1、 3 阶跃折射率光纤的模式理论本节主要讨论：光波在光纤中传输的基本方程，包括：1)导波场方程2)波导的特征方程3)导波的模式和传输特性2.光纤中的光波光纤中的光波（1）麦克斯韦方程麦克斯韦方程是分析光纤中光特性的基础，其形式为 （2.2.31）式中为E电场强度矢量，D为电位移矢量，H为磁场强度矢量，B为磁感应强度矢量，对于简谐电磁场，。在没有电荷或电流分布的介质分界面上，电场强度和磁场强度的切向分量连续，电位移矢量和磁感应强度的法向分量应连续，用下标t和n分别表示介质分界面上的切向分量和法向分量，则边界条件可以写成 （2.2.32）HBEDBDtDHtBE00jtnnnnttttBBDDHHE
2、E21212121（2）波动方程及其解对光纤中电磁场的分析，通常采用圆柱坐标，设电磁场沿z方向传播，有 （2.2.33a）(2.2.33b)式中是电磁波传播常数 的z分量。一般而言，场既有横向分量，又有纵向分量，它们都是时间和坐标的简谐函数，横向分量是 ，纵向分量是 ，电场强度和磁场强度可以表示成 （2.2.34a）(2.2.34b)将上式代入麦克斯韦方程，利用圆柱坐标，可以得到光纤中场的纵向分量所满足的方程 （2.2.35）（2.2.36）上式即为波动方程。场的纵向分量解出后，所有的横向分量就可以通过下列关系得到确定 （2.2.37a）(2.2.37b)(2.2.37c)(2.2.37d)(
3、0),(ztjerEE)(0),(ztjerHH2kHHEErr、zzHE、zzrrEaEaEaEzzrrHaHaHaH0)(112222222zzzzEkErrErrE0)(112222222zzzzHkHrrHrrHzzrHrkrEnkjE0002220rHrkErnkjEzz0002220zzrErnkrHnkjH202220zzEnkHrnkjH20002220 Ez、Hz的场方程（2.35）式是三维偏微分方程，可用分离变量法求解。步骤：1)根据物理概念，设一试探函数为方程的解;2)将试探函数代入（2.35）式;3)根据电磁边界条件，确定待定常数。下面我们以Ez、HZ为例进行讨论：1）
4、设试探函数为：式中，A指待定常数REz随r 的变化情况（规律）；-随的变化情况（规律）；Z(z)EZ随Z的变化情况（规律）。设导波是沿Z向传输，由导波概念知，沿Z向呈行波态。用表示行波的相位常数，则有：zZrAREZ zjezZ经整理求得光纤波导的特征方程，该特征方程有如下形式：利用以上边界条件可以得到特征方程上式是弱导光纤的特征方程，它是分析弱导光纤传输特性的基础，由于上式是弱导光纤的特征方程，它是分析弱导光纤传输特性的基础，由于该方程是一个复杂的超越方程，通常只能用数值解。该方程是一个复杂的超越方程，通常只能用数值解。通过对特征方程的求解，可以发现传播常数为一系列的离散值，通常，对于每个整
5、数m，都存在多个解，记为，n=1,2,3。每一个值都对应着由（2.2.38）(2.2.42)式确定的、能在光纤中传播的光场的一个空间分布，这种空间分布在传播的过程中只有相位的变化，没有形态的变化，且始终满足边界条件，这种空间分布称为导波模的模式，简称模式。除了m0的情况外，光纤中导波模的模式分布中，电场和磁场的纵向分量都存在，我们将这种情况称之为混合模，根据或哪一个相对作用大些，又可将混合模分成模EH(EzHz)和模（HzEz）；当m0时，将模HE0n和模EH0n分别记为TE0n和TH0n，它们分别对应于场的纵向分量Ez0和 Hz0的模式，简称TE模和TM模。（1）TE模和TM模对于TE模，有
6、Ez0，也即（2.2.38）式中的常数A0。根据边界条件，可以求得m=0（省略了推导），由(2.2.45)式得到 （2.2.46）利用贝塞尔函数的递推公式，又可将（2.2.46）式写成 （2.2.47）这就是TE模特征方程的一般表达式。对于TM模，有Hz0，同样可求得须m=0时边界条件才成立，此时得TM模的特征方程为 （2.2.48）在弱导条件下（2.2.48）式与（2.2.47）式一致，也就是说，此时TE模和TM模有着共同的特征方程。m=0，意味着光场与无关，即场分量在光纤中呈轴对称分布。（2）EH模和HE模如果 ，场量沿圆周方向按或函数分布，要使边界条件得到满足，则A和B都不得为0，也就是
