1、3.1.4 空间向量的正交分解空间向量的正交分解及其坐标表示及其坐标表示oxyz从空间某一个定点从空间某一个定点引三条互相垂直且有相引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐样就建立了空间直角坐标系标系xyz点点叫做坐标原点叫做坐标原点，x轴轴、y轴轴、z轴叫做轴叫做坐标轴坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为平面，分别称为xoy平面平面、yoz平面平面、和和 Zox平面平面墙墙墙墙地面地面 z z134x x4y y15O(4,5,3)一、空间直角坐标系一、空间直角坐标系例例如图，已知长方体如图，已知长方体
2、ABCD-ABCD的边长为的边长为AB=12,AD=8,AA=5.以这个长方体的顶点为坐标以这个长方体的顶点为坐标原点，射线原点，射线AB,AD,AA分别为分别为x轴、轴、y轴和轴和z轴的正半轴的正半轴轴,建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系,求长方体各个顶点的坐标求长方体各个顶点的坐标xyzAOABBCCDD在空间直角坐标系中在空间直角坐标系中,x x轴上的点、轴上的点、xoyxoy坐标平面内的点的坐标各有什么坐标平面内的点的坐标各有什么特点？特点？),(zyxM xyzo)0,0,(xP)0,0(yQ),0,0(zR)0,(yxA),0(zyB),(zoxC)0,0,0(Ox轴上的点横轴上
3、的点横坐标就是与坐标就是与x x轴交轴交点的坐标，纵坐标点的坐标，纵坐标和竖坐标都是和竖坐标都是xoy坐标平面坐标平面内的点的竖坐标为内的点的竖坐标为，横坐标与纵坐，横坐标与纵坐标分别是点向两轴标分别是点向两轴作垂线交点的坐标作垂线交点的坐标已知A(，）,111xyz1(1)则点A(，）关于xoy平面的对称点A(，-);111111xyzxyz1(2)则点A(，）关于yoz平面的对称点A(，);111111xyzxyz-1(3)则点A(，）关于xoz平面的对称点A(，-，);111111xyzxyz已知A(，）,111xyz4(4)则点A(，）关于x轴的对称点A(，-，-);111111xyz
4、xyz5(5)则点A(，）关于y轴的对称点A(-，-);111111xyzxyz6(6)则点A(，）关于z轴的对称点A(-，-，)。111111xyzxyz,p,xypxayb.a ba b 如果两个向量不共线，则向量 与向量共面的充要条件是存在实数对，使共线向量定理共线向量定理:复习：共面向量定理共面向量定理:0/a.a b babb 对空间任意两个向量、（），的充要条件是存在实数，使 一、空间向量的正交分解一、空间向量的正交分解xyzOkijPQ设设 是空间三个两两垂直的向是空间三个两两垂直的向量，且有公共起点量，且有公共起点O。,ij k 表示呢？它是否可以用，向量思考：对于空间中任一k
5、jip,:,，使得实数所确定的平面上，存在在zkOQkzOQOP），使得有序实数对（所确定的平面上，存在在yxji,jyi xOQkzjyi xOPp如果如果 是空间三个两两垂直的向量，那么，是空间三个两两垂直的向量，那么，对空间任一向量对空间任一向量 ，存在一个有序实数组，存在一个有序实数组使得使得,ij k p,zyxkzjyi xp上的在为向量我们称kjipkzjyi x,分向量分向量思考思考2：在空间中，如果用任意三个不共面向量：在空间中，如果用任意三个不共面向量 代替两两垂直的向量代替两两垂直的向量 ，你能得出类，你能得出类似的结论吗？似的结论吗？cba,kji,量正交分解这一过程叫
6、做将空间向二、空间向量基本定理：二、空间向量基本定理：,pcba一向量不共面，那么对空间任如果三个向量czbyaxp使得存在有序实数组,zyx叫做空间的一个我们把生成的，所以由向量由于这个向量可看作是cbacba,基底，基底，都叫做，cba基向量基向量思考：空间中能构成基底的三个向量应该具备思考：空间中能构成基底的三个向量应该具备什么关系？什么关系？空间任何三个不共面的向量都可构成空间空间任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底的一个基底特别地，特别地，,向量的三个两两垂直的单位为有公共起点设Okji为原点，分别以的公共起点以Okji,的方向kji,Oxyzzyx角坐标系轴的正方向建立空间直
