1、 Mechanics of Elasto-Plasticity 弹塑性力学弹塑性力学 石家庄铁道学院工程力学系石家庄铁道学院工程力学系 Chapter 7 平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答 7-1.用极坐标表示的基本方程用极坐标表示的基本方程sincosryrx一、极坐标与直角坐标的关系一、极坐标与直角坐标的关系 二、平衡微分方程二、平衡微分方程)arctan(222xyyxrxyor),(yxA),(rAA1、微元体、微元体 drdrxyoPACB2、受力、受力 体力体力 取微元体取微元体PACB FFrrFF面力面力 rrr),(rrr),(PB面面),(rrrr),(PA面面 r
2、rr Mechanics of Elasto-Plasticity 弹塑性力学弹塑性力学 石家庄铁道学院工程力学系石家庄铁道学院工程力学系3、静力平衡、静力平衡 由直角坐标系中的推导可得由直角坐标系中的推导可得 0rFAC面面 rrr),(rrr),(PB面面),(rrrr),(PA面面 drdrxyoPACBrFFrrrrrrrddrrrrrrddrrrrddrrrrrrddBC面面 d)d(drrrrrr2dsinddrdrr2dcosddrrr0ddrrFr2dsindr2dcosdrr 0F2dcosddrd)d(rdrrrrr2dcosdr2dsinddrrr0ddrrFdrr2ds
3、indrr Mechanics of Elasto-Plasticity 弹塑性力学弹塑性力学 石家庄铁道学院工程力学系石家庄铁道学院工程力学系2d2dsind)d(drrrrrr2dsinddrdrr2dcosddrrr0ddrrFr2dsindr2dcosdrr注意到注意到 很小，很小，d2dcosddrd)d(rdrrrrr2dcosdr2dsinddrrr0ddrrFdrr2dsindrr展开忽略高阶小项，并整理得展开忽略高阶小项，并整理得 12dcos01rrrrFrrrrr021Frrrrr Mechanics of Elasto-Plasticity 弹塑性力学弹塑性力学 石家庄
4、铁道学院工程力学系石家庄铁道学院工程力学系rururruurrrrrddPAPP-AAPAPA-AP三、几何三、几何方程方程 1、只有径向位移、只有径向位移 dxyo径向线段径向线段 PA 的转角的转角 0环向线段环向线段 PB 的转角的转角 rrrrurruuu1d)(PBPPBBrrur1所以所以 PA=drOP=r设设 ruPPPBBPAA则则 dBBrruu所以所以 rruurrdAArurrurrrddd)(PBPB-BPB Mechanics of Elasto-Plasticity 弹塑性力学弹塑性力学 石家庄铁道学院工程力学系石家庄铁道学院工程力学系0 r2、只有环向位移、只有
5、环向位移 dxyo径向线段径向线段 PA 的转角的转角 rururruu d)d(PAPPAA环向线段环向线段 PB 的转角的转角 ru OPPPPPOrurur 所以所以 PA=drOP=r设设 uPPPBPA则则 dBB uu所以所以 rruudAA urruuu1d)d(PBPPBBPBPB-BPArurrrrur1rurB Mechanics of Elasto-Plasticity 弹塑性力学弹塑性力学 石家庄铁道学院工程力学系石家庄铁道学院工程力学系0 r3、结论、结论四、物理方程四、物理方程)(1rrE考虑到物理关系的广义性，即得考虑到物理关系的广义性，即得 rrrEG)1(21
6、rurur rurrrr ruruurrrrr 1rurrur 1 ur1rurrrrur1rur)(1rE Mechanics of Elasto-Plasticity 弹塑性力学弹塑性力学 石家庄铁道学院工程力学系石家庄铁道学院工程力学系五、应力函数与相容方程五、应力函数与相容方程 sin,cosryrx1、坐标变换、坐标变换 cosrxxrxyyxrarctan222由由 sinryyrrryxsin2rryyrrycossinrrxycos2rrxxrrxsincos)sin)(cossin(cos22rrrrx2222222222sincossin2sincossin2cosrrrr
