1、BUAA理论力学竞赛课件邮箱理论力学竞赛课件邮箱E-mail:密码：密码：lxjs09bh“竞赛模拟试题竞赛模拟试题”已发到网上，望尽快完成已发到网上，望尽快完成第三讲第三讲 质点与质点系动力学质点与质点系动力学12/5/20221BUAA质点与质点系动力学质点与质点系动力学 质点动力学质点动力学 惯性参考系中的质点动力学惯性参考系中的质点动力学 非惯性参考系中的质点动力学非惯性参考系中的质点动力学 质点系动力学质点系动力学 质点系的动量定理质点系的动量定理 质点系的动量矩定理质点系的动量矩定理 质点系的动能定理质点系的动能定理12/5/20222BUAA质点动力学质点动力学惯惯 性性 系系非
2、惯性系非惯性系CerFFFaFamm运动与受力分析、建立矢量方程运动与受力分析、建立矢量方程选定坐标系（直角坐标系、自然轴系）选定坐标系（直角坐标系、自然轴系）将矢量方程在选定坐标轴上投影将矢量方程在选定坐标轴上投影求解投影方程求解投影方程应应用用方方法法一、质点动力学一、质点动力学12/5/20223BUAA质点动力学质点动力学FNFgmAvs0vFgmNF习题习题1：已知圆盘均角速度转动，求图示瞬时滑已知圆盘均角速度转动，求图示瞬时滑块块A的加速度和绳索的拉力的加速度和绳索的拉力。已知运动求力已知运动求力12/5/20224BUAA质点动力学质点动力学例题例题2：求图示机构中求图示机构中=
3、450时时滑块滑块A的速度和加速度的速度和加速度以及作用在滑块上的约束力，以及作用在滑块上的约束力，=const.RvvBAcosAvBvsincostanRxRb045cos/RvA0cossinRbxcossin0Axv0sincossinbxxAvx,x1、求速度、求速度2、求加速度、求加速度cosBxvR3、求约束力、求约束力cos,0sinNmxmgFmyFFm NamgFFmgFNFy12/5/20225BUAA质点动力学质点动力学yxovmg思考题思考题3:给出垂直上抛物体给出垂直上抛物体上升时上升时的运动微分方程。的运动微分方程。设空气阻力的大小与速度的平方成正比设空气阻力的大
4、小与速度的平方成正比yxovmg2:Aycmgym 2:Bycmgym 2:Cycmgym 2:Dycmgym E:未给出正确答案未给出正确答案 已知力求运动已知力求运动问题问题4：若阻力大小是速度的若阻力大小是速度的n次方，如何建立方程？次方，如何建立方程？12nmymgcyy n-1()Rmmmcv agFgv12nmymgcyy 12/5/20226BUAA质点动力学质点动力学例题例题5：求质点求质点A的运动微分方程和绳的拉力。的运动微分方程和绳的拉力。FmgamcossinntmgFmamgmalv AlgmnRRll0F llvat202n)(Rlla0sin)(20gRRl cos
5、)(20mgRlmF已知部分力，求未知的力和运动已知部分力，求未知的力和运动12/5/20227BUAA质点动力学质点动力学例题例题6：已知半径为已知半径为R的圆盘匀角速度转动，绳索相对圆盘无滑的圆盘匀角速度转动，绳索相对圆盘无滑动。求质量为动。求质量为m的质点的质点A的运动微分方程。的运动微分方程。用什么方法求解？用什么方法求解？质点动力学质点动力学 第一类拉格朗日方程第一类拉格朗日方程 第二类拉格朗日方程第二类拉格朗日方程AlgmRFxytnaeerCaaaaat22n222ee,aRlaRlteaCanea0lltRRtnaeer()CmmaaaaamgF2:()cosxm lmgF22
