1、习题课习题课级数的收敛、求和与展开级数的收敛、求和与展开 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、幂级数和函数的求法二、幂级数和函数的求法 一、求幂级数收敛域的方法一、求幂级数收敛域的方法 第13章 三、函数的幂级数三、函数的幂级数展开法展开法四、函数的傅里叶级数四、函数的傅里叶级数展开法展开法 )(0 xunn 求和)(xS展开(在收敛域内进行)(0 xunn基本问题基本问题：判别敛散；求收敛域；求和函数；级数展开.为傅里叶级数.xnbxnaxunnnsincos)(当为傅氏系数)时,时为数项级数;0 xx 当nnnxaxu)(当时为幂级数;nnba,(一、求幂级数收敛域的方法一、求幂级数收
2、敛域的方法 标准形式幂级数:先求收敛半径 R:再讨论Rx 非标准形式幂级数通过换元转化为标准形式直接用比值法或根值法处的敛散性.例1.求下列级数的敛散域:;)11()1(12nnnxn.2)2(21nnnxn,lim1nnnaaRnnnaR lim1或 1 解解:nnnnnna)11(limlim当ex1因此级数在端点发散,enn1)11(nneu nn)11(nn)11()(01ne.)1,1(eee时,12)11()1(nnnxn,1eR exe11即时原级数收敛.故收敛域为机动 目录 上页 下页 返回 结束 nnnxn212)2()()(lim1xuxunnn解解:因)1(2121nnx
3、n22xnnxn22,122x当时，即22x,2时当x故收敛域为.)2,2(级数收敛;一般项nun不趋于0,nlim级数发散;机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.)1(31的收敛半径求幂级数nnnnxn解解:分别考虑偶次幂与奇次幂组成的级数,lim1nnaannnnalim极限不存在1)(kkx,24212kkkxk1)(kkx12112122kkkxk)()(1limxxnnn,)4(2x411R)()(1limxxnnn,)2(2x212R 原级数=1)(kkx1)(kkx 其收敛半径4121,minRRR注意:机动 目录 上页 下页 返回 结束 求部分和式极限二、幂级数和函数的求
4、法二、幂级数和函数的求法 求和 映射变换法 逐项求导或求积分nnnxa0)(*xS对和式积分或求导)(xS难直接求和:直接变换,间接求和:转化成幂级数求和,再代值求部分和等 初等变换法:分解、套用公式（在收敛区间内）数项级数 求和机动 目录 上页 下页 返回 结束 nnnxa0例例3.求幂级数.!)12(1)1(120的和函数nnnxnn法法1 易求出级数的收敛域为),(022)(!)12(1)1(21nnnxn原式120!)12()1(21nnnxnx)sin(21xx,cos2sin21xxx),(x机动 目录 上页 下页 返回 结束 法法2 先求出收敛区间,)(xS则xnnnxxxnnx
5、xS01200d!)12(1)1(d)(220!)12()1(nnnxn21120!)12()1(2nnnxnxxxsin2,cos2sin21)(xxxxS,),(设和函数为),(x机动 目录 上页 下页 返回 结束 练习练习:.)1()2(1nnnnx;212)1()1(21nnnxn解解:(1)(21121nnnx原式)120(2x12)2(1nnxx222211xxx22xx222)2(2xx显然 x=0 时上式也正确,.)2,2(x故和函数为而在2xx0,)2(2)(222xxxS1.求下列幂级数的和函数：级数发散,机动 目录 上页 下页 返回 结束(2)nnxnn1111原式xnn
6、tt011dxnnttx01d1ttxd110tttxxd1100 x)1ln(x)1(ln11xx)1(ln)11(1xx)10(xttnnxd110ttxnnxd110机动 目录 上页 下页 返回 结束 1)1(nnnnx,)1(ln)11(1xx显然 x=0 时,和为 0;根据和函数的连续性,有)(xS110,)1(ln)11(1xxxx及0 0 x，1 1x，10 xx=1 时,级数也收敛.即得机动 目录 上页 下页 返回 结束 00!)12()1(!)2()1(21nnnnnn练习练习:0!)12(1)1(nnnn解解:原式=0!)12()1(nnn1cos21的和.1)12(n21
7、1sin2.求级数机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、函数的幂级数展开法三、函数的幂级数展开法 直接展开法 间接展开法练习练习:1.将函数2)2(1x展开成 x 的幂级数.利用已知展式的函数及幂级数性质 利用泰勒公式解解:xx21)2(1221121x0221nnnx,22111nnnxn)2,2(x机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.设)(xf0,arctan12xxxx0,1x,将 f(x)展开成x 的幂级数,1241)1(nnn的和.(01考研)解解:211x,)1(02nnnx)1,1(xxarctanxxx02d11,12)1(012nnnxn1,1x)(xf1212)1(1
8、nnnxn02212)1(nnnxn于是并求级数机动 目录 上页 下页 返回 结束 02212)1(nnnxn12112)1(nnnxn)(xf1212)1(1nnnxn1212)1(1nnnxn12121121)1(1nnnxnn,41)1(21122nnnxn1,1x1241)1(nnn 1)1(21f214机动 目录 上页 下页 返回 结束 四、四、函数的傅式级数展开法函数的傅式级数展开法系数公式及计算技巧;收敛定理;延拓方法xyO),上的表达式为 ),0,e)0,0)(xxxfx将其展为傅氏级数.na1xnxxdcose021)cossin(e1nnxnxnx0),2,1,0(11)1(e12nnn例1.设 f(x)是周期为2的函数,它在解答提示解答提示xnxbxndsine1021)cos(sine1nnxnnxx0),2,1(1)1(12nnenn21e)(xf11n)sin(cosnxnnx 2e(1)11nn),2,1,0,(kkx思考思考:如何利用本题结果求级数20e(1)1?1nnn的和根据傅式级数收敛定理,当 x=0 时,有21e11n211)1(enn2)0()0(ff21提示提示:
