1、第三章 控制系统状态空间表达式的解 3.1 线性定常齐次状态方程的解（自由解）3.2 矩阵指数函数状态转移矩阵 3.3 线性定常系统非齐次方程的解 3.4 线性时变系统的解3.1 线性定常齐次状态方程的解（自由解）自由解：自由解：系统输入为零时，由初始状态引起的自由运动。状态方程的齐次矩阵微分方程AXX 给定初始时刻t0时的状态X(t0)X0，则上式有唯一确定解00)tt(AttXe)t(X0给定初始时刻t00时的状态X(t0)X0，则上式有唯一确定解0tXe)t(X0At3.1证明：和标量微分方程的求解相似假设kk2210tbtbtbb)t(X)tbtbtbb(Atkbtb3tb2bkk22
2、101kk2321代入齐次状态方程得上式t的同次幂项的系数相等，有3.10k1kk0323021201bA!k1Abk1bbA!31Ab31bbA!21Ab21bAbb由对X(t)的假设式，令 t0，则 b0=X(0)=X03.10Atkk22AtAt0kk22Xe)t(XtA!k1tA!21AtIeeX)tA!k1tA!21AtI()t(X于是引入矩阵指数函数3.2 矩阵指数函数状态转移矩阵一、状态转移矩阵0AtXe)t(X0ttAXe)t(X0齐次矩阵微分方程的自由解或(t)X0(t=0)X(t)(t=t)eAt称为状态转移矩阵，记为(t)t(X)tt()t(X)0(X)t()t(XAXX
3、00或的解，又可表述为即：(t1)X0(t=0)X(t2)(t=t2)3.2(t2-t1)X(t1)(t=t1)(t2)状态空间表示法的一个特点（优点）：状态的变化在时间上可以分段求取。)0(X)t()tt()t(X)tt()t(X)0(X)t()t(X)0(X)t()t(X11211221122由此得状态转移矩阵的一个性质组合性质：)t()t()tt(21123.2二、状态转移矩阵（矩阵指数函数）的基本性质1、性质一)t(AAAteee)t()()t(或（组合性质或分解性质）2、性质二IeI)tt()tt(A3、性质三（可逆性）At1At1ee)t()t(3.24、性质四AeAe)t(A)t
4、()t(A)t(AtAt或5、性质五t)BA(BtAtt)BA(BtAteeeBAABeeeBAABBAnn时，而当时，当且仅当，和矩阵对和标量指数函数的性质不同和标量指数函数的性质不同3.2三、几个特殊的矩阵指数函数1、若A为对角线矩阵tttAtn21n21e0e0e)t(e00A3.22、若A能够通过非奇异变换变为对角线矩阵1tttAt1Te0e0eT)t(eATTn21则即3.23、若A为约旦标准型矩阵1000t000t)!2n(1t10t)!1n(1t!21t1e)t(e0101JA2n1n2tAt3.24、若Atcostsintsintcose)t(etAt3.2四、(t)或eAt的
5、计算1、按定义直接计算法 kkkAttAktAtAAtIe03322!1!3!2例：已知Ate0010A求解：10t1t00101001.t0010!31t0010!21t00101001e3322At2、将A变换为约旦标准型 1）A的特征值互异3.21tAt1TTeeATT则例：Ate3210A求解：21)2)(1(23321AI2123.2变换矩阵为t2tt2tt2tt2tt2t1tAte2ee2e2eeee21112e00e2111TTee则1112T2111T13.22）A的特征值有重根1JtAt1TTeeATTJ则331100010A例：求eAt0)1(133|323AI解：3.2将
6、矩阵A变换为约旦标准形的变换矩阵为121011001T121011001T1J100110011121011001331100010121011001ATT13.21JtAtTTee121011001e00tee0et21tee121011001etttt2ttAtt2ttt2tt2tt2tt2ttt2t2t2tt2ttet21te2eette3et21teet21teetteeet21et21etteet21tee3.23、利用拉氏反变换求eAt)(11AsILeAt证：)ASI(LeXe)t(XX)ASI(L)t(XX)ASI()s(XX)0(X)s(X)ASI()s(AX)0(X)s(S
7、XX)0(X)t(AX)t(X11tA0At0110100比较和式即两边取拉氏变换3.22010A例：求eAt201201000ssssAsI解：210)2(11)(1ssssAsItteeAsIL2211At0)1(211)(e3.24、利用凯勒-哈密尔顿定理求eAt 1)由凯勒-哈密尔顿定理，矩阵A满足其自身的特征方程，即0111IaAaAaAnnnn1n122n1nnAtA)t(A)t(A)t(I)t(e2)由1)及eAt的定义式可得即An、An+1、可用An-1,An-2,A,I表示3)的计算公式)t(i3.2ttt1n2nn1nn12n21n212n11n1n21n21eee111)
8、t()t()t(证明：(1)A的特征值互异时，则(2)A的特征值均相同为1时，则3.2ttt2nt1n112n11n13n12n11n211111eteet)!2n(1et)!1n(1101)2n()1n(001)1n(0001)t()t()t(证明：3.2例：考虑如下矩阵A2010A试用化Ate为A的有限项法计算Ate。0)2()det(AI解：可得相异特征值为1=0，2=-2。t210t11021e)t()t(e)t()t(3.2tettt2100)(2)(1)(由于1=0，2=-2，上述两式变为)1(21)(,1)(21toetata求解此方程组，可得 tttoAteeAeIAtaIta