6、:(22)siny m lRRRmg Cr2(),aRR aRra12/5/20228BUAA质点动力学质点动力学问题问题7：质点沿图示轨迹运动，速度不为零，试判断哪种情况质点沿图示轨迹运动，速度不为零，试判断哪种情况质点的受力是可能的？质点的受力是可能的？FFFF1 2 3 4问题问题8：长为长为L质量为质量为m的均质杆的均质杆AB的两端分别作用有力的两端分别作用有力F和和P,沿直线平移，确定轴力为零的截面位置沿直线平移，确定轴力为零的截面位置x。ABPFx12/5/20229BUAA质点动力学质点动力学例题例题9：已知已知 k，m，弹簧原长弹簧原长L，求小球相对运动动力学方程，求小球相对运
7、动动力学方程，确定产生周期运动的条件、振动的固有频率和相对平衡位置。确定产生周期运动的条件、振动的固有频率和相对平衡位置。xkmkABgmkFeFCerFFFFgaNk mmkFmgFxmxsincos:e 2ecosmxF()kFk xL22(cos)sinmxkmxkLmg相对运动动力学方程：相对运动动力学方程：产生周期运动的条件：产生周期运动的条件：22cos0km固有频率：？固有频率：？相对平衡位置：？相对平衡位置：？12/5/202210BUAA质点系动力学质点系动力学二、质点系的动力学普遍定理二、质点系的动力学普遍定理1、动量定理、动量定理iiiimmmCCvvvpe)(e)(dd
8、iiimmtFaaFpCiCre)(dtdddvFvCmtmiiIpp122、动量矩定理、动量矩定理rCCCioLvrvrLmmOii)()(dde)(rAiAmtarFrLACi当当A A点是惯性参考系中的固定点点是惯性参考系中的固定点)(dde)(iAtFMLA当当A A点与系统质心重合时点与系统质心重合时)(dde)(iCrCtFML12/5/202211BUAA质点系动力学质点系动力学3、动能定理、动能定理)2121(22iCiCiiiJvmTT计算多刚体系统计算多刚体系统平面运动平面运动动能的一般公式：动能的一般公式：tWTWTTiidd2112vF 动能定理的积分形式：动能定理的积
9、分形式：动能定理的微分形式：动能定理的微分形式：思考题思考题10：质点系的内力在动量定理和动量矩定理中不出现，质点系的内力在动量定理和动量矩定理中不出现，是否内力对系统的运动无影响。是否内力对系统的运动无影响。e)(e)(ddiiimmtFaaFpCiC)()(dde)(rAiAmtarFrLACi12/5/202212BUAA质点系动力学质点系动力学OABDOABD问题问题11：OA杆匀角速度转动，系统由图杆匀角速度转动，系统由图1位置运动到图位置运动到图2位置，位置，系统动量的大小、对系统动量的大小、对O轴的动量矩的大小以及动能是否变化。轴的动量矩的大小以及动能是否变化。设各杆长为设各杆长
10、为L，每个物体的质量为每个物体的质量为m。并计算相关物理量。并计算相关物理量。图1图212/5/202213BUAA质点系动力学质点系动力学 问题问题12:质点系的动量为零、对任意轴的动量矩也为零。则质点系的动量为零、对任意轴的动量矩也为零。则质点系的动能质点系的动能T：，试举例说明。，试举例说明。A：一定为零；：一定为零；B：一定不为零；：一定不为零；C：不一定为零。：不一定为零。M问题问题13:若将齿轮视为均质圆盘，已知其质量和半径，不计所有若将齿轮视为均质圆盘，已知其质量和半径，不计所有摩擦，用什么方法求曲柄的角加速度。摩擦，用什么方法求曲柄的角加速度。12/5/202214BUAA质点
11、系动力学质点系动力学M问题问题14：质点系由两个相同的均质大齿轮和两个相同的均质小齿质点系由两个相同的均质大齿轮和两个相同的均质小齿轮构成，不计曲柄质量和所有摩擦。若在曲柄上作用一个力偶轮构成，不计曲柄质量和所有摩擦。若在曲柄上作用一个力偶M 使系统运动。试确定作用在该系统上外力系的主矢和主矩。使系统运动。试确定作用在该系统上外力系的主矢和主矩。问题问题15：系统位于水平面内，在力偶系统位于水平面内，在力偶M的作用下进入运动状态，的作用下进入运动状态，试确定轴承作用在两个大齿轮上的水平约束力的模哪个大？试确定轴承作用在两个大齿轮上的水平约束力的模哪个大？A B1BF1221BBAAFFFF2B