7、rrr Mechanics of Elasto-Plasticity 弹塑性力学弹塑性力学 石家庄铁道学院工程力学系石家庄铁道学院工程力学系2、应力分量、应力分量 222022011)()(rrryxr222222222222coscossin2coscossin2sinrrrrrrry同理得同理得 222222222222sincossin2sincossin2cosrrrrrrrx222222222222cossinsincoscossinsincoscossinrrrrrrryx220220)()(rxy)1(11)()(22020rrrrryxxyrrxyyxxyxy Mechanic
8、s of Elasto-Plasticity 弹塑性力学弹塑性力学 石家庄铁道学院工程力学系石家庄铁道学院工程力学系3、相容方程、相容方程 所以所以 22222222211rrrryx由于由于 0)1(222rrr0)(22222yx对于轴对称问题简化为对于轴对称问题简化为 0)11(222222rrrr0)dd1dd(222rrr或或 222222222222coscossin2coscossin2sinrrrrrrry222222222222sincossin2sincossin2cosrrrrrrrx又有又有 所以所以 Mechanics of Elasto-Plasticity 弹塑性
9、力学弹塑性力学 石家庄铁道学院工程力学系石家庄铁道学院工程力学系六、基本方程六、基本方程 总结总结)(1rrErrrEG)1(21rurrruruurrr1rurrur1)(1rE01rrrrFrrr021Frrrrr22211rrrr22r)1(1122rrrrrr0)11(222222rrrr0)dd1dd(222rrr Mechanics of Elasto-Plasticity 弹塑性力学弹塑性力学 石家庄铁道学院工程力学系石家庄铁道学院工程力学系 7-2.应力分量的坐标变换应力分量的坐标变换设设 斜边为斜边为 ds,得得 同理可得同理可得 0cossindsincosdsinsind
10、coscosddsssssyxxyyxr命题：已知某点的命题：已知某点的 xyyx,由由 0rFryyxrr,求：该点的求：该点的 xyxyxyyxxxyrrcossin则左边为则左边为ds ,上边上边dssincos2sincos22xyyxrsincos2cossin22xyyx)sincos(cossin)(22xyyxr Mechanics of Elasto-Plasticity 弹塑性力学弹塑性力学 石家庄铁道学院工程力学系石家庄铁道学院工程力学系2sin2cos22xyyxyxr或或 sincos2sincos22xyyxrsincos2cossin22xyyx)sincos(c
11、ossin)(22xyyxr2cos2sin22xyyxyx思考：思考：利用坐标变换如何得出以上公式利用坐标变换如何得出以上公式？2cos2sin2xyyxr2sin2cos22rrrx或或 2cos2sin22rrry2cos2sin2rrxy Mechanics of Elasto-Plasticity 弹塑性力学弹塑性力学 石家庄铁道学院工程力学系石家庄铁道学院工程力学系 7-3.轴对称问题的应力与位移轴对称问题的应力与位移一、基本方程一、基本方程)(1rrErrrEG)1(21rurrruruurrr1rurrur1)(1rE01rrrrFrrr021Frrrrr平衡微分方程平衡微分方
12、程 0ddrrrFrr几何方程几何方程 rurr0rrur物理方程物理方程 消去位移消去位移 0)(1ddrrr Mechanics of Elasto-Plasticity 弹塑性力学弹塑性力学 石家庄铁道学院工程力学系石家庄铁道学院工程力学系应力函数应力函数)(),(rr22211rrrr22r)1(1122rrrrrr0)11(222222rrrr0)dd1dd(222rrr应力分量应力分量 rrr122r0r协调方程协调方程 Mechanics of Elasto-Plasticity 弹塑性力学弹塑性力学 石家庄铁道学院工程力学系石家庄铁道学院工程力学系将将 代回，得以代回，得以r
