1、复习复习一、秩一、秩二、满秩阵二、满秩阵三、解方程组三、解方程组异异奇奇非非逆逆可可满满秩秩AAAEAnARA 0)(线性方程组有解线性方程组有解)()(BRAR r=n 唯一解唯一解(齐次齐次唯一零解唯一零解)r n 无穷多解无穷多解(齐次齐次非零解非零解)求出解求出解 行最简形行最简形 判别有解否判别有解否阶梯形阶梯形 B1.解的判定解的判定2.求解求解 的阶数的阶数最高解非零最高解非零子式子式初等变换不改变矩阵的秩初等变换不改变矩阵的秩求秩求秩化为梯形阵化为梯形阵四、初等阵四、初等阵.有有唯唯一一零零解解对对应应的的齐齐次次线线性性方方程程组组 333231232221131211aaa
2、aaaaaaA 100001010 AE)2,1(333231131211232221aaaaaaaaa 100001010)2,1(333231232221131211aaaaaaaaaAE 333132232122131112aaaaaaaaanmmmnmAETAT )()(行行行行)()(nnnmnmETAAT 列列列列4 初等矩阵初等矩阵单位阵交换单位阵交换1、2两行两行 333231232221131211100001010aaaaaaaaa)2,1(E交换交换1、2 两行两行将初等变换用矩阵的乘法表示出来将初等变换用矩阵的乘法表示出来意义意义定义定义3 对单位阵进行一次初等变换后得
3、到的矩阵为对单位阵进行一次初等变换后得到的矩阵为初等矩阵初等矩阵。101101),(jiE三种初等行变换得到的三种初等矩阵分别：三种初等行变换得到的三种初等矩阵分别：1、对调两行或两列、对调两行或两列 E(i,j)mnjnmjinniaaaaaaaa111111A 对调对调 i、j 两行两行一、概念一、概念2、以数以数 k 乘某行或列乘某行或列 E(i(k)i jnaa111jnjaa1iniaa1nnnaa1 11)(kkiE mnmiinniaaaaaa1111A mnmiinniaakaakaa1111以数以数 k 乘第乘第 i 行行2、以数以数 k 乘某行或列乘某行或列 E(i(k)3
4、、某行或列的某行或列的k 倍加到另一行或列上去倍加到另一行或列上去 E(i j(k)1111)(kkjiE mnmjnjininaaaaaaaa111111A mnmijninnjiaakaaakaaa11111对单位阵作一次列变换所得矩阵对单位阵作一次列变换所得矩阵就包括在上面的三类矩阵之中就包括在上面的三类矩阵之中初等初等变换变换 初等初等矩阵矩阵i),(),(jiEjiET 二、初等矩阵的性质二、初等矩阵的性质)()(kiEkiET)()(kjiEkijET(1)初等矩阵的转置仍为同类型的初等矩阵初等矩阵的转置仍为同类型的初等矩阵1),(jiEkkiE)(1)(,(kjiE(2)初等矩阵
5、都是可逆的且逆阵仍为同类型的初等矩阵初等矩阵都是可逆的且逆阵仍为同类型的初等矩阵定理定理4 对对 实施一次初等行实施一次初等行(列列)变换变换,相当于在相当于在 A 的左的左(右右)边乘相应的边乘相应的 m(n)阶初等矩阵；阶初等矩阵；nmA),(),(1ijEjiE )1()(1kiEkiE )()(1kjiEkj iE 行变换行变换 左乘初等矩阵左乘初等矩阵;列变换列变换 右乘初等矩阵右乘初等矩阵 41311221222832 101010001 1000012000100001 69031221222832 1000012000100001 6918312216228192E(3,1(1
6、)E(2,3(-2)例例1例例2 333231232221131211aaaaaaaaaA 133312321131131211232221aaaaaaaaaaaaB 1000010101P 1010100012PBAPPdBAPPcBPPAbBPPAa 12211221)()()()(011110001A 01011000113rr 11001000132rr 10001000123rrE 1010100011Q可以验证可以验证 0101000012Q 1100100013Q?1 AEAQQQ 123例例3 求矩阵的标准形并用初等矩阵表示初等变换。求矩阵的标准形并用初等矩阵表示初等变换。A