7、轴、轴、为,p个向量那么，对于空间任意一pOPO重合，得到向量使它的起点与原点,zyx可知，存在有序实数组由空间向量的基本定理使得使得kzjyi xp一定可以把它平移，三、空间向量的坐标表示：三、空间向量的坐标表示：1.单位正交基底：单位正交基底：如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为长都为1，则这个基底叫做单位正交基底。，则这个基底叫做单位正交基底。常用表示：常用表示：kji,2.空间向量的坐标：空间向量的坐标：,pOxyzkji向量如果对于空间任意一个，空间直角坐标系作为单位正交基底建立以,zyx存在有序实数组使得使得kzjyi xp下的
8、坐标。在单位正交基底叫做向量我们把kjipzyx,记作：记作：zyxp,思考：如何求空间向量的坐标？与求平思考：如何求空间向量的坐标？与求平面向量的坐标有什么联系？面向量的坐标有什么联系？1.将原向量平移成起点与原点将原向量平移成起点与原点O重合，则平移重合，则平移后的向量的终点坐标就是向量的坐标。后的向量的终点坐标就是向量的坐标。2.将向量的终点坐标减去起点坐标，即为向量将向量的终点坐标减去起点坐标，即为向量坐标。坐标。探究：探究：向量运算的坐标表示向量运算的坐标表示 设设a(x(x1 1，y y1 1，z z1 1)，b(x(x2 2，y y2 2，z z2 2).).ab(x(x1 1x
9、 x2 2，y y1 1y y2 2，z z1 1z z2 2)a-b(x(x1 1-x-x2 2，y y1 1-y-y2 2，z z1 1-z-z2 2)111,axyz abx x1 1x x2 2y y1 1y y2 2z z1 1z z2 2 x x1 1x x2 2y y1 1y y2 2z z1 1z z2 2 0 0/abrrabl=rr121212,xx yy zzlll=abrr0a b圩=rr222111|axyz=+r若点若点A(xA(x1 1，y y1 1，z z1 1)，点，点B(xB(x2 2，y y2 2，z z2 2)(x(x2 2x x1 1，y y2 2y
10、y1 1，z z2 2z z1 1)，A Buuu r222212121()()()A Bxxyyzz=-+-+-uuu v222212121()()()A Bxxyyzz=-+-+-uuu v222212121()()()A Bxxyyzz=-+-+-uuu v12121 2222222111222x xy yz zxyzxyz+=+12121 2222222111222x xy yz zxyzxyz+=+12121 2222222111222x xy yz zxyzxyz+=+cos,|a ba bab=rrrrurrcos,|a ba bab=rrrrurrcos,|a ba bab=r
11、rrrurr_AM _OB1 _PQ 练习1 如图在边长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，取D点为原点建立空间直角坐标系，O、M、P、Q分别是AC、DD1、CC1、A1B1的中点，写出下列向量的坐标.z zx xy yA AB BC CD DA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1O OM MPQ Q 如图，在正方体如图，在正方体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，点中，点E E、F F分别是分别是BBBB1 1，B B1 1D D1 1的中点，的中点，求证：求证：EFAEFA1 1D.D.x xy yz zE EA AB BC CA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1D DF例题讲解例题讲解 如图，在正方体如图，在正方体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，点点E E、F F分别是分别是A A1 1B B1 1，C C1 1D D1 1的一个四等分点，的一个四等分点，求异面直线求异面直线BEBE与与DFDF所成角的余弦值所成角的余弦值.x xy yz zE EA AB BC CA A1 1F FB B1 1C C1 1D D1 1D D15cos,17B E D F=uuu r uuu r例题讲解例题讲解
