1、 教材：数学物理方法（第二版）姚端正 梁家宝编著任课教师：刘辛2数学物理方法数学物理方法数学物理方法复变函数篇3 数的扩张（完善化）自然数（+负整数）整数（+分数）有理数（+无理数）实数（+虚数）复数4第一章 解析函数复数概念：一对有序的实数（x，y）代数表示z=x+iyx=Real(z)（实部）,y=Imagine(z)（虚部）,i2=-1(虚单位）几何表示 关系 x=r cos y=r sin=Arctan(y/x)特点 无序性 复数无大小（模比较大小）矢量性 复数有方向22yxr5 任一复数z0有无穷多个辐角（相差2k），以argz表示其中在2范围内变换的一个特定值，称之为辐角的主值辐角
2、的主值，通常取 -argz 则 Argz=argz+2k（k=0，1，2，）z处于第一象限：argz=arctan（y/x）；第二象限：argz=arctan（y/x）+；第三象限：argz=arctan（y/x）-；第四象限：argz=arctan（y/x）。6三角表示z=r(cos+i sin)r=|z|（模）,=Arg(z)（辐角）指数表示z=r exp(i)exp(i)=cos+i sin代数表示z=x+iyx=Re(z),y=Im(z)复数的表示78 实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数为共轭复数.,的zz共轭复数记为.,
3、iyxziyxz 则则若若例例.的积与计算共轭复数yixzyixz解解)(yixyix 22)(yix .22yx .22yxzz即：.,的积是实数的积是实数两个共轭复数两个共轭复数zz结论结论：共轭复数9共轭复数的性质共轭复数的性质;)1(2121zzzz ;2121zzzz ;2121zzzz ;)2(zz ;)Im()Re()3(22zzzz ).Im(2),Re(2)4(zizzzzz 以上各式证明略以上各式证明略.10例例1 1证证21(1)zz)()(2121zzzz)(2121zzzz)(2211zzzz.21zz 221(2)zz )()(2121zzzz )(2121zzzz
4、 21212211zzzzzzzz21212221zzzzzz .(2);(1):,2121212121zzzzzzzzzz 证明证明为两个任意复数为两个任意复数设设11 221zz 2221zz )Re(221zz2122212zzzz 2122212zzzz ,)(221zz ,)Re(2 212121zzzzzz 因为因为两边同时开方得两边同时开方得.2121zzzz 1212.zzzz同理可证：12设设z1=x1+iy1和和 z2=x2+iy2是两个复数是两个复数加减运算z1 z2=(x1 x2)+i(y1 y2)复数加减法满足复数加减法满足平行四边形法则平行四边形法则z1+(-z2)
5、-z2222111,iyxziyxz复数的运算交换律、结合律、分配律成立交换律、结合律、分配律成立2121zzzz2121zzzz13乘法运算12121212211212121212()i()cos()isin()expi()z zx xy yx yx y 两个复数相乘两个复数相乘等于它们的模相乘，等于它们的模相乘，幅角相加幅角相加除法运算1121212212222222221121221122i cos()isin()expi()zx xy yx yx yzxyxy 两个复数相除等两个复数相除等于它们的模相除，于它们的模相除，幅角相减幅角相减乘方运算)sin(cos)sin(cosninri
6、rznnninneninisincos)sin(cos当r=1时上式对所有n取整数，恒成立。1415)sin(cos),sin(cosiwirz开方运算)2sin()2cos(1nkninknrzwnnzwnnzw)sin(cos)sin(cosirninn.)2,1,0(2,kknrn)2sin()2cos(1nkninknrzwnn从这个表达式可以看出：1）当k=0,1,2n-1时，得到n个相异的值；当k取其他整数值时，将重复出现上述n个值。因此，一个复数z的n次方根有且仅有n个相异值。2）上述n个方根具有相同的模，而每个相邻值的辐角差为2/n，故在几何上，w的n个值分布在以原点为中心，r