12、F2AF1AF12/5/202215BUAA质点系动力学质点系动力学问题问题16:作定轴转动刚体的动作定轴转动刚体的动量守恒、动能守恒，则对质心量守恒、动能守恒，则对质心的动量矩：的动量矩：，试举例说明。试举例说明。A：一定守恒；一定守恒；B：一定不守恒；：一定不守恒；C：不一定守恒。：不一定守恒。g1mg2m ABC Lzxy1r2rCL 21)(iiiiCmvrL根据动量矩的定义根据动量矩的定义12/5/202216BUAA质点系动力学质点系动力学问题问题17：质量为质量为m长为长为L的均质杆的均质杆AB铰接一不计大小和质量的铰接一不计大小和质量的小轮上，其中心系一绳索使系统在图示位置平衡
13、。试确定绳索小轮上，其中心系一绳索使系统在图示位置平衡。试确定绳索被剪断后的瞬时，杆的角加速度的转向，斜面作用在小轮上的被剪断后的瞬时，杆的角加速度的转向，斜面作用在小轮上的约束力。约束力。AB杆角加速度为：杆角加速度为：A：顺时针；：顺时针；B：逆时针；：逆时针；C：零：零斜面作用在小轮上的约束力：斜面作用在小轮上的约束力：:cos:cos:cosAAAA FmgB FmgC FmggmCAFAB问题问题18：如何求杆的角加速度和斜面的约束力如何求杆的角加速度和斜面的约束力tCAaAa12/5/202217BUAA质点系动力学质点系动力学思考题思考题19：质量为质量为m半径为半径为R的均质圆
14、盘与质量为的均质圆盘与质量为m长为长为4R的的均质杆均质杆AB固连，放在粗糙的水平面上固连，放在粗糙的水平面上,杆的杆的B端用绳索吊起时端用绳索吊起时杆处于水平。确定当绳索被剪断的瞬时，作用在系统上外力杆处于水平。确定当绳索被剪断的瞬时，作用在系统上外力系的主矢方向。系的主矢方向。AB问题问题20：能否确定作用在圆盘上的摩擦力的方向？能否确定作用在圆盘上的摩擦力的方向？地面法向约束力是否小于系统的重力？地面法向约束力是否小于系统的重力？如何求该瞬时刚体的角加速度？如何求该瞬时刚体的角加速度？CCaF12/5/202218BUAA质点系动力学质点系动力学AB思考题思考题21：若上题中若上题中A处
15、用光滑铰链连接，处用光滑铰链连接，外力系主矢的方向如何确定外力系主矢的方向如何确定思考题思考题22：确定地面作用在圆盘上的摩擦力的大小和方向确定地面作用在圆盘上的摩擦力的大小和方向.12/5/202219BUAA质点系动力学质点系动力学RrAB例题例题2323：两个均质圆盘用不计质量的两个均质圆盘用不计质量的ABAB杆铰接，接触点杆铰接，接触点P P无相对无相对滑动，滑动，B B端用绳索铅垂吊起。两个齿轮的质量相同，半径分别是端用绳索铅垂吊起。两个齿轮的质量相同，半径分别是R R和和r r。求绳索被剪断后的瞬时，两圆盘角加速度。求绳索被剪断后的瞬时，两圆盘角加速度的关系式的关系式。问问题题2
16、24 4：如何求如何求ABAB杆的角加速度杆的角加速度有多少未知量？有多少未知量？哪些未知量可求出？哪些未知量可求出？哪些未知量不能求出？哪些未知量不能求出？用什么方法求两齿轮用什么方法求两齿轮角加速度的关系？角加速度的关系？运动运动2个，力个，力7个个运动量，部分力运动量，部分力杆的拉力等杆的拉力等动量矩定理动量矩定理问问题题2 25 5：为什么有部分未知约束力求不出唯一解？为什么有部分未知约束力求不出唯一解？研究整体研究整体用动量矩定理用动量矩定理P12/5/202220BUAA质点系动力学质点系动力学思考题思考题26：均质杆（图均质杆（图a）和均质板（图）和均质板（图b）被铅垂吊起。）被
