该质量元的重力对轴质量元的重力对轴的元力矩为的元力矩为 Ogdmdmldl dlglgdmldM coscos 例例3、一根长为、一根长为 、质量为质量为m的均匀细直棒，其一端的均匀细直棒，其一端有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆 角时角时的角加速度和角速度。的角加速度和角速度。l 重力对整个棒的合力矩为重力对整个棒的合力矩为 cos21cos22mgLgL Lg
14、mLmgLJM2cos331cos212 LdlgldMM0cos Ogdmdmldl dlglgdmldM coscos 代入转动定律，可得代入转动定律，可得 dddddtddtd003cos2gddL 231sin22gL 3singL dd 两边积分，两边积分，3cos2gL ddJdtdddJdtdJJM cos21 mglM代代入入 dJdmgL cos21 00cos21dJdmgL22121 JmgL sinLgJmgL sinsin3 dJMd 231mLJ 例例4、一质量为、一质量为m、半径为半径为R的匀质圆盘绕通过盘的匀质圆盘绕通过盘心且垂直于盘面的光滑轴正以心且垂直于盘面
15、的光滑轴正以 o的角速度转动。现的角速度转动。现将盘置于粗糙的水平桌面上，圆盘与桌面间的摩擦将盘置于粗糙的水平桌面上，圆盘与桌面间的摩擦系数为系数为,求圆盘经多少时间、转几圈将停下来？求圆盘经多少时间、转几圈将停下来？R0mgR 32 221mRJ 解解 摩擦力是分布在整个盘面上的，计算摩擦力的摩擦力是分布在整个盘面上的，计算摩擦力的力矩时，应将圆盘分为无限多个半径为力矩时，应将圆盘分为无限多个半径为r、宽为宽为dr的的圆环积分。圆环积分。MrdrRm 22g r o水平桌面水平桌面rdr故摩擦力矩为故摩擦力矩为 RgJM34 于是得于是得由由 =o+t=0得得gRtOo 43 又又由由 2-
16、o2=2，所以停下来前转过的圈数为所以停下来前转过的圈数为gRNoo 16322222 221mRJ ,32mgR Mo水平桌面水平桌面rdr 比较比较：221 mvEk 一一、刚体的转动动能刚体的转动动能222ki2121E iiiirmvm 221 JEk 刚体绕定轴转动时刚体绕定轴转动时转动动能转动动能等于刚体的等于刚体的转动惯量转动惯量与与角速度角速度平方乘积的一半。平方乘积的一半。2222221)(21)21(JrmrmEiiiiik 设物体在力设物体在力F作用下作用下,绕定轴绕定轴oz转动，转动，力力的作用点的作用点P位移大小为位移大小为ds=rd ,则力则力F的元功是的元功是 d
17、W=Fdscos(90o-)=Frsin d=Md 即即:力矩的元功等于力矩力矩的元功等于力矩M和角位移和角位移d 的乘积。的乘积。当刚体由角当刚体由角 1转到转到 2时时,力矩所作的功为力矩所作的功为 21 MdW 力矩的功率是力矩的功率是二、力矩的功二、力矩的功 即力矩的瞬时功率等于力即力矩的瞬时功率等于力矩和角速度的乘积。矩和角速度的乘积。MdtdMdtdWP ZFdsd opr 三、三、刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理 ddJdtdddJJdtdJM 2121 dJdM21222121 JJ 合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚体合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚体转动动
18、能的增量。转动动能的增量。刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理21222121 JJW 与质点的动与质点的动能定理能定理比较比较21222121mvmvW 四四、包括刚体的系统的场中机械能守恒定律包括刚体的系统的场中机械能守恒定律 iiiiphmgghmE刚体的重力势能等于其重力与质心高度之积刚体的重力势能等于其重力与质心高度之积.刚体的重力势能刚体的重力势能是组成它的各个质元的重力是组成它的各个质元的重力势能势能之和之和.mhmmgEiip CpmghE mymhiic CChim POihh 若在刚体转动过程中若在刚体转动过程中,只有重力做功只有重力做功,其他其他非保守内非保守内力
