1、勾股定理解题的十种常见题型勾股定理解题的十种常见题型第一章 勾股定理提示：点击 进入讲评答案显示6789312.5 m南偏东南偏东6017 cm1010 cm12345ABBCBP2BC2AP2.BC10，CD6.541如图，在等腰直角三角形如图，在等腰直角三角形ABC中，中，ABC90，点点D为为AC边的中点，过边的中点，过D点作点作DEDF，交，交AB于于E，交，交BC于于F.若若AE4，FC3，求，求EF的长的长解：如图，连接解：如图，连接BD.因为在等腰直角三角形因为在等腰直角三角形ABC中，点中，点D为为AC边的中点，边的中点，ABC90，所以所以BDAC，BD平分平分ABC.所以所
2、以ABDCBD45.又易知又易知C45，所以，所以ABDCBDC.易知易知BDCD.因为因为DEDF，BDAC，所以所以FDCBDFEDBBDF.所以所以FDCEDB.在在EDB与与FDC中，中，所以所以EDBFDC(ASA)所以所以BEFC3.所以所以AB7，则，则BC7.所以所以BF4.在在RtEBF中，中，EF2BE2BF2324225，所以所以EF5.2如图，在四边形如图，在四边形ABFC中，中，ABC90，CDAD，AD22AB2CD2.试说明：试说明：ABBC.【点拨】【点拨】当已知条件中有线段的平方关系时，应选择用勾股当已知条件中有线段的平方关系时，应选择用勾股定理说明，应用勾股
3、定理说明两条线段相等的一般步骤定理说明，应用勾股定理说明两条线段相等的一般步骤：找出图中说明结论所要用到的直角三角形找出图中说明结论所要用到的直角三角形；根据勾股定理写出三边长的平方关系根据勾股定理写出三边长的平方关系；联系已知，等量代换，求之即可联系已知，等量代换，求之即可解：因为解：因为CDAD，所以，所以ADC90，即即ADC是直角三角形由勾股定理，得是直角三角形由勾股定理，得AD2CD2AC2.又因为又因为AD22AB2CD2，所以所以AD2CD22AB2.所以所以AC22AB2.因为因为ABC90，所以，所以ABC是直角三角形是直角三角形由勾股定理，得由勾股定理，得AB2BC2AC2
4、，所以所以AB2BC22AB2.所以所以BC2AB2，即，即ABBC.3如图，如图，C90，AMCM，MPAB于点于点P.试说明：试说明：BP2BC2AP2.解：如图，连接解：如图，连接BM.因为因为PMAB，所以所以BMP和和AMP均为直角三角形均为直角三角形所以所以BP2PM2BM2，AP2PM2AM2.同理可得同理可得BC2CM2BM2.所以所以BP2PM2BC2CM2.又因为又因为CMAM，所以，所以CM2AM2AP2PM2.所以所以BP2PM2BC2AP2PM2.所以所以BP2BC2AP2.4如图，在四边形如图，在四边形ABCD中，中，ABAD8，A60，D150，四边形，四边形AB
5、CD的周长为的周长为32，求求BC和和CD的长度的长度5如图，将长方形如图，将长方形ABCD沿沿EF折叠，使顶点折叠，使顶点C恰好恰好落在落在AB边的中点边的中点C处若处若AB6，BC9，求，求BF的长的长解：因为折叠前后两个图形的对应线段相等，解：因为折叠前后两个图形的对应线段相等，所以所以CFCF.设设BFx，因为，因为BC9，所以所以CF9x.所以所以CF9x.由题意得由题意得BC3.在在RtCBF中，根据勾股定理可得中，根据勾股定理可得CF2BF2CB2，即即(9x)2x232，解得，解得x4.所以所以BF的长是的长是4.6如图，在如图，在RtABC中，中，ACB90，AB5 cm，A
6、C3 cm，动点，动点P从点从点B出发沿射线出发沿射线BC以以1 cm/s的速度移动，设运动的时间为的速度移动，设运动的时间为t s.(1)求求BC边的长；边的长；解：在解：在RtABC中，中，BC2AB2AC2523216，所以所以BC4 cm.6如图，在如图，在RtABC中，中，ACB90，AB5 cm，AC3 cm，动点，动点P从点从点B出发沿射线出发沿射线BC以以1 cm/s的速度移动，设运动的时间为的速度移动，设运动的时间为t s.(2)当当ABP为直角三角形时，借助图为直角三角形时，借助图求求t的值；的值；6如图，在如图，在RtABC中，中，ACB90，AB5 cm，AC3 cm，
