1、4 直纹面和可展曲面1.1.直纹面；直纹面；2.2.可展曲面可展曲面.4.1 直纹面直纹面1.1.定义定义)(直纹面直纹面.叫做直纹面叫做直纹面由一族直线生成的曲面由一族直线生成的曲面.叫叫做做直直纹纹面面的的直直母母线线这这族族直直线线中中的的每每一一条条都都.面的导线面的导线都相交的曲线叫做直纹都相交的曲线叫做直纹直纹面上和所有直母线直纹面上和所有直母线直母线直母线)(C.纹纹面面例例如如：下下列列曲曲面面都都是是直直柱面柱面锥面锥面导导线线单单叶叶双双曲曲面面双双曲曲抛抛物物面面注注.1直线直线之外，还可能有其它的之外，还可能有其它的）直纹面上除了直母线）直纹面上除了直母线（.如正螺面的
2、轴如正螺面的轴.2直母线直母线）直纹面可能不只一族）直纹面可能不只一族（.如以上两个曲面如以上两个曲面.母线中的直线母线中的直线本书只限于讨论一族直本书只限于讨论一族直.)2(和切平面和切平面单位法向量单位法向量n),()(ubvuaru ),(ubrv bbvarrvu )(),(bbvba ：情情形形1,/bbba )(:)(uaaC 设导线设导线，的直母线上的单位向量的直母线上的单位向量上点上点是过导线是过导线)()()(uaCub)()(ubvuar .直直纹纹面面的的参参数数表表示示 2.2.参数表示参数表示3.3.性质与分类性质与分类坐标曲线坐标曲线)1(：常数常数曲线曲线)(uv
3、直母线；直母线；：常数常数曲线曲线)(vu.导线的平行线导线的平行线直母线直母线)(C导导线线)(ua)(ubr.或或参参数数方方程程，即即0),(bba，沿同一条直母线移动时沿同一条直母线移动时当点当点Pvuvurrrrn .保持不变保持不变.个切平面个切平面沿同一条直母线有同一沿同一条直母线有同一：情情形形2,/bbba ，即即0),(bba，沿同一条直母线移动时沿同一条直母线移动时当点当点Pvuvurrrrn 发生转动，发生转动，.不唯一不唯一沿同一条直母线切平面沿同一条直母线切平面.)3(高斯曲率高斯曲率直纹面的参数方程为直纹面的参数方程为)()(ubvuar ),()(ubvuaru
4、 ),(ubrv,bvaruu ,bruv ,0 vvr的直纹面的直纹面满足满足0),(bba叫做可展曲面；叫做可展曲面；的直纹面的直纹面满足满足0),(bba.叫做斜直纹面叫做斜直纹面nrLuu 2)()(FEGbbvbabva ,nrMuv 2)(FEGbbvbab 2),(FEGbab nrNvv 0 22FEGMLNK ,)(),(222FEGbab 222)(),(FEGbbaK 即即.0;01 K，对于情形对于情形.02 K，对于情形对于情形.)4(渐近曲线渐近曲线.它的渐近线它的渐近线直纹面上的直母线就是直纹面上的直母线就是vuvurrrrn 2)(FEGbbvba .)5(腰曲
5、线腰曲线定义定义)(Cll MM 0M 时，时，当当0 u.0上的腰点上的腰点称为直母线称为直母线的极限位置的极限位置垂足垂足lMM.腰点的轨迹称为腰曲线腰点的轨迹称为腰曲线方程方程的方程为的方程为设导线设导线)(C直纹面的参数方程为直纹面的参数方程为)()(ubvuar ，)(uaa)(ua)(uua )()(ubvua)()()(uubvvuua )()()()()(ubvuauubvvuuaMM 则则)()()()()(ubvuubvvuauua )(uubvbva )(bbvbva 注注.面面部位“围绕着”这直纹部位“围绕着”这直纹腰曲线沿直纹面的狭窄腰曲线沿直纹面的狭窄,bMM ),