13、表示的应力函数表示的应力函数 二、轴对称问题的求解二、轴对称问题的求解 0)dd1dd(222rrr1、应力函数、应力函数 由协调方程由协调方程 0dd1dd1dd2dd32223344rrrrrrr展开展开 0dd4dd4dd223344tttrtln作代换，令作代换，令 0)2(4422234nnnnn,转换成常系数微分方程，有转换成常系数微分方程，有 特征方程为特征方程为 204,32,1nn特征方程的解为特征方程的解为 ttteCeCtCCt242321)(以以t表示的应力函数为表示的应力函数为 rtlnDCrrBrrAr22lnln)(Mechanics of Elasto-Plas
14、ticity 弹塑性力学弹塑性力学 石家庄铁道学院工程力学系石家庄铁道学院工程力学系2、应力分量、应力分量 CrBrArrr2)ln21(dd123、应变分量、应变分量 0r由由 rurrddDCrrBrrAr22lnln)(CrBrAr2)ln23(dd2220r)1(2ln)1(2)31()1(1)(12CrBBrAEErr)1(2ln)1(2)3()1(1)(12CrBBrAEErr4、位移分量、位移分量 DrCrBrrAEur)1(21ln)1(2)1(1)1(23ln)1(2)1(1rCrBrrAEurrur由由 Mechanics of Elasto-Plasticity 弹塑性力
15、学弹塑性力学 石家庄铁道学院工程力学系石家庄铁道学院工程力学系CrACrBrAr22)ln21(22由位移单值条件，对比两式可得由位移单值条件，对比两式可得0rCrACrBrA22)ln23(220 DB5、应力分量简化、应力分量简化 DrCrBrrAEur)1(21ln)1(2)1(1)1(23ln)1(2)1(1rCrBrrAEur112EE故得位移为故得位移为)1(2)1(1rCrAEur对平面应变问题对平面应变问题 Mechanics of Elasto-Plasticity 弹塑性力学弹塑性力学 石家庄铁道学院工程力学系石家庄铁道学院工程力学系 7-4.圆环或圆筒受均布压力圆环或圆筒
16、受均布压力已知：图示圆环或圆筒。已知：图示圆环或圆筒。求：应力场。求：应力场。故故bqabaqCrAr220rCrA22一、应力分量一、应力分量 aarrqCaA2)(20)(arrbbrrqCbA2)(2二、边界条件二、边界条件 满足满足0)(brr解得解得)(2222abqqabbaA)(122222bqaqabCba222222222)()(abbqaqrabqqbabaabr222222222)()(abbqaqrabqqbabaab Mechanics of Elasto-Plasticity 弹塑性力学弹塑性力学 石家庄铁道学院工程力学系石家庄铁道学院工程力学系abaq三、讨论三、
17、讨论 1、只有内压、只有内压 1）当）当b222222222)()(abbqaqrabqqbabaabr222222222)()(abbqaqrabqqbabaab)1(22222rbabaqar)1(22222rbabaqa2）当）当 b a=t 的薄壁筒的薄壁筒211122rb222222)11()/(1)(rqarbbaaqaabr222222)11()/(1)(raqrbbaaqaab22)2(da tdababab)(22dtqtdqarbabaqaaa22)1(222222与材料力学结果相同与材料力学结果相同 径向为压应力，环向为拉应力，且径向为压应力，环向为拉应力，且 aarqa
18、bba2222max)()(r Mechanics of Elasto-Plasticity 弹塑性力学弹塑性力学 石家庄铁道学院工程力学系石家庄铁道学院工程力学系两者都是压应力，且两者都是压应力，且bqab2、只有外压、只有外压 222222222)()(abbqaqrabqqbabaabr222222222)()(abbqaqrabqqbabaab)1(22222raabbqbr)1(22222raabbqb0a当当 （针孔）（针孔）222max2)(abbqbarrrbbarqabbq22)(222bq2abq25.12abq11.13abq06.14a结论：结论：1.孔边应力集中孔边应
19、力集中2.应力集中是应力集中是 局部现象局部现象 Mechanics of Elasto-Plasticity 弹塑性力学弹塑性力学 石家庄铁道学院工程力学系石家庄铁道学院工程力学系 7-5.组合厚壁筒组合厚壁筒图示组合厚壁筒图示组合厚壁筒求：装配应力求：装配应力厚壁筒内应力分布不均匀厚壁筒内应力分布不均匀一、问题的提出一、问题的提出 二、命题二、命题 11E内筒内筒22E外筒外筒ccabc装配前装配前c外筒内半径外筒内半径c内筒外半径内筒外半径三、解三、解 装配后：装配后：内筒受外压内筒受外压 p 外筒受内压外筒受内压 pccu1u21、假设：加工均匀，、假设：加工均匀，可按轴对称处理；可按