7、动点，动点P从点从点B出发沿射线出发沿射线BC以以1 cm/s的速度移动，设运动的时间为的速度移动，设运动的时间为t s.(3)当当ABP为等腰三角形时，借助图为等腰三角形时，借助图求求t的值的值解：解：当当ABP为等腰三角形时，有三种情况：为等腰三角形时，有三种情况：.如图如图，当，当BPAB时，时，t5；.如图如图，当，当ABAP时，时，BP2BC8 cm，t8；7如图，某学校如图，某学校(A点点)到公路到公路(直线直线l)的距离为的距离为300 m，到公交站到公交站(D点点)的距离为的距离为500 m现要在公路边上现要在公路边上建一个商店建一个商店(C点点)，使之到学校，使之到学校A及公
8、交站及公交站D的距的距离相等，求商店离相等，求商店C与公交站与公交站D之间的距离之间的距离解：设解：设CDx(x0)m，则，则ACx m，作作ABl于点于点B，则，则AB300 m.在在RtABD中，中，AD2AB2BD2，AB300 m，AD500 m，所以所以BD400 m.所以所以BC(400 x)m.在在RtABC中，中，AC2AB2BC2，所以所以x23002(400 x)2，解得，解得x312.5.所以商店所以商店C与公交站与公交站D之间的距离为之间的距离为312.5 m.8如图，小明家位于一条南北走向的河流如图，小明家位于一条南北走向的河流MN的东侧的东侧A处，处，某一天小明从家
9、出发沿南偏西某一天小明从家出发沿南偏西30方向走方向走60 m到达河边到达河边B处取水，然后沿另一方向走处取水，然后沿另一方向走80 m到达菜地到达菜地C处浇水，最后处浇水，最后沿第三方向走沿第三方向走100 m回到家回到家A处问小明在河边处问小明在河边B处取水处取水后是沿哪个方向行走的后是沿哪个方向行走的？并并说明理由说明理由解：小明在河边解：小明在河边B处取水后是沿南偏东处取水后是沿南偏东60方向行走的方向行走的理由如下：理由如下：由题易知由题易知AB60 m，BC80 m，AC100 m，所以，所以AB2BC2AC2.所以所以ABC90.又因为又因为ADNM，所以，所以NBABAD30.
10、所以所以MBC180903060.所以小明在河边所以小明在河边B处取水后是沿南偏东处取水后是沿南偏东60方向行走的方向行走的9如图，圆柱形玻璃容器高如图，圆柱形玻璃容器高10 cm，底面周长为，底面周长为30 cm，在外侧距下底在外侧距下底1 cm的点的点S处有一只蚂蚁，与蚂蚁相对处有一只蚂蚁，与蚂蚁相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处的圆柱形容器的上口外侧距开口处1 cm的点的点F处有食处有食物，求蚂蚁要吃到食物所走最短路线的长度物，求蚂蚁要吃到食物所走最短路线的长度解：如图，将圆柱形玻璃容器侧面展开，解：如图，将圆柱形玻璃容器侧面展开，连接连接SF，过，过S作作SPMN，由题意可知由题意可知
11、FP1028(cm)，SP15 cm，在在RtSPF中，中，SF2SP2FP215282289，所以所以SF17 cm.因此，蚂蚁要吃到食物所走最短路线的长为因此，蚂蚁要吃到食物所走最短路线的长为17 cm.10如图，已知长方体的长为如图，已知长方体的长为4 cm、宽为、宽为2 cm、高、高为为8 cm.一只蟑螂如果沿长方体的表面从一只蟑螂如果沿长方体的表面从A点爬到点爬到B点，那么最短的路程是多少？点，那么最短的路程是多少？解：根据题意，有以下三种情况：解：根据题意，有以下三种情况：(1)如图如图，连接，连接AB，AB2AB2BB2100；(2)如图如图，连接，连接AB，AB2AC2BC2116；(3)如图如图，连接，连接AB，AB2AD2BD2148 cm；综上所述，最短的路程应为综上所述，最短的路程应为如图如图所示的情况，所示的情况，此时此时AB2100，即，即AB10 cm，故最短的路程为故最短的路程为10 cm.