9、e22210)1(211)1(21)()(3.3 线性定常系统非齐次方程的解给定线性定常系统非齐次状态方程为时，其解为：初始状态为当初始时刻为)t(X,t00时，当)0(X)t(X)t(Bu)t(AX)t(X0t00Attoe)t(d)(Bu)t()0(X)t()t(X其中)tt(A0tt0000e)tt(d)(Bu)t()t(X)tt()t(X其中3.3 证明：将方程写为)t(Bu)t(AX)t(X在上式两边左乘Ate,可得)t(Bue)t(Xe dtd)t(AX)t(XeAtAtAt将上式由0积分到t，得 d)(Bue)0(X)t(XetoAAtto)t(AAtd)(Bue)0(Xe)t(
10、X也可借助拉氏变换方法给出证明3.3uxxxx1032102121例：求下列系统的单位阶跃响应ttttttttAteeeeeeeeet22222222)(解：由前面例子已求出系统对单位阶跃输入的响应为：dteeeeeeeexetxtottttttttAt)(1102222)0()()(2)()(2)()(2)()(2)(t 2tt 2t21t 2tt 2tt 2tt 2t21eee21e21)0(x)0(xe2ee2e2eeee2)t(x)t(x3.3如果初始状态为零，即0)0(X,可将)(tX简化为tttteeeetxtx22212121)()(3.4 线性时变系统的解一、线性时变系统的自由
11、解齐次矩阵微分方程)t(X)t(X)t(X)t(A)t(X0tt0其解为)t(X)t,t()t(X00),(0tt为线性时变系统的状态转移矩阵，并满足如下矩阵微分方程和初始条件I)t,t()t,t()t(A)t,t(00003.4证明：I)t,t()t(X)t,t()t(X)t(X)t,t()t(X)t,t()t(A)t,t(X)t,t()t(AX)t,t(dtdX)t,t(dtd0000000000000000即3.4二、线性时变系统状态转移矩阵 的基本性质),(0tt1、Itt),(2、),(),(),(020112tttttt3、),(),(001tttt5、计算时变系统状态转移矩阵的公
12、式tttttddAAdAItt010012210)()()(),(4、)t,t()t(A)t,t(00上式一般不能写成封闭形式，可按精度要求，用数值计算的方法取有限项近似。3.4当满足)()()()(00tAdAdAtAtttt),(0tt才可表示为如下矩阵指数函数形式ttdAtt0)(exp),(0也可表示为，当满足)t(A)t(A)t(A)t(A1221时，三、线性时变系统非齐次状态方程的解线性时变系统非齐次状态方程)t(u)t(B)t(X)t(A)t(X其解为 tod)(u)(B),t()0(X)0,t()t(X3.4证明：设解为)t()t,t()t(X0式中),(0tt满足I)t,t(
13、)t,t()t(A)t,t(0000tt000d)(u)(B),t()t(X)t,t()t(X或3.4解应满足状态方程，即:d)(u)(B)t,()t(X)t()t()t()t,t()t(X)t(Xd)(u)(B)t,()t()t(u)t(B)t,t()t(u)t(B)t()t,t(u)t(B)t()t,t(u)t(B)t()t,t()t(A)t()t,t()t()t,t()t(Xtt01000000tt010010000000的定义式可得由3.4的解为于是时变系统状态方程)t()t,t()t(X0d)(u)(B),t()t(X)t,t(d)(u)(B),t()t,t()t(X)t,t(d)(
14、u)(B)t,()t,t()t(X)t,t(tt00tt0000tt010000003.4例：给定系统如下：系统的状态响应。的阶跃信号，试求即为作用于时刻1t,)1t(1u10,1 t,1t,21)t(X,u11X0t00X0解：首先求),(0tt)t(xt)t(x5.0t)t(x5.0)t(x)t(x)t(xtxx0 x02200120120111213.4202212020210201tt120)t(X)t(X)t(tt2)t(X,10)t(X02)t(X,10)t(X：得系统的一个基本解阵得两个线性无关解：变量：任取两组线性无关状态3.4利用状态转移矩阵关系式)t(X)t,t()t(X0
15、0)t()t()t,t(0101t 5.0t 5.0010120tt12020212023.4接着求X(t):tt000d)(u)(B),t()t(X)t,t()t(X10,1 t,32tt31t65tt 5.0t311t5.1t 5.01d1115.0t 5.0012115.0t 5.0013232t1222本例),(0tt的另一求法：.d000!21d000I)t,t()t(A)t(A)t(A)t(A2tttt01221001t 5.0t 5.001202第三章总结 3.1 线性定常齐次状态方程的解（自由解）3.2 矩阵指数函数状态转移矩阵 3.3 线性定常系统非齐次方程的解 3.4 线性时变系统的解