20、轴对称处理；很小，内、外筒按很小，内、外筒按平均半径计算平均半径计算2、变形协调条件、变形协调条件21)(uu Mechanics of Elasto-Plasticity 弹塑性力学弹塑性力学 石家庄铁道学院工程力学系石家庄铁道学院工程力学系内筒内筒abc故故外筒外筒ccu1u23、位移、位移21)(uu由由)1(2)1(1rCrAEur2222cbpcbA2222cbpcC2222acpcaA2222acpcC)1()1()()1()1(1)(212112222212222111caEaccpacpccacpcacEuucrr)1()1()()1()1(1)(222222222222222
21、222cbEcbcpcbpcccbpcbcEuucrr Mechanics of Elasto-Plasticity 弹塑性力学弹塑性力学 石家庄铁道学院工程力学系石家庄铁道学院工程力学系abc5、讨论：、讨论：ccu1u24、代入协调条件，得、代入协调条件，得21)(uu)1()1()(21211221caEaccpu)1()1()(22222222cbEcbcpu)()1()1()()1()1(22222221222121EcbbcEacaccp)()1()1()()1()1(22222221222121EcbbcEacaccp设两种材料相同，设两种材料相同，2121,EEE)(2)(22
22、32222abccbacEp Mechanics of Elasto-Plasticity 弹塑性力学弹塑性力学 石家庄铁道学院工程力学系石家庄铁道学院工程力学系abc内筒为实心轴时的压力内筒为实心轴时的压力内压与过盈同时存在时的环内压与过盈同时存在时的环向应力向应力 分布，分布，)(2)(2232222abccbacEp工程上设计过盈量工程上设计过盈量 的步骤的步骤2222)(cbcbEp确定筒的极限应力（或许用应力）确定筒的极限应力（或许用应力）设计装配压力设计装配压力 p (根据强度理论）根据强度理论）计算应力分布计算应力分布计算过盈量计算过盈量 Mechanics of Elasto-
23、Plasticity 弹塑性力学弹塑性力学 石家庄铁道学院工程力学系石家庄铁道学院工程力学系 7-6.圆弧曲杆圆弧曲杆1、应力分布特点、应力分布特点一、纯弯曲一、纯弯曲 0)(arr2、边界条件、边界条件CrBrAr2)ln21(2CrBrA2)ln23(20rMMab应力分布与极角无关，即应力分布与极角无关，即0)(brr02)ln21(2CbBbA02)ln21(2CaBaAbabaCrrrrrBrArCrBrA2)ln(23d2)ln23(22)ln21(2)ln21(22CarBaAaCbBbAb0drba（1）（2）由式（由式（1）、（）、（2）知，此式满足。）知，此式满足。Mech
24、anics of Elasto-Plasticity 弹塑性力学弹塑性力学 石家庄铁道学院工程力学系石家庄铁道学院工程力学系abbaNMAln422联立求解式（联立求解式（1）、（）、（2）和（）和（3）得）得222222)(ln4)(abbaabNMMab02)ln21(2CbBbA02)ln21(2CaBaArCrrrrBrAbad2)ln23(baCrrrrBrA)412ln(223ln222Mrrbad（1）（2）(3)baCrrBrrAln1 ln22MabCababBabA)()ln1)(ln2222)(222abNMB)lnln(22222aabbabNMC式中：式中：从而得解答
25、从而得解答 Mechanics of Elasto-Plasticity 弹塑性力学弹塑性力学 石家庄铁道学院工程力学系石家庄铁道学院工程力学系)lnlnln(422222raabrbabrbaNMr0rMMab中性轴中性轴内侧拉应力数值大于外侧压应力数值，故中性轴偏向内侧边界内侧拉应力数值大于外侧压应力数值，故中性轴偏向内侧边界)lnlnln(42222222abraabrbabrbaNM3、讨论、讨论)ln2(4)lnln(4)(2222222ababNMabbababbNMar)ln2(4)lnln(4)(2222222abbaNMabbaaabaNMbr(2)环向应力：环向应力：(1)