6、(bbMM .bMM 于是于是,0)(bbbvbva,0)(bbbvbbvba即即得得：上上式式除除以以2)(u,0)(ubbbuvububvubua0)(ub假假设设),0)(以以后后再再讨讨论论的的情情况况是是柱柱面面对对于于 ub上式取极限得：上式取极限得：时时当当,0 u,02 bvba,2bbav ：故故腰腰点点的的向向径径表表达达式式为为)()()()()(2ubububuauar .即腰曲线的方程即腰曲线的方程若取腰曲线为导线，若取腰曲线为导线，则则)(uar,02 bba于于是是有有：腰曲线是导线腰曲线是导线.0 ba.ba 即即4.4.曲线的基本三棱形的三条棱产生的直纹面曲线
7、的基本三棱形的三条棱产生的直纹面.线面线面的直纹面称为曲线的切的直纹面称为曲线的切一条曲线的切线所产生一条曲线的切线所产生)(如图如图)(C：曲线曲线)(C)(uaa 的切线面方程为：的切线面方程为：)()(uavuar .称为曲线的主法线曲面称为曲线的主法线曲面生的直纹面生的直纹面一条曲线的主法线所产一条曲线的主法线所产.称为曲线的副法线曲面称为曲线的副法线曲面生的直纹面生的直纹面一条曲线的副法线所产一条曲线的副法线所产的主法线曲面为的主法线曲面为圆柱螺线圆柱螺线,sin,cos baar ,sin,cosbvvuvur 正螺面正螺面).(同学自证同学自证4.2 可展曲面可展曲面可可展展曲曲
8、面面及及其其分分类类一一.定义定义)(可可展展曲曲面面)()(ubvuar 直纹面直纹面，若满足若满足0),(bba则称为可展曲面则称为可展曲面.或称曲面可展或称曲面可展命题命题1 1每一个可展曲面每一个可展曲面或是柱面，或是柱面，或是锥面，或是锥面，或是一条曲线或是一条曲线.可展曲面可展曲面反之，这三类曲面均为反之，这三类曲面均为.的切线面的切线面证：证：，设可展曲面为设可展曲面为)()(ubvuar ，则有则有0),(bba取腰曲线为导线，取腰曲线为导线，于是有于是有0 ba)(i时，时，当当0 a常向量，常向量，)(ua点，点，这表示腰曲线退化为一这表示腰曲线退化为一.即可展曲面为锥面即
9、可展曲面为锥面)(ii时，时，当当0 b常向量，常向量，)(ub行，行，所有的直母线都互相平所有的直母线都互相平.即可展曲面为柱面即可展曲面为柱面)(iii时，时，当当0,0 ba，0),(bba，0 ba,1bbb 并且并且，ba/,直母线是导线的切线直母线是导线的切线这时这时,线的切线构成的线的切线构成的从而可展曲面可视为导从而可展曲面可视为导.即可展曲面为切线面即可展曲面为切线面.,为可展曲面为可展曲面可以证明这三类曲面均可以证明这三类曲面均反之反之（留做习题）（留做习题）注注.,1或其一部分或其一部分切线面都可能是平面切线面都可能是平面锥面锥面）上面所说的柱面）上面所说的柱面（了腰曲线
10、为导线，了腰曲线为导线，）在上面的证明中，取）在上面的证明中，取（2.108107PP 第四版第四版任微分几何讲义任微分几何讲义一般的证明可参见吴大一般的证明可参见吴大面面族族的的包包络络可可展展曲曲面面作作为为单单参参数数平平二二.单参数曲面族的包络单参数曲面族的包络.10),(zyxF.S表示一张曲面表示一张曲面0),(zyxF)(是参数是参数.S表示一族曲面表示一族曲面.称为单参数曲面族称为单参数曲面族.0),(导数导数具有一阶与二阶连续偏具有一阶与二阶连续偏假定假定 zyxF定义定义是一个单参数曲面族，是一个单参数曲面族，设设 S是一张曲面，是一张曲面，S若若,)(SPSPi 相相切切
