1、第第2章章 拉普拉氏变换数学方法拉普拉氏变换数学方法u2.1 概述概述u2.2 复数和复变函数复数和复变函数u2.3 拉氏变换和拉氏反变换的定义拉氏变换和拉氏反变换的定义u2.4 典型时间函数的拉氏变换典型时间函数的拉氏变换u2.5 拉氏变换的性质拉氏变换的性质u2.6 拉氏反变换的数学方法拉氏反变换的数学方法u2.7 用拉氏变换解微分方程用拉氏变换解微分方程2.1 概述概述()()()()my tcy tky tf t u拉普拉斯拉普拉斯(Laplace)变换变换，简称，简称拉氏变换拉氏变换，是积分变换中，是积分变换中一种常用的方法，其作用有：一种常用的方法，其作用有：把复杂的运算转换为简单
2、的运算；把复杂的运算转换为简单的运算；揭示变量之间的关系或函数的某些特性。揭示变量之间的关系或函数的某些特性。例如：例如：对于对于m-c-k系统来说，其动力学方程为：系统来说，其动力学方程为：求解此方程可以得到系统的动态特性及其响应过渡过程。求解此方程可以得到系统的动态特性及其响应过渡过程。一般情况下，微分方程求解困难，因此可用一般情况下，微分方程求解困难，因此可用Laplace变换方变换方法求解。其过程为：法求解。其过程为：()()()()my tcy tky tf t 用用Laplace变换将微分变换将微分方程转换为代数方程方程转换为代数方程求代数求代数方程解方程解用用Laplace反变换
3、反变换求微分方程的解求微分方程的解2.1 概述概述2.2 复数和复变函数复数和复变函数()2.2 复数和复变函数复数和复变函数2.2 复数和复变函数复数和复变函数2.2 复数和复变函数复数和复变函数2.2 复数和复变函数复数和复变函数2.3 拉氏变换和拉氏反变换的定义拉氏变换和拉氏反变换的定义2.3 拉氏变换和拉氏反变换的定义拉氏变换和拉氏反变换的定义2.3 拉氏变换和拉氏反变换的定义拉氏变换和拉氏反变换的定义表表2-1 拉氏变换对照表拉氏变换对照表(P17)2.4 典型时间函数的拉氏变换典型时间函数的拉氏变换2.4 典型时间函数的拉氏变换典型时间函数的拉氏变换罗比塔法则罗比塔法则2.4 典型
4、时间函数的拉氏变换典型时间函数的拉氏变换 00st2001fttss111tesssstststLtedted ted ts000t)(tttf2.4 典型时间函数的拉氏变换典型时间函数的拉氏变换asdtedteeeLasstatat10)(00 te0 t0)t(fatasdtedteeeLasstatat10)(02.4 典型时间函数的拉氏变换典型时间函数的拉氏变换欧拉欧拉公式公式 cossincossinj tj tetjtetjt j tj tj tj tteejteesin()/2cos()/2 00()()0022sinsin21 2111 2sinj tj tststsjtsjt
5、eeLtt edtedtjedtedtjj sjsjLts 2.4 典型时间函数的拉氏变换典型时间函数的拉氏变换00()()0022coscos21 2111 2cosjtjtststsjtsjteeLtt edtedtedtedtsjsjsLts 2.4 典型时间函数的拉氏变换典型时间函数的拉氏变换2.5 拉氏变换性质拉氏变换性质1s69ss2s1s1)t(tcos3te114232tL：例1s69ss2s1s1)t(tcos3te114232tL：例1s69ss2s1s1)t(tcos3te114232tL：例2.5 拉氏变换性质拉氏变换性质0t()f t ()f t2.5 拉氏变换性质拉