7、可逆可逆131211 QQQA321PPP 定理定理5llPPPAPPPA2121,，有有限限个个初初等等阵阵可可逆逆证证即即 E 经有限次初等变换可变为经有限次初等变换可变为 AlPPPA21 有有相相同同的的标标准准型型与与BABOAOPPOOPPtsts 1111,)()(BrAr 可可经经初初等等变变换换互互得得与与BABABPAOOnPm ,阶阶可可逆逆阵阵和和阶阶可可逆逆阵阵推论推论5个个?lPPAEAnARAAAA1)(0 满满秩秩非非奇奇异异可可逆逆APEPPPPPPlmml 1121,有有限限个个初初等等阵阵,EA由由条条件件知知自证自证lPPPAA21 可可逆逆等价矩阵的等
8、价矩阵的等式等式表达式表达式例例4).(,301020201,2)(34ABRBAR求求设设 ,3)(BR满满秩秩，故故B2)()(ARABR若若P、Q 为满秩阵，则为满秩阵，则 =R(AQ)=R(PAQ)R(A)R(PA)01046 B推论推论=P1 PS=三、用初等变换求逆阵三、用初等变换求逆阵11121 PPPlE E求逆阵的方法三求逆阵的方法三EAQQQm 21121 AEQQQm)()(1 AEEA行行变变换换逆阵的求法逆阵的求法用伴随阵求用伴随阵求用定义求用定义求用初等变换求用初等变换求1),(,ABEBAEABB则则或或 1 AEEA 1AEEA121)(lPPP121)(lPP
9、P11121 PPPl11121 PPPllPPPA21 1AmQQQ21mQQQ21 A 可逆，且可逆，且 343122321A?1 A解解 100010001343122321)(EA 103012001620520321 111012001100520321 111563231100020001 111253232311000100011 A例例4(P.90例例8)可可逆逆。ABXA,.2 BAXI1 解解法法EAPPPs 21 )()(XEBA行变换行变换（初等变换法）（初等变换法）解法解法IIsPPPA211 设设1 BAXI解解法法（初初等等变变换换法法）解解法法IIsPPPA21
10、1 设设XPPPBs 21EPPPAs 21 XEBA列变换列变换 XBPPPs 21P.91 例例9.,.1XBAXA求求可可逆逆设设 逆阵的应用逆阵的应用求解矩阵方程求解矩阵方程即即 将将 A 变成变成 E 的初等变换的初等变换就是将就是将 B 变为变为 X 的初等变换的初等变换可可逆逆。CABAXC,.3 11:BCAXI解解法法)(:初等变换法初等变换法解法解法II BAEBABAXC11:1 BCAX 1:BCEBC XEBCA 1 XEBAC1求解矩阵方程时求解矩阵方程时,一定要一定要先整理化简先整理化简,再求解再求解.例例2.,2XXAEAXA求求且且已已知知 解解)(2EAEA
11、EAXAX 原式原式),)()(EAEAXEA .,EAXEA 则则可逆可逆只要只要1 n 维向量及其线性运算维向量及其线性运算一、一、n 维向量的概念维向量的概念 定义定义1组组成成的的有有序序数数组组称称为为由由数数naa,1等等表表示示。字字母母字字母母列列向向量量通通常常用用黑黑体体小小写写,ba),(nTaaa21 行向量行向量 实数实数ia第第 i 个分量个分量 n 维向量维向量，简称简称向量向量。naaa21 列列向向量量第四章第四章 n 维向量维向量实向量实向量O=(0,0,0),(21naaa .,nibaii21维维数数相相同同，即即同同型型。零向量零向量负向量负向量(-1
12、,0,)三维向量三维向量)(3RrRT zyx,zyx,nxxx,21nxxx,21)(RrRTn dczbyax )(Tr zyx,bxaxann 11)(Tr nxxx,21三维向量空间三维向量空间n 维向量空间维向量空间 中的平面中的平面3R 中中n 1 维维超平面超平面nRie第第i 个坐标是个坐标是1其余均为零其余均为零单位向量组单位向量组),(nTaaa21 设向量设向量),(nTbbb21 1.加法加法(减法减法):),(2211nnTTbababa 2.数乘数乘:),(nTkakakak21 线性运算线性运算满足运算规律满足运算规律?同于矩阵的相应运算同于矩阵的相应运算 21k