11、在在点点与与且且PSS.,)(相切相切在点在点与与 PSSSPii .的包络（面）的包络（面）为单参数曲面族为单参数曲面族则称曲面则称曲面 SS注注.1一定有包络一定有包络）一个单参数曲面族不）一个单参数曲面族不（.如平行平面族无包络如平行平面族无包络是某个曲面族的包络，是某个曲面族的包络，）一个空间曲面不一定）一个空间曲面不一定（2即使是，即使是，族的包络，族的包络，也不一定是单参数曲面也不一定是单参数曲面.包络包络可能是双参数曲面族的可能是双参数曲面族的来决定，来决定，如一个曲面由两个参数如一个曲面由两个参数切平面，切平面，曲面在每一个点有一个曲面在每一个点有一个参数，参数，这个切平面依赖
12、于两个这个切平面依赖于两个.数切平面族的包络数切平面族的包络因此曲面可以看作双参因此曲面可以看作双参但是可展曲面则不同，但是可展曲面则不同，.族的包络族的包络它可以看作单参数平面它可以看作单参数平面.曲面的区别曲面的区别这正是可展曲面与一般这正是可展曲面与一般命题命题,0),(zyxFS的方程为的方程为设单参数曲面族设单参数曲面族,0,的连续函数的连续函数是不全为是不全为且且zyxFFF，存在包络存在包络若曲面族若曲面族SS 的方程的方程则其包络则其包络S可由方程组可由方程组 0),(0),(zyxFzyxF.0),(zyx 而得而得消去参数消去参数证：证：，存在包络存在包络若曲面族若曲面族S
13、S 由包络的定义，由包络的定义，对对SzyxP ),(,SP 的一个确定值，的一个确定值，上每一个点对应于上每一个点对应于即对包络即对包络 S),(),(zyxzyxS 的函数的函数上点的坐标上点的坐标为为因而因而得：得：的方程的方程代入代入0),(zyxFS0),(,zyxzyxF.,上式为恒等式上式为恒等式上的点上的点对于对于S),()(trrCS：上任取一条曲线上任取一条曲线其次在包络其次在包络即即,)()()(321etzetyetxr ,)1()(式式上点的坐标也应满足上点的坐标也应满足曲线曲线 C必有恒等式：必有恒等式：0)(),(),(),(ttztytxF)1(求导得：求导得：
14、对对t,0 dtdFdtdzFdtdyFdtdxFzyx )2(,)(PC 上取一点上取一点在曲线在曲线,点有相同的切平面点有相同的切平面在在与与由于由于PSS 点点的的法法线线垂垂直直，在在点点的的切切线线和和在在曲曲线线PSPC)(点的法向量，点的法向量，在在是曲面是曲面而而PSFFFzyx,),()(,trPCdtdzdtdydtdx 点的切向量点的切向量在在是曲线是曲线,0 dtdzFdtdyFdtdxFzyx式比较得：式比较得：与与)2(,0 dtdF .上每一条曲线都成立上每一条曲线都成立上式对包络上式对包络S),(CS上上适适当当选选择择曲曲线线因因而而可可在在包包络络,0 dt
15、d 使得使得因此因此,0 F即即,0),(zyxF上的点满足方程组上的点满足方程组包络包络S,0),(0),(zyxFzyxF)3(),(,zyxS上每一点上每一点对包络对包络换言之换言之，可以找到这样的值可以找到这样的值(3).,满足方程组满足方程组使得四个数使得四个数 zyx得方程得方程消去消去从方程组从方程组,(3).0),(zyx,S这个方程表示一个曲面这个方程表示一个曲面.的判别曲面的判别曲面叫做曲面族叫做曲面族 S.SS以上证明了以上证明了.SS 下证下证都满足都满足上的每一点上的每一点判别曲面判别曲面),(zyxPS,0),(0),(zyxFzyxF中的某个曲面上，中的某个曲面上
16、，因而都在曲面族因而都在曲面族 S从而满足第一式，从而满足第一式，满足满足使得使得),(,zyxP ,0),(zyxF:)(CPS任取一条曲线任取一条曲线上过点上过点在判别曲面在判别曲面,)()()(321etzetyetxr ,0),(得得代入代入 zyxF0)(),(),(),(ttztytxF 求导得：求导得：对对t,0 dtdFdtdzFdtdyFdtdxFzyx 的第二式的第二式还满足还满足上点上点判别曲面判别曲面又又)3(),(zyxPS,0),(zyxF,0 dtdzFdtdyFdtdxFzyx点点的的切切向向量量垂垂直直，在在上上的的曲曲线线点点的的法法线线和和在在即即PCSP