6、氏变换性质f1(t)f1(t-T)2.5 拉氏变换性质拉氏变换性质2.5 拉氏变换性质拉氏变换性质2.5 拉氏变换性质拉氏变换性质2.5 拉氏变换性质拉氏变换性质，t1=T 时，t=(n+1)T等比数列前n项和2.5 拉氏变换性质拉氏变换性质2.5 拉氏变换性质拉氏变换性质2.5 拉氏变换性质拉氏变换性质2.5 拉氏变换性质拉氏变换性质 课堂作业：课堂作业：l 本题也可以用位移性质直接写出本题也可以用位移性质直接写出2.5 拉氏变换性质拉氏变换性质2.5 拉氏变换性质拉氏变换性质2.5 拉氏变换性质拉氏变换性质2.5 拉氏变换性质拉氏变换性质2.5 拉氏变换性质拉氏变换性质2.6 拉氏反变换的
7、数学方法拉氏反变换的数学方法11()()()2jstjf tLF sF s e dsj 1111()()()()()atbteeF sf ts a s bb a s a s bb a 221111111()()()tF sf ttes ssss 例例2.6 拉氏反变换的数学方法拉氏反变换的数学方法一、部分分式法一、部分分式法分解成因式相乘的形式分解成因式相乘的形式2.6 拉氏反变换的数学方法拉氏反变换的数学方法1.F(s)无重极点的情况无重极点的情况2.6 拉氏反变换的数学方法拉氏反变换的数学方法1.F(s)无重极点的情况无重极点的情况2.6 拉氏反变换的数学方法拉氏反变换的数学方法2.6 拉
8、氏反变换的数学方法拉氏反变换的数学方法2.6 拉氏反变换的数学方法拉氏反变换的数学方法2.F(s)有重极点的情况有重极点的情况2.6 拉氏反变换的数学方法拉氏反变换的数学方法2.F(s)有重极点的情况有重极点的情况2.6 拉氏反变换的数学方法拉氏反变换的数学方法2.F(s)有重极点的情况有重极点的情况2.6 拉氏反变换的数学方法拉氏反变换的数学方法2.F(s)有重极点的情况有重极点的情况2.6 拉氏反变换的数学方法拉氏反变换的数学方法二、用二、用MATLAB函数求解原函数函数求解原函数2.7 用拉氏变换解微分方程用拉氏变换解微分方程u用拉氏变换解常微分方程，首先是通过拉氏变换将常微分用拉氏变换
9、解常微分方程，首先是通过拉氏变换将常微分方程化为象函数的代数方程，然后求解象函数，最后利用方程化为象函数的代数方程，然后求解象函数，最后利用拉氏反变换求得微分方程的解。拉氏反变换求得微分方程的解。其步骤如下：其步骤如下：对方程两边取拉氏变换，得象函数代数方程。对方程两边取拉氏变换，得象函数代数方程。由代数方程解象函数。由代数方程解象函数。对象函数两边拉氏反变换，得微分方程的解。对象函数两边拉氏反变换，得微分方程的解。2.7 用拉氏变换解微分方程用拉氏变换解微分方程26()(0)(0)5()(0)6()s Y ssyysY syY ss 22(56)()2126s ssY sss23122126
10、()(2)(3)23KKKssY ss sssss 解：等式两边取拉氏变换解：等式两边取拉氏变换22566d ydyydtdt(0)2,(0)2 yy例例 解微分方程解微分方程22566d ydyydtdt例例 解微分方程解微分方程22566d ydyydtdt例例 解微分方程解微分方程其中其中(0)2,(0)2 yy其中其中将初始条件代入，得将初始条件代入，得所以所以21222321261(2)(3)02126(2)5(2)(3)22126(3)4(2)(3)3ssKss sssssKss sssssKss sss 154()23Y ssss 123()()154tty tLY see2.7 用拉氏变换解微分方程用拉氏变换解微分方程利用部分分式法可求得利用部分分式法可求得所以所以可得可得2.7 用拉氏变换解微分方程用拉氏变换解微分方程2.7 用拉氏变换解微分方程用拉氏变换解微分方程2.7 用拉氏变换解微分方程用拉氏变换解微分方程2.7 用拉氏变换解微分方程用拉氏变换解微分方程2.7 用拉氏变换解微分方程用拉氏变换解微分方程作业：作业：P362.1 (1)、(4)2.2 (3)、(4)2.32.6 (4)2.8 (1)2.7 用拉氏变换解微分方程用拉氏变换解微分方程