19、不做功力不做功,则刚体在重力场中机械能守恒则刚体在重力场中机械能守恒.常常量量 CmghJE221 机械能守恒定律机械能守恒定律 d 例例1、如图所示，质量为、如图所示，质量为 的物体，放在光滑的斜面的物体，放在光滑的斜面上，斜面与水平面倾角为上，斜面与水平面倾角为 ，弹簧的倔强系数为，弹簧的倔强系数为 ，滑，滑轮的转动惯量为轮的转动惯量为 ，半径为，半径为 。先将物体托住，使弹簧维。先将物体托住，使弹簧维持原长，然后由静止释放。求物体沿斜面滑下距离为持原长，然后由静止释放。求物体沿斜面滑下距离为 时时的速度。的速度。RlJ mk解：取解：取物体、滑轮、大地、弹物体、滑轮、大地、弹簧簧为一系统
20、，重力、弹性力为为一系统，重力、弹性力为内力。内力。系统机械能守恒系统机械能守恒初态：初态：00 PokoEE末态：末态：222121 JmvEk sin212mglklEp Rv mkhRJ,l 0sin212121222 mglklRvJmv222sin2klmglRvJmv 2122sin2 RJmklmglv 方向：沿斜面向下。方向：沿斜面向下。刚体绕定轴转动时刚体绕定轴转动时,各质元某一瞬时均以相同的各质元某一瞬时均以相同的角速度绕该定轴作圆周运动角速度绕该定轴作圆周运动.2iiirmL 刚体对某定轴的角动量等于刚体对此轴的转动惯量刚体对某定轴的角动量等于刚体对此轴的转动惯量与角速度
21、的乘积与角速度的乘积.ziiiiizJrmLL 2 zzJL 一、一、刚体的角动量定理刚体的角动量定理1 1、刚体定轴转动的角动量刚体定轴转动的角动量 dtdJJM dtdLJdtdM )(122121 JJdLMdtLLtt 冲量矩冲量矩,又叫又叫角冲量角冲量.外力矩对系统的角冲量外力矩对系统的角冲量(冲量矩冲量矩)等于角动量的增量等于角动量的增量.若若J 可以改变可以改变,则则11222121 JJdLMdtLLtt 2 2、刚体的角动量定理刚体的角动量定理 二二、角动量守恒定律及其应用角动量守恒定律及其应用0 M1122 JJJ 或或常常量量角动量守恒定律的两种情况：角动量守恒定律的两种
22、情况：1、转动惯量保持不变的单个刚体。、转动惯量保持不变的单个刚体。1212,0 则则时时，当当JJM当物体所受的合外力矩为零时当物体所受的合外力矩为零时,物体的角动量保物体的角动量保持不变持不变.这一结论称为这一结论称为角动量守恒定律角动量守恒定律.112221 JJMdttt 2、转动惯量可变的物体。、转动惯量可变的物体。.保保持持不不变变就就增增大大，从从而而减减小小时时，当当就就减减小小；增增大大时时，当当 JJJFF 实际中的一些现象实际中的一些现象艺术美、人体美、物理美相互结合艺术美、人体美、物理美相互结合、芭蕾舞演员的高难动作芭蕾舞演员的高难动作 当滑冰、跳水、体操运动当滑冰、跳
23、水、体操运动员在空中为了迅速翻转也总是员在空中为了迅速翻转也总是曲体、减小转动惯量、增加角曲体、减小转动惯量、增加角速度。当落地时则总是伸直身速度。当落地时则总是伸直身体、增大转动惯量、使身体平体、增大转动惯量、使身体平稳地。稳地。花样滑冰运动花样滑冰运动员通过改变身体姿员通过改变身体姿态即改变转动惯量态即改变转动惯量来改变转速来改变转速.涡旋星系涡旋星系 例例1 1、如图所示、如图所示,一质量为一质量为m的子弹以水平速度的子弹以水平速度射入一静止悬于顶端长棒的下端射入一静止悬于顶端长棒的下端,穿出后速度损失穿出后速度损失3/4,3/4,求子弹穿出后棒的角速度求子弹穿出后棒的角速度。已知棒长为