17、S)(任意取的一条曲线，任意取的一条曲线，上过点上过点是在是在但曲线但曲线PSC)(点点相相切切，在在与与PSS 上的点，上的点，上的点也是上的点也是此示此示SS.SS 即即.SS 定义定义的点的点上满足上满足：曲面曲面00),(zyxFFFzyxFS.叫做曲面的奇点叫做曲面的奇点注注：就就是是曲曲线线族族包包络络)(CS 0),(0),(zyxFzyxF.的轨迹的轨迹S)(C S特特征征线线特特征征线线方方程程单参数平面族的包络单参数平面族的包络.2，对于单参数曲面族对于单参数曲面族 S.就称为单参数平面族就称为单参数平面族为平面，为平面，如果其中每一个曲面均如果其中每一个曲面均，记作记作
18、命题命题为一单参数平面族，为一单参数平面族，设设0)()()()(:DzCyBxA，存在包络存在包络若平面族若平面族S 的方程的方程则其包络则其包络S可由方程组可由方程组.而得而得消去参数消去参数 0)()()()(0)()()()(DzCyBxADzCyBxA命题命题2 2证：证：.络络它是单参数平面族的包它是单参数平面族的包一个曲面是可展曲面一个曲面是可展曲面),()(ubvuarS 是可展曲面：是可展曲面：若曲面若曲面一的切平面，一的切平面，则沿每一条直母线有唯则沿每一条直母线有唯，而且只依赖于参数而且只依赖于参数u处的切平面处的切平面在任一点在任一点从而从而),(vuS有关，有关，只与
19、只与u面族，面族，的切平面族为单参数平的切平面族为单参数平即即S.的包络的包络即为此单参数切平面族即为此单参数切平面族显然显然S的包络，的包络，为单参数平面族为单参数平面族若曲面若曲面0)()()()(:DzCyBxAS的方程的方程则则S可由方程组可由方程组.而得而得消去参数消去参数 0)()()()(0)()()()(DzCyBxADzCyBxA.而得而得数数的特征直线方程消去参的特征直线方程消去参即由即由 S.是直纹面是直纹面因此因此S.是特征直线的轨迹是特征直线的轨迹S),(即直母线即直母线且沿每一条特征直线且沿每一条特征直线,的切平面为的切平面为S,的的切切平平面面唯唯一一即即沿沿每每
20、一一条条直直母母线线S.是可展曲面是可展曲面S征征可可展展曲曲面面的的几几个个重重要要特特三三.命题命题3 3证：证：.0 KS是可展曲面是可展曲面曲面曲面是可展曲面，是可展曲面，若曲面若曲面S,固定固定法向量法向量则沿同一条直母线单位则沿同一条直母线单位n.0 nd即即为直母线的方向，为直母线的方向，设设 rd.rdnd 则则)0(由罗德里格定理，由罗德里格定理，向，向，沿直母线的方向是主方沿直母线的方向是主方),0(012 kk或或并并且且主主曲曲率率.021 kkK，若若021 kkK,02 k不不妨妨设设向向又又是是渐渐近近方方向向，所所对对应应的的方方向向既既是是主主方方则则2k近近
21、曲曲线线又又是是曲曲率率线线，对对应应方方向向的的曲曲线线既既是是渐渐沿沿2k),(d为为设设这这族族渐渐近近曲曲线线的的方方向向由罗德里格定理，由罗德里格定理，,02 rdknd,常常向向量量沿沿渐渐近近曲曲线线是是n,0 rdn又又得：得：沿渐近曲线对上式积分沿渐近曲线对上式积分,常数常数 rn定点，定点，是此渐近曲线上一个固是此渐近曲线上一个固设设)(00rP是其上任一点，是其上任一点，)(rP则由以上结果有：则由以上结果有：,0rnrn ,0)(0 rrn即即的切平面上，的切平面上，必在曲面于点必在曲面于点点点从而此渐近曲线上任一从而此渐近曲线上任一0PP渐渐近近曲曲线线为为平平面面曲