26、径向应力：除两侧边界外不等于零径向应力：除两侧边界外不等于零 Mechanics of Elasto-Plasticity 弹塑性力学弹塑性力学 石家庄铁道学院工程力学系石家庄铁道学院工程力学系1、应力分布特点、应力分布特点二、端面受集中力二、端面受集中力 fr sin222、应力函数、应力函数sinMab任一任一 m-n 截面上截面上frrrsin1frr2222sin10)11(2222224rrrr由由xymnP22r因因sin所以所以sin)(rf故可取故可取因因)11(sin21frfrf 令令 Mechanics of Elasto-Plasticity 弹塑性力学弹塑性力学 石家
27、庄铁道学院工程力学系石家庄铁道学院工程力学系)6631(sin43222frfrfrfrfr )2211(sin1432frfrfrfrrr )111(sin1432222frfrfrr 0)11(2222224rrrr0)3332(sin432 frfrfrfrf则则所以所以nrrf)(设特解设特解)11(sin21frfrf 03332432 frfrfrfrf033)1(3)2)(1(2)3)(2)(1(4nrnnnnnnnnnn特征方程为特征方程为0)3)(1()1(2nnn其解为其解为311432,1nnn所以所以rDrCrrBArrfln)(3sin)ln(3rDrCrrBAr M
28、echanics of Elasto-Plasticity 弹塑性力学弹塑性力学 石家庄铁道学院工程力学系石家庄铁道学院工程力学系sin)22(113222rDrBArrrrr3、应力分量、应力分量0)()(arrarr0223aDaBAa4、边界条件、边界条件联立解得联立解得sin)ln(3rDrCrrBArsin)26(322rDrBArrcos)22()1(3rDrBArrrrabxymnP0)()(brrbrr0223bDbBAbPrrbad0babarDrBArrrDrBAr)ln2(d)22(223PabDabBabAln)11()(2222 Mechanics of Elasto
29、-Plasticity 弹塑性力学弹塑性力学 石家庄铁道学院工程力学系石家庄铁道学院工程力学系sin)(sin)22(322223rbarbarNPrDrBArr5、结果、结果NPA26、说明、说明sin)3(sin)26(322223rbarbarNPrDrBArcos)(cos)22(322223rbarbarNPrDrBArr222baNPB)(22baNPD切应力说明切应力说明 P 的分布的分布对大曲率杆，材力结果足够精确对大曲率杆，材力结果足够精确 Mechanics of Elasto-Plasticity 弹塑性力学弹塑性力学 石家庄铁道学院工程力学系石家庄铁道学院工程力学系 7
30、-7.圆孔的孔边应力集中圆孔的孔边应力集中1、问题分析、问题分析应力函数为应力函数为一、现象一、现象 二、分析求解二、分析求解 2021qy0,yxq无孔时的应力为无孔时的应力为)2cos1(41sin212220qrqr)2cos1(21120220qrrrr 问题转化为，找一个应力函问题转化为，找一个应力函数，使其适用于有孔的情况，数，使其适用于有孔的情况，且在且在 r 足够大时给出的应力与足够大时给出的应力与无孔时给出的应力相同。无孔时给出的应力相同。2axyr)2cos1(2202qr2sin2)1(0qrrr2cos)()(210rfrf 根据根据 的形式，试的形式，试取应力函数为取
31、应力函数为0qq Mechanics of Elasto-Plasticity 弹塑性力学弹塑性力学 石家庄铁道学院工程力学系石家庄铁道学院工程力学系2、变形协调条件、变形协调条件因为因为02cos04由由 ，得，得02cos)4dd1dd)(4dd1dd()dd1dd)(dd1dd(222222222121222rfrfrrfrrrrrfrrfrrrnrrf)(12cos)()(210rfrf所以所以0)4dd1dd)(4dd1dd(222222222rfrfrrfrrrr式（式（1）为欧拉线性方程，其特解为）为欧拉线性方程，其特解为0)dd1dd)(dd1dd(121222rfrrfrrr