7、说Hz和Ez同时存在，此时对应同一m值，有两组不同的解，分别对应着两类不同的模式，（2.2.45）式右边取正号时所解的一组模式称为EH模，取负号时所解的一组模式称为HE模。根据（2.2.45）式，并利用贝塞尔函数的递推公式，得EH波和HE波的特征方程为EH模（2.2.49）HE模（2.2.50a）利用贝塞尔函数的递推公式，不难得到该公式的另一种表达式 （2.2.50b）0)()()()(0000WWKWKUUJUJ0)()()()(0101WWKWKUUJUJ0)()()()(0121201WWKWKnnUUJUJ0m0)()()()(11WWKWKUUJUJmmmm0)()()()(11WW
8、KWKUUJUJmmmm0)()()()(1212WKWWKUJUUJmmmm4.导波模截止导波模截止一个导波模的特性可以用三个参数 U、W和 来表达，U表示导波模场在纤芯内部的横向分布规律，W表示它在包层中的横向分布规律，两者结合起来，就可以完整地描述导波模的横向分布规律，是轴向的相位传播常数，表明导模的纵向传输特性，要得到特征方程的精确解，须用数值法求解。在此为了简化分析，只考虑两种极端情况下特征方程的解，这两种情况分别是导波模在截止和远离截止时的特性。导波模截止是指电磁能量已经不能集中在纤芯中传播而向包层弥散的临界状态，此时的导波模径向归一化衰减常数0，将此时的归一化频率和归一化相位常数
9、分别记为U、V。通过由特征方程对、的求解，可以知道相应模式的截止条件，即光纤参数与工作波长的制约条件。(1)TE、TM模的截止条件由TE、TM模的特性方程（2.2.47）式和（2.2.48）式，在模式截止时，且由贝塞尔函数的渐近公式可得 (2.2.53)截止状态时的归一化相位常数（等于归一化频率）是零阶贝塞尔函数的零点，零阶贝塞尔函数有几穷多个零点：2.405，5.520，8.654,它们分别对应着 、模式的截止频率。光波在光纤中传播时，如果工作波长、光纤参数a、n1、n2都是确定的，则归一化频率 是一个完全确定的数。如果大于某个模式的归一化频率，则有W0，该模式可以在光纤中传播；反之，如果小
10、于某个模式的归一化截止频率，则W2.408，则模就能在光纤中存在，所有和模中，基模的归一化截止频率最低、截止波长最大。2222ccccUWUVWWK2ln)(0WWK1)(10)(0cUJ)(0101TMTE)(0202TMTEcVV（2）HE模的截止条件由于当 m 0时，在m1和m 1时的渐近关系不同，所以分成两种情况来讨论：m1 根据模的特征方程（2.2.50a）式，有 (2.2.55)在模式截止时，0，模的特征方程可化为 (2.2.55)零点有0，3.832,7.016,。它们依次对应着 HE11、HE12、HE13 等模式的截止频率。我们可以从上面的分析中得到一个重要结论，即HE11模
11、的截止频率为零，或者说截止波长为无穷大，也即HE11模不会截止，它可以以任意低的频率在光纤中传输。HE11称为光纤中的基模或主模。当然，实际上如基模HE11的工作波长过长，其携带的能量将向包层转移，传输损耗将加大。m 1 W=0时，的渐近式为 ，将其代入HE模的特征方程（2.2.50a）式，并利用贝塞尔函数的递推公式 ，可得(2.2.56)这就是模HEnm（m1）在截止时的特征方程，表2.2.1示出了当m2和 m3时模对应的截止频率。)(WKm)()()()(1010WWKWKUUJUJW0)(1CUJ)(WKmmmWmWK)2()!1(21)()()()(211cmccmccmUJUUJUU
12、mJ0)(2cmUJ（3）EH模的截止条件根据EH模的特征方程（2.2.49）式，在 时应用贝赛尔函数的渐近式，得到 模在截止条件下的特征方程为 (2.2.57)归一化截止频率也就是阶贝赛尔函数的根。0WmnEH0)(cmUJHE11TE01TM01HE21图2.2.9 阶跃折射率光纤四个最低阶模式的横向电场截面分布306.2002.021065.11055.122266111anV73.2002.021065.11031.122266122anV21.4002.021065.11085.022266133anV),(832.3),(405.211312210101EHHEVVHETMTEVcc)(136.5),(832.3213121131EHVVHEEHHEVcc