22、曲线线，.它它有有唯唯一一的的密密切切平平面面,由由渐渐近近曲曲线线的的几几何何特特征征.平平面面沿沿渐渐近近曲曲线线有有唯唯一一的的切切曲曲面面S，是单参数平面族的包络是单参数平面族的包络S.从而是可展曲面从而是可展曲面命题命题4 4证：证：.与平面成等距对应与平面成等距对应是可展曲面是可展曲面曲面曲面SS与平面成等距对应，与平面成等距对应，若曲面若曲面S换下不变换下不变由于高斯曲率在等距变由于高斯曲率在等距变(见见5.2定理定理2），），高斯曲率，高斯曲率，的高斯曲率等于平面的的高斯曲率等于平面的曲面曲面S,0 K平面的高斯曲率平面的高斯曲率,0 KS的高斯曲率的高斯曲率曲面曲面.3为可展
23、曲面为可展曲面，曲面，曲面由命题由命题S为可展曲面，为可展曲面，若曲面若曲面S,我们将证明我们将证明,适当选择参数后适当选择参数后.本形式本形式与平面有相同的第一基与平面有相同的第一基曲面曲面S.第一基本形式第一基本形式为此，我们先求平面的为此，我们先求平面的的第一基本形式为的第一基本形式为在直角坐标系下，平面在直角坐标系下，平面22dydxI 在极坐标系下，在极坐标系下，作参数变换作参数变换 sin,cos yx，则则 dddydddxcossin,sincos 代入上式整理得，代入上式整理得，在极坐标系下，在极坐标系下，平面的第一基本形式为平面的第一基本形式为222 ddI 柱面：柱面：)
24、1(其方程可以表为其方程可以表为bvsar )(量，量，为柱面母线的单位常向为柱面母线的单位常向其中其中b.)(条曲线条曲线是与柱面母线正交的一是与柱面母线正交的一saa 于是于是,ars,brv,122 srE,0 vsrrF,122 brGv柱面的第一基本形式为柱面的第一基本形式为22dvdsI ，令令vysx ,.基本形式基本形式则与平面有相同的第一则与平面有相同的第一锥面：锥面：)2(其方程可以表为其方程可以表为)(0sbvar 为为常常向向量量，其其中中0a.)(量量是锥面母线上的单位向是锥面母线上的单位向sb于是于是,bvrs,brv,2222vbvrEs ,0)(bbvrrFvs
25、,122 brGv锥面的第一基本形式为锥面的第一基本形式为222dvdsvI ，令令 sv,.基本形式基本形式则与平面有相同的第一则与平面有相同的第一:)3(切线面切线面其方程可以表为其方程可以表为)()(svsar ),()()(sasaas 的的切切向向量量为为曲曲线线其其中中.)(的弧长的弧长为曲线为曲线saas 于是于是,)()(vksvsars ,vr,1)(2222kvvkrEs ,1 vsrrF,12 vrG为为切线面的第一基本形式切线面的第一基本形式22222)1(dvdsdvdskvI 命题命题5 5证：证：.0为可展曲面为可展曲面曲面曲面沿此曲线的法线构成的沿此曲线的法线构
26、成的上的曲线是曲率线上的曲线是曲率线曲面曲面SSS的弧长，的弧长，为为上的曲线上的曲线设曲面设曲面)(),(:)(CssarCS 的方程为：的方程为：的法线构成的曲面的法线构成的曲面沿曲线沿曲线则曲面则曲面)()(SCS)()(snvsar 为曲率线，为曲率线，若若)(C由罗德里格定理，由罗德里格定理，,adrdnd ,n,/n由此得：由此得：,0),(nna.0为可展曲面为可展曲面法线构成的曲面法线构成的曲面S.0为为可可展展曲曲面面若若S,0),(nna则则正交，正交，与与na,nan 为单位向量，为单位向量，又又n,nn,0)()(2 nnann,n由罗德里格定理，由罗德里格定理，.的曲率线的曲率线）是曲面）是曲面曲线（曲线（SC作业作业 P130 1、3、5、8