24、。已知棒长为l,质质量为量为M.v0vmMl解解:请问请问:1.1.子弹和棒的总动量守恒吗子弹和棒的总动量守恒吗?mvlJlmv 0231MlJ 041vv 0094mv lmvlmvJMl 2.2.总角动量守恒吗总角动量守恒吗?为为什么什么?联立联立,得得 法二法二:以以f 代表棒对子弹的阻力代表棒对子弹的阻力,对子弹有对子弹有:0043)(mvvvmfdt 子弹对棒的反作用力对棒的冲量子弹对棒的反作用力对棒的冲量矩为：矩为：Jdtflldtf因因,由两式得由两式得ff v0vmM003944mv lmvJMl ol 30aM例例2、如图，已知：、如图，已知：max,30M m l a 子弹
25、射入并嵌在棒内，求子弹的初速。子弹射入并嵌在棒内，求子弹的初速。解：过程分两步解：过程分两步1、子弹与棒发生完全非弹性碰撞、子弹与棒发生完全非弹性碰撞 角动量守恒角动量守恒2、子弹与棒摆动，机械能守恒。、子弹与棒摆动，机械能守恒。)31(22maMlmva)30cos1(2)30cos1()31(2100222 lMgmgamaMl)3)(2)(32(6122maMlMlgmav 例例3 3、如图所示，将单摆和一等长的匀质直杆悬、如图所示，将单摆和一等长的匀质直杆悬挂在同一点，杆的质量挂在同一点，杆的质量m与单摆的摆锤相等。开始时与单摆的摆锤相等。开始时直杆自然下垂，将单摆的摆锤拉到高度直杆自
26、然下垂，将单摆的摆锤拉到高度h0，令它自静，令它自静止状态下止状态下摆摆,于铅垂位置和直杆作弹性碰撞。求碰撞于铅垂位置和直杆作弹性碰撞。求碰撞后直杆下端达到的高度后直杆下端达到的高度h。mlhol解解:单摆下落过程机械能守恒；单摆下落过程机械能守恒；摆与杆的碰撞过程角动量守摆与杆的碰撞过程角动量守恒，机械能守恒；恒，机械能守恒；杆上摆的过程机械能守恒；杆上摆的过程机械能守恒；设设:碰撞前单摆摆锤的速度为碰撞前单摆摆锤的速度为v0令碰撞后直杆的角速度为令碰撞后直杆的角速度为，摆锤的速度为摆锤的速度为v。碰撞后碰撞后杆下端杆下端达到的高度达到的高度为为h 002ghv 2031)(mlJJvvml
27、 式式中中 222011()22m vvJ 211(1cos)(1cos)22Jmglhl联立，得联立，得lvvv23,200 032hh hl 例例4、如图所示，、如图所示，60,2 hRmM求：碰撞后瞬间盘的求：碰撞后瞬间盘的?0 转到转到 轴时盘的轴时盘的Px?解：解：下落下落m221mvmgh )1(2ghv hmp v碰撞碰撞 t 极小，对极小，对 m+盘系统，冲力远大于重力，盘系统，冲力远大于重力，故重力对故重力对O力矩可忽略，角动量守恒：力矩可忽略，角动量守恒：)2(cos0 JmvR)3(221222mRmRMRJ homyx pM匀质圆盘匀质圆盘光滑轴光滑轴水平水平粘土块粘土
28、块R)4(cos220 Rgh 由（由（1）（）（2）（）（3）式得：）式得：取取 ，地球为一系统，只有重力做功，故机械，地球为一系统，只有重力做功，故机械能守恒。能守恒。mM0:pExp轴重合时轴重合时、令令)5(2121sin220 JJmgR )1(2ghv )2(cos0 JmvR)3(221222mRmRMRJ homyx pM匀质圆盘匀质圆盘光滑轴光滑轴水平水平粘土块粘土块R 由（由（3）（）（4）（）（5）式得：）式得：sincos222RgRgh Rhg34221 RgmRmgRJM222 oMRmmg ,)4(cos220 Rgh)5(2121sin220 JJmgR )3(
29、221222mRmRMRJ 解解 (1)系统系统(圆盘圆盘+人人)什么什么量守恒？量守恒？系统角动量守恒：系统角动量守恒：盘盘J上式正确吗？上式正确吗？例例 5、匀质园盘、匀质园盘(m、R)与一人与一人(,视为质视为质 点点)一起以角速度一起以角速度 o绕通过其盘心的竖直光滑固定轴绕通过其盘心的竖直光滑固定轴转动转动,如图所示如图所示。如果此人相对于盘以速率。如果此人相对于盘以速率、沿沿半径为半径为 的园周运动的园周运动(方向与盘转动方向相反方向与盘转动方向相反),求求:2R10m (1)圆盘对地的角速度圆盘对地的角速度;(2)欲使园盘对地静止，人相对欲使园盘对地静止，人相对园盘的速度大小和方