32、(1)(2)于是得于是得2221212)1(dd1ddnnrnrnnnrfrrf0)2()2()3)(2()dd1dd(422422222nnnrnnrnnnnrnrrr Mechanics of Elasto-Plasticity 弹塑性力学弹塑性力学 石家庄铁道学院工程力学系石家庄铁道学院工程力学系特征方程为特征方程为2,04,32,1nn故故 的通解为的通解为)(1rf四个根为四个根为0)4dd1dd)(4dd1dd(222222222rfrfrrfrrrr式（式（2）同为欧拉线性方程，）同为欧拉线性方程，0)2(22nn(2)rrCrCrCCrflnln)(24232110)2()2(
33、)3)(2()dd1dd(422422222nnnrnnrnnnnrnrrr其特解与式（其特解与式（1）具有同样的形式）具有同样的形式nrrf)(1于是得于是得2222222)2)(2(4dd1ddnrnnrfrfrrf0)4)(2)(2()2)(2)(4dd1dd(42222nnrnnnnrnnrfrrr特征方程为特征方程为4,2,2,04321nnnn四个根为四个根为0)4)(2)(2(nnnn Mechanics of Elasto-Plasticity 弹塑性力学弹塑性力学 石家庄铁道学院工程力学系石家庄铁道学院工程力学系故故 的通解为的通解为)(2rf48276252)(rCrCCr
34、CrfrrCrCrCCrflnln)(2423211所以，应力函数为所以，应力函数为3、应力分量、应力分量2cos)246()ln21(27264543220CrCrCrCCrCr4,2,2,04321nnnn四个根为四个根为2cos)(lnln2cos)()(482762524232121rCrCCrCrrCrCrCCrfrf2cos)1226()ln23(22874543220rCCrCrCCrC2sin)6226(28726450rCCrCrCr Mechanics of Elasto-Plasticity 弹塑性力学弹塑性力学 石家庄铁道学院工程力学系石家庄铁道学院工程力学系4、常数的
35、确定、常数的确定2cos)246()ln21(27264543220CrCrCrCCrCr2cos)1226()ln23(22874543220rCCrCrCCrC2sin)6226(28726450rCCrCrCr无孔时应力解无孔时应力解)2cos1(2qr)2cos1(2qr2sin2qr有孔时应力解有孔时应力解有限条件：有限条件：r当当 ，应力应保持有限值，故有，应力应保持有限值，故有084 CC互等条互等条件：件：qC417当当 r 足够大时足够大时，有孔与无孔时的应力应相同。即，有孔与无孔时的应力应相同。即qC413rrrqqCC2cos222cos22)(730故故2cos)214
36、6(212645220qrCrCqrCr2cos)216(2145220qrCqrC2sin)2126(26450qrCrCr整理应力整理应力分量分量 Mechanics of Elasto-Plasticity 弹塑性力学弹塑性力学 石家庄铁道学院工程力学系石家庄铁道学院工程力学系边界条件：边界条件：2621qaC 4541qaC2221qaC故故2cos)2146(212645220qrCrCqrCr2cos)216(2145220qrCqrC2sin)2126(26450qrCrCr结果结果02cos)2146(21)(2645220qaCaCqaCarr02sin)2126()(264
37、50qaCaCarr021462645qaCaC021262645qaCaC由由02122qaC2cos)341(1 214422220rararaqr2cos)31(1 2144220raraq2sin)321(2144220raraqr2cos)2(ln241242222raarrarq2axyrqq Mechanics of Elasto-Plasticity 弹塑性力学弹塑性力学 石家庄铁道学院工程力学系石家庄铁道学院工程力学系1、当、当 r=a 时，即孔边应力时，即孔边应力三、讨论三、讨论 0,)2cos21(rrq-q0)(002cos)31(1 2144220raraq030q4