17、铅垂吊起。杆杆AB水平，绳索水平，绳索1、2铅垂，其质量不计。当绳索铅垂，其质量不计。当绳索1被剪断被剪断后的瞬时，则杆后的瞬时，则杆AB:.AB21AB21A:受拉力受拉力 B：受压力：受压力 C：内力为零：内力为零(a)(b)12/5/202221BUAA质点系动力学质点系动力学OAB 思考题思考题27：已知已知OA杆在力偶杆在力偶M的作用下绕的作用下绕O轴轴匀角速度匀角速度转动，转动，均质圆盘在水平地面上纯滚动，试确定图示瞬时（均质圆盘在水平地面上纯滚动，试确定图示瞬时（OA铅垂）地铅垂）地面作用在圆盘上的摩擦力的方向。面作用在圆盘上的摩擦力的方向。A:向左向左B：向右：向右C:大小为零
18、大小为零AaBaB 思考题思考题28：确定作用在确定作用在OA杆力偶杆力偶M的转向。的转向。F12/5/202222BUAA质点系动力学质点系动力学M问题问题29：均质圆盘在力偶均质圆盘在力偶M的作用下在斜面上纯滚动，试确的作用下在斜面上纯滚动，试确定摩擦力的方向？定摩擦力的方向？MA:沿斜面向上；沿斜面向上；B：沿斜面向下；：沿斜面向下；C：不能确定：不能确定问题问题30：若斜面是光滑的，求其质心加速度及其角加速度。若斜面是光滑的，求其质心加速度及其角加速度。（1）（2）12/5/202223BUAA质点系动力学质点系动力学例题例题31：系统在铅垂面运动，已知在图示瞬时，滑块的速系统在铅垂面
19、运动，已知在图示瞬时，滑块的速度为度为u，加速度为零，求杆的质心加速度为零，求杆的质心C点处的约束力和弹点处的约束力和弹簧作用在滑块上的力。（忽略摩擦）簧作用在滑块上的力。（忽略摩擦）解：系统的运动已知，求未知力解：系统的运动已知，求未知力1：求：求AB杆的杆的角速度和角加速度角速度和角加速度gmgmuvA0AahABC030,4hABAxcothxAhxA2sinhu42283hu 问题：问题：角速度、角加速度的转向？角速度、角加速度的转向？12/5/202224BUAA质点系动力学质点系动力学gmuvA0AahABCABABgmhuAB42283huAB2：求约束力：求约束力CFAFkF研
20、究研究AB杆杆应用相对动点应用相对动点A的动量矩定理的动量矩定理030cos22hgmhFJABcABA030,4hAB0230cos33mghmuFc3、求弹簧力、求弹簧力研究研究AB杆和滑块杆和滑块A，应用质心运动定理应用质心运动定理kACAABAACABmmmmFFFgaa)(kCxCABFFamx030sin:ntACACACaaaa02030cos230sin2ABABxChhakF12/5/202225BUAA质点系动力学质点系动力学思考题思考题32：长为长为L，质量为，质量为m的均质杆的均质杆AB的的A端铰接，端铰接，B端铅垂吊起，杆处端铅垂吊起，杆处于水平位置。质量为于水平位置
21、。质量为2m 的重物的重物C（视为质点），分两种情况放置在（视为质点），分两种情况放置在AB杆上。杆上。情况情况1：重物重物C放在杆的中点（左图所示）；放在杆的中点（左图所示）；情况情况2：重物重物C放在杆的放在杆的B端（右端（右图所示）。若当绳索图所示）。若当绳索BD被剪断后的瞬时，设情况被剪断后的瞬时，设情况1中中AB杆的角加速度为杆的角加速度为1，情况情况2中中AB杆的角加速度为杆的角加速度为2，则：，则：。21:A21:B21:C问题问题3333：物块物块C C放在何处时，运动初始时杆的角加速度为最大？放在何处时，运动初始时杆的角加速度为最大？问题问题3434：如果两个物体固连，结论如
22、何？如果两个物体固连，结论如何？12/5/202226BUAA质点系动力学质点系动力学习题习题35：固定在水平梁上的电机转子的质量为固定在水平梁上的电机转子的质量为m1=2m,对转轴对转轴O的转动惯量为的转动惯量为mR2，质量为，质量为m2=m的物块由绳索吊起，绳索的另的物块由绳索吊起，绳索的另一端绕在电机的转子上且无相对滑动。几何尺寸如图所示。不计一端绕在电机的转子上且无相对滑动。几何尺寸如图所示。不计梁和电机定子的质量，忽略摩擦和空气阻力。若物块以梁和电机定子的质量，忽略摩擦和空气阻力。若物块以0.5g的加的加速度上升时，求绳索的拉力；电机的驱动力矩的大小；梁的固定速度上升时，求绳索的拉力