13、k nnbbkaak1211 nnbkakbkak211211二二、n 维向量的线性运算维向量的线性运算一、线性表示一、线性表示1、向量组向量组由若干个同维数的列由若干个同维数的列(行行)向量构成的集合向量构成的集合nmijaA )(n 个个m 维列向量维列向量m 个个 n 维行向量维行向量n ,21矩阵矩阵A的列向量组的列向量组矩阵矩阵A的行向量组的行向量组AaaaTmTT 21),(iniiaaa21 Tia),(mi21 mjjjaaa21 j),(nj21 A)(2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性BbA)(bxA(I)有解有解 ,nxxx21 mnmnmmnnnnbxaxaxab
14、xaxaxabxaxaxa22112222212111212111(I)均构成一一对应均构成一一对应向量组向量组 A:的一个线性组合的一个线性组合naaa,21 组合系数组合系数baaan 21nxxx21ie),(ni21 线性组合。线性组合。的的是是向向量量或或称称向向量量m ,21m ,21可可由由向向量量则则称称向向量量线性表示线性表示(出出)。12三个向量？三个向量？共面共面四个四个)(naaa,21m 21mkkk21使使，若若存存在在一一组组数数设设向向量量m ,21mkkk,，21naaa21neee 21定义定义12、线性表示、线性表示k11 k22有有解解线线性性方方程程组
15、组bm 21mkkk21线线性性表表示示可可由由向向量量向向量量mb ,21向量向量 b 可由向量组可由向量组 A 线性表示线性表示)(bAB ),(21maaaA 其其中中例例1),1,4,4,5(),9,0,4,1(),5,2,4,3(),2,1,0,1(321 TTTT 已已知知如如能能请请写写出出其其表表达达式式。线线性性表表出出能能否否由由试试问问?,321 解法解法I332211 xxx 设设 195242444533212132321xxxxxxxxxx即即 1445952021440131 0012000000110201 txtxtx321122)(,)1()22(321Rt
16、ttt 则则无穷多种表达式无穷多种表达式由向量组的线性表示与方程组的关系知由向量组的线性表示与方程组的关系知 R(A)=R(B)定理定理1TTTT 3211445904152432101 TTTTTTT131211531114011140111402101 TTTTTTTTT2132121122300000000111402101 O 212 32102 )(,)1()22(321Rtttt 则则矩阵的初等矩阵的初等(行行)变换变换 向量的线性运算向量的线性运算Ottt 3212 方程间的线性运算方程间的线性运算一个向量可由其他向量线性表示一个向量可由其他向量线性表示这个方程是其他方程的线性组
17、合这个方程是其他方程的线性组合多余方程多余方程解法解法II定义定义3设有两个设有两个 n 维向量组维向量组s21r21,:)(,:)(III 若向量组（若向量组（I）中每个向量都可由向量组（）中每个向量都可由向量组（II）线性表示，）线性表示，则称向量组（则称向量组（I）可由向量组（）可由向量组（II）线性表示线性表示；若向量组（若向量组（I）与向量组（）与向量组（II）可以互相线性表示，则称向）可以互相线性表示，则称向量组（量组（I）与向量组（）与向量组（II）等价等价。向量组的等价关系具有向量组的等价关系具有:自反性、对称性、传递性自反性、对称性、传递性向量组向量组 A与与B 等价等价 方程组方程组 AX=O 与与 BX=O 同解同解3 向量组的等价向量组的等价可由可由n21,eee线线性性表表示示，n21,等等价价。与与证证明明可可以以线线性性表表示示维维向向量量组组设设nnnneeeeeen,.,21212121 证证线线性性表表示示，显显然然可可由由n21n21,eee 又又由由题题设设等等价价。与与n21n21,eee 例例2