38、52q603q903q)2321(44220raraqy01.22q1.07q1.04qa2a3a4a-q)13(222220rarqax02、当、当 时，即沿时，即沿 y 轴轴0903、当、当 时，即沿时，即沿 x 轴轴00a5a2a3aa300.033q0.037q 0.018qxyxy3q-q-q3q1.04q Mechanics of Elasto-Plasticity 弹塑性力学弹塑性力学 石家庄铁道学院工程力学系石家庄铁道学院工程力学系 7-8.轴对称高速旋转件轴对称高速旋转件 假设：应力沿壁厚均匀分布假设：应力沿壁厚均匀分布一、筒形薄壁转鼓旋转时的应力一、筒形薄壁转鼓旋转时的应力
39、式中：式中：dddd2222lRlRRmRF令：微元质量令：微元质量 dm 的离心力为的离心力为dF，则，则02dsin2dlF根据径向平衡条件根据径向平衡条件lRdFdR 转鼓中径转鼓中径2/d2/d材料密度材料密度转鼓角速度转鼓角速度22R2/sind将将 dF 代入，并利用代入，并利用 取代取代 ，得到，得到2/d Mechanics of Elasto-Plasticity 弹塑性力学弹塑性力学 石家庄铁道学院工程力学系石家庄铁道学院工程力学系二、等厚度旋转圆盘的应力二、等厚度旋转圆盘的应力rFr2rrrrr2dd几何方程几何方程由于为轴对称问题，故平衡方程为由于为轴对称问题，故平衡方
40、程为rurdd设：圆盘以角速度设：圆盘以角速度 等速旋转，则单等速旋转，则单位体积的离心力为位体积的离心力为物理方程物理方程)dd(1)(122ruruEErrru1)dd(1)(122ruruEEr代入平衡方程，得代入平衡方程，得rErururru222221dd1dd Mechanics of Elasto-Plasticity 弹塑性力学弹塑性力学 石家庄铁道学院工程力学系石家庄铁道学院工程力学系齐次方程齐次方程0)1(1)1(222kkrkrkkk的通解的通解rBrAu111k原方程的特解设为原方程的特解设为kCru kru 令令代入上式，得代入上式，得rErururru222221d
41、d1dd即奇次方程的通解为即奇次方程的通解为0dd1dd222rururru代入原方程有代入原方程有rErkCk22221)1(比较两边系数，得比较两边系数，得22813ECk故特解为故特解为32281rEu叠加得一般解为叠加得一般解为3221181rErBAu应力为应力为22283rrBAr其中：其中：A、B为新常数为新常数222831rrBA Mechanics of Elasto-Plasticity 弹塑性力学弹塑性力学 石家庄铁道学院工程力学系石家庄铁道学院工程力学系边界条件边界条件0B1、边界自由的实心圆盘、边界自由的实心圆盘1所以所以在圆心处应力为有限，故在圆心处应力为有限，故转
42、换常数后得转换常数后得rrbEu)13(8122222281bA22283rrBAr222831rrBA083)(22bAbrr)331(831222rb)(83)(222rbbrr22maxmax83)()(brrbr Mechanics of Elasto-Plasticity 弹塑性力学弹塑性力学 石家庄铁道学院工程力学系石家庄铁道学院工程力学系2、边界自由的空心圆盘、边界自由的空心圆盘解得解得代入得应力和位移为代入得应力和位移为rrrbabaEu)3111(8)3)(1(2222222)(83222baA22283rrBAr222831rrBA0831)(222bbBAbrr)(832
43、222222rbarbar083)(222aaBAarr22283baB)331(832222222rbarba1 Mechanics of Elasto-Plasticity 弹塑性力学弹塑性力学 石家庄铁道学院工程力学系石家庄铁道学院工程力学系讨论讨论当内径远小于外径时，最大环向当内径远小于外径时，最大环向应力简化为应力简化为22max43)()(bar)(832222222rbarbar)331(832222222rbarba1)31(43)()(222maxabar)(83)()(222maxababrrrrabr与实心圆盘比较，空心圆盘的最大应力比实与实心圆盘比较，空心圆盘的最大应力
44、比实心圆盘的最大应力大一倍。心圆盘的最大应力大一倍。表明，实心圆盘中心开一很小的孔，由于应力集中而最大应力增大一倍。表明，实心圆盘中心开一很小的孔，由于应力集中而最大应力增大一倍。Mechanics of Elasto-Plasticity 弹塑性力学弹塑性力学 石家庄铁道学院工程力学系石家庄铁道学院工程力学系 7-9.楔形体在楔顶或楔面受力楔形体在楔顶或楔面受力1、应力分布特点、应力分布特点一、楔顶受集中力一、楔顶受集中力 因应力函数中的因应力函数中的 r 幂次比应力分量中的幂次高两次，故可设幂次比应力分量中的幂次高两次，故可设Pyx2/2/barrr r体内任一点的应力分量取决于体内任一点