30、向？园盘的速度大小和方向？oJJ)(人人盘盘 o2/R 2Rm 错！因为错！因为角动量守恒定律角动量守恒定律只适用于惯性系。只适用于惯性系。所以应代入人相对于惯性所以应代入人相对于惯性系系(地面地面)的角动量的角动量。盘盘J oJJ)(人人盘盘2Rm 人对地人对地=人对盘人对盘+盘对地盘对地 人对地人对地=o2/R R 2+盘盘J oJJ)(人人盘盘人对地人对地人人 J 正确的角动量守恒式子是：正确的角动量守恒式子是：oRmmR)21(102122)2()2(102RRm 解解出：出：Ro212 (2)欲使盘静止，可令欲使盘静止，可令0212 Ro 得得oR 221 式中式中负号表示人的运动方
31、向与盘负号表示人的运动方向与盘的初始转动的初始转动(o)方向不一致。方向不一致。221mR 盘盘J oJJ)(人人盘盘人对地人对地人人 J o2/R 人对地人对地=R 2+解解 系统系统(小球和环、地球小球和环、地球)在运在运动过程中哪些量守恒？动过程中哪些量守恒？系统在运动过程中，角动量守系统在运动过程中，角动量守恒恒,机械能守恒机械能守恒:)(2000mRJJ (1)例例6、空心园环可绕光滑的竖直固定轴空心园环可绕光滑的竖直固定轴AC自由转动，自由转动，转动惯量为转动惯量为Jo,半径为半径为R，初始角速度为初始角速度为 o。质量为质量为m的小球静止在环的最高处的小球静止在环的最高处A点，由
32、于某种扰动，小球沿点，由于某种扰动，小球沿环向下滑动，求小球滑到与环心环向下滑动，求小球滑到与环心o在同一高度的在同一高度的B点时，点时，环的角速度及小球相对于环的速度各为多少。环的角速度及小球相对于环的速度各为多少。(设环的设环的内壁和小球都是光滑的，环截面很小内壁和小球都是光滑的，环截面很小)ABoRoC220200212121 mJmgRJ (2)222)(BR 由相对运动，对小球有由相对运动，对小球有 B表示小球在表示小球在B点时相对于地面的点时相对于地面的竖直分速度竖直分速度(即相对于环的速度即相对于环的速度)。2000mRJJ 由由(2)得得由由(1)得环的角速度为得环的角速度为A
33、BoRoC )(2000mRJJ (1)220200212121 mJmgRJ (2)0222002JmRRJgRB o0vmRMO例例7、一质量均匀分布的圆盘，质量为、一质量均匀分布的圆盘，质量为 ，半径为，半径为 ，放在一粗糙水平面上，圆盘可绕通过其中心，放在一粗糙水平面上，圆盘可绕通过其中心 的竖的竖直固定光滑轴转动。开始时圆盘静止，一质量为直固定光滑轴转动。开始时圆盘静止，一质量为 的的子弹以水平速度子弹以水平速度 垂直于圆盘半径打入圆盘边缘并陷垂直于圆盘半径打入圆盘边缘并陷入盘边上，求：入盘边上，求：子弹击中圆盘后，圆盘所获得的角子弹击中圆盘后，圆盘所获得的角速度；速度；经过多少时间
34、后，经过多少时间后，圆盘停止转动。圆盘停止转动。mOMR0v解：解：子弹击中圆盘，角动量守恒子弹击中圆盘，角动量守恒 22021MRmRRmvMRmRmvMRmRRmv21022120 由冲量矩定理：由冲量矩定理：00 JJdtMtf MgRMf 32 MRmRmvMRmRdtMgRt2102202132 RmvMgRt032 Mgmvt 230 三三、陀螺的陀螺的旋进（进动）旋进（进动）一）何谓旋进一）何谓旋进陀螺的运动陀螺的运动OZ M当陀螺绕其对称轴旋转时具有角动量当陀螺绕其对称轴旋转时具有角动量受重力的力矩受重力的力矩二）旋进的解释二）旋进的解释 JL gmrMc dtMLd 产生一个
35、新的角动量产生一个新的角动量LdLL dtdP 也即刚体绕新的轴运动，也即刚体绕新的轴运动，产生了进动。进动角速度产生了进动。进动角速度P LLdXYZOOLdL dLdp mgcra dLdL)sin(dtLp )sin(dtLJp sin MdtdL sinLJMp gmrMc 又又 sinmgrMc LmgrJmgrccp MLLdXYZOOLdL dLdp mgcra dtdP Cfr三）旋进的应用举例三）旋进的应用举例我们知道：甩手榴弹时，手我们知道：甩手榴弹时，手榴弹要翻跟头，但为了保证榴弹要翻跟头，但为了保证子弹，炮弹不至如此，常在子弹，炮弹不至如此，常在炮筒内加来复线，以保证弹炮筒内加来复线，以保证弹头朝前。头朝前。LfM