23、；电机的驱动力矩的大小；梁的固定端端A处约束力偶矩的大小和该处的约束力的大小。处约束力偶矩的大小和该处的约束力的大小。mgFRLmgMmgRMmgFAA5.3)5.15.3(25.112/5/202227BUAA质点系动力学质点系动力学习题习题36：各均质物体的质量均为各均质物体的质量均为m，小圆盘在半圆盘上纯滚动。，小圆盘在半圆盘上纯滚动。设铅垂滑道和地面是光滑的。（设铅垂滑道和地面是光滑的。（1）若使系统在图示位置平衡，求）若使系统在图示位置平衡，求作用在半圆盘上的水平推力作用在半圆盘上的水平推力F。（。（2）若半圆盘以匀速）若半圆盘以匀速u移动，求该移动，求该瞬时作用在其上的水平推力瞬时
24、作用在其上的水平推力F以及小圆盘作用在其上的约束力。以及小圆盘作用在其上的约束力。1 1、用什么方法求系统平衡时的力、用什么方法求系统平衡时的力F F 虚位移原理虚位移原理2 2、用什么方法求半圆盘匀速移动时的力、用什么方法求半圆盘匀速移动时的力F F 动能定理的微分形式动能定理的微分形式3 3、用什么方法求小圆盘作用在半圆盘上、用什么方法求小圆盘作用在半圆盘上的约束力的约束力 研究小圆盘，应用动量矩定理求摩擦研究小圆盘，应用动量矩定理求摩擦力；研究半圆盘，求法向约束力。力；研究半圆盘，求法向约束力。F12/5/202228BUAA质点系动力学质点系动力学2006年日本研制出的年日本研制出的会
25、骑自行车的机器人会骑自行车的机器人12/5/202229BUAA质点系动力学质点系动力学问题：从图中分析：问题：从图中分析：1.机器人骑车依靠什么维持平衡？机器人骑车依靠什么维持平衡？2.要研究它的平衡问题，把它简化要研究它的平衡问题，把它简化成一个什么样的力学模型？成一个什么样的力学模型？3.若自行车所在的平面与铅垂平面若自行车所在的平面与铅垂平面的夹角为的夹角为，如何维持平衡？，如何维持平衡？4.4.要研究维持平衡的条件，需要知要研究维持平衡的条件，需要知道哪些基本物理量道哪些基本物理量？5.5.这些物理量应满足什么关系？这些物理量应满足什么关系？12/5/202230BUAA质点系动力学
26、质点系动力学习题习题37：系统在绳索的约束下处于平衡。若使绳索的拉力为零且系统在绳索的约束下处于平衡。若使绳索的拉力为零且OB杆平衡，电机的驱动力矩杆平衡，电机的驱动力矩M应为多大。已知电机转子对转轴应为多大。已知电机转子对转轴A转动惯量为转动惯量为JA，系统的总质量为，系统的总质量为m。研究整体，应用对研究整体，应用对O轴的动量矩定理轴的动量矩定理AAOJLsinmgbsinmgbM 研究转子，应用对研究转子，应用对A轴的动量矩定理轴的动量矩定理AAAJLMgmOABOB=b，OA=2bA12/5/202231BUAA质点系动力学质点系动力学习题习题38：若电机的驱动力矩为若电机的驱动力矩为
27、M=2mgbsin，求此时，求此时OB杆的角加杆的角加速度。设电机转子的质量为速度。设电机转子的质量为mA,对转轴对转轴A的转动惯量为的转动惯量为JA，电机，电机定子和定子和OB杆对杆对O轴的转动惯量为轴的转动惯量为JO；系统的总质量为；系统的总质量为m.gmOABOB=b，OA=2bsin2mgbM 研究转子研究转子A，应用对，应用对A轴的动量矩定理轴的动量矩定理AAAJL研究整体，应用对研究整体，应用对O轴的动量矩定理轴的动量矩定理sin)2(2mgbJbmJLAAAOO2sin4OAmgbJm b A12/5/202232BUAA质点系动力学质点系动力学习题习题39：便携式便携式CD机（内装有光盘），在失重环境下处于漂浮机（内装有光盘），在失重环境下处于漂浮静止状态。当接通电源后，静止状态。当接通电源后，CD机将如何运动？机将如何运动？12/5/202233