45、的应力分量取决于PP力力长度长度1应力应力2力力长度长度r长度长度 无因次无因次)(rf因此，各应力分量的表达式只能取因此，各应力分量的表达式只能取 的形式，的形式，NrP组成的无因次的数量。组成的无因次的数量。其中其中 N 是由是由 也就是说，在各应力分量中，也就是说，在各应力分量中，r 只能以负一次幂出现。只能以负一次幂出现。Mechanics of Elasto-Plasticity 弹塑性力学弹塑性力学 石家庄铁道学院工程力学系石家庄铁道学院工程力学系2、应力函数、应力函数0)(d)(d2d)(d122443fffr代入相容方程得代入相容方程得)sincos(sincos)(DCBAf
46、求解微分方程，可得求解微分方程，可得)(rf因前两式因前两式0)(d)(d2d)(d2244fff)sincos(sincosDCrBrAr不影响应力，可删去。因此，应力函数只需取为不影响应力，可删去。因此，应力函数只需取为ByAxBrArsincos)sincos(DCr3、应力分量、应力分量)sincos(211222CDrrrrr022r0)1(rrr Mechanics of Elasto-Plasticity 弹塑性力学弹塑性力学 石家庄铁道学院工程力学系石家庄铁道学院工程力学系4、边界条件、边界条件Pyx2/2/barrr 0yF满足满足0coscosd22Prr在楔顶附近的一小部
47、分边界上，如在楔顶附近的一小部分边界上，如ab，应有，应有即即0cos)(sinPD0)(0)(22r左右边界左右边界)sincos(2CDrr00r 0 xF0sinsind22Prr0cosd)cossincos(222PCD0sind)sincossin(222PCD积分得积分得0sin)(sinPCsincosPD)sin(sinPC Mechanics of Elasto-Plasticity 弹塑性力学弹塑性力学 石家庄铁道学院工程力学系石家庄铁道学院工程力学系5、结果、结果Pyx2/2/barrr)sincos(2CDrr00rsincosPD)sin(sinPC)sinsins
48、insincoscos(2rPr00r当当 时时02223)(sin2yxxPx根据坐标变换，可直角坐标表示的应力分量为根据坐标变换，可直角坐标表示的应力分量为sincos2rPr00r2222)(sin2yxyxPxy2222)(sin2yxxyPy Mechanics of Elasto-Plasticity 弹塑性力学弹塑性力学 石家庄铁道学院工程力学系石家庄铁道学院工程力学系1、应力分布特点、应力分布特点二、楔顶受集中力偶二、楔顶受集中力偶 而应力函数表达式与而应力函数表达式与 r 无关，故可设无关，故可设Myx2/2/barrr)(解得解得代入相容方程得代入相容方程得0 DA同样根据
49、因次分析可知，各应力分同样根据因次分析可知，各应力分量中，量中，r 只能以负二次幂出现。只能以负二次幂出现。2、应力函数、应力函数0dd4dd122444rDCBA2sin2cosrrr由于反对称，由于反对称，和和 应是应是 的奇函数，而的奇函数，而 应应是是 的偶函数，所以应力函数是的偶函数，所以应力函数是 的奇函数，故的奇函数，故rr故得故得CB2sin Mechanics of Elasto-Plasticity 弹塑性力学弹塑性力学 石家庄铁道学院工程力学系石家庄铁道学院工程力学系cos2BC3、应力分量、应力分量0)(2CB2sin4、边界条件、边界条件22222sin411rBrr
50、rr022r22cos2)1(rCBrrr满足满足0)(2r仍考虑楔顶附近仍考虑楔顶附近22sin4rBr02)cos2(cos2rBr0d222Mrr 0oMMyx2/2/barrrrrr积分得积分得MBB)cos(sin2d)cos2(cos222部分平衡部分平衡 Mechanics of Elasto-Plasticity 弹塑性力学弹塑性力学 石家庄铁道学院工程力学系石家庄铁道学院工程力学系5、结果、结果用直角坐标表示为用直角坐标表示为同样可以证明：同样可以证明：22sin4rBr02)cos2(cos2rBr 0yF 0 xFMBB)cos(sin2d)cos2(cos222coss