7、1/n为半径的圆内接正n边形的顶点上。16 模有限的复数和复数平面上的有限远点是一一对应的。复变函数理论中无穷大也理解为复数平面上的一个“点”，称为无限远点无限远点，记为，其模大于任何正数，辐角不定。平面上的具体点难以描绘无限远点，为此引入复球面的概念。把一个球放在复平面，使其南极S与复 平面相切于原点，复平面上任一点A 与 球的北极N连线交与球面A点，则复平面 上每一有限远点与球面上的点一一对 应（此对应称测地投影测地投影），A无限远离o 时，A点无限趋近于N，故可将N看做无 限远点的代表点。此球面称为复球面或 黎曼球面，复平面上只有一个无穷远点。AxyoSAN1718复平面上的点集 定义定
8、义由不等式由不等式(为任意的正数为任意的正数)所确定的复平面点集所确定的复平面点集(以后平面点以后平面点集均简称点集集均简称点集)，就是以，就是以z0为中心的为中心的邻域或邻域。邻域或邻域。而称由不等式而称由不等式0zz00zz 所确定的点集为所确定的点集为z0的去心的去心邻域或去心邻域邻域或去心邻域。0z19 定义定义设设D D为点集，为点集，z0为为D D中的一点。如果存在中的一点。如果存在z0的的一个一个邻域，该邻域内的所有点都属于邻域，该邻域内的所有点都属于D D，则则称称z0为为D D的的内点内点；若点若点z0的某一个邻域内的点都不属于的某一个邻域内的点都不属于D D，则称则称点点z
9、0为为D D的的外点外点。若在点若在点z0的任意一个邻域内，既有属的任意一个邻域内，既有属于于D D的点，也有不属于的点，也有不属于D D的点，则称点的点，则称点z0为为D D的的边界点边界点，点集点集D D的全部边界点称为的全部边界点称为D D的边界的边界。内点，外点，边界点内点，外点，边界点 开集开集 注意注意 区域的边界可能是区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所由几条曲线和一些孤立的点所组成的。组成的。定义定义 若点集若点集D D的点皆为内的点皆为内点，则称点，则称D D为为开集开集Dz0开集20 定义定义点集点集D D称为一个区域，如果它满足称为一个区域，如果它满足：(1)(1)
10、属于属于D D的点都是的点都是D D的内点，或的内点，或D D是一个开集是一个开集；(2)(2)D D是连通的，就是说是连通的，就是说D D中任何两点中任何两点z1和和z2都都可以用完全属于可以用完全属于D D的一条折线连接起来的一条折线连接起来。通常称具有性质通常称具有性质(2)(2)的的集为连通的，所以一个区集为连通的，所以一个区域就是一个连通的开集。域就是一个连通的开集。区域区域D D加上它的边界加上它的边界C(p)C(p)称为称为闭区域闭区域或或闭域闭域，记记为为区域Dz1z2przz0D21邻域邻域z复平面上圆复平面上圆 内点的集合内点的集合 内点内点z 和它的邻域都属于和它的邻域都
11、属于 D，则则 z 为为 D 的内点的内点外点外点z 和它的邻域都不属于和它的邻域都不属于 D，则则 z 为为 D 的外点的外点边界点边界点 不是内点，也不是外点的点不是内点，也不是外点的点边界边界全体边界点的集合全体边界点的集合z区域区域内点组成的连通集合内点组成的连通集合闭区域闭区域区域和边界线的全体区域和边界线的全体区域区域rzz0区域概念总结区域概念总结22Rz|x yORx yORRz|x yROrRzr|10Im,|zRzx yR-ROxO y0Imz21argzxO y21曲线曲线 如果曲线如果曲线的实部的实部x(t)x(t)和虚部和虚部y(t)y(t)均为均为t t的连续函数，
12、那么的连续函数，那么曲线曲线就叫就叫连续曲线连续曲线。)t()()()(:tiytxtzz 对于连续曲线，对于连续曲线，则曲线没有重点（纽结），则称则曲线没有重点（纽结），则称为为简单曲线简单曲线。当当 时，则称时，则称简单闭曲线简单闭曲线。)()()(:2121tztztttzz时，当)()(zz 光滑曲线光滑曲线：若连续曲线：若连续曲线在区间上存在连续的在区间上存在连续的 及及 ，且两者不同时，且两者不同时为零，则在曲线上每点均有切线且切线方向是为零，则在曲线上每点均有切线且切线方向是连续变化的。连续变化的。)t()(:tzz)(tx)(ty 简单闭曲线把扩充复平面分为两部分，一简单闭曲线
13、把扩充复平面分为两部分，一部分是不含部分是不含的点集，称为该曲线的的点集，称为该曲线的内部内部；另；另一部分是含一部分是含的点集，称为该曲线的的点集，称为该曲线的外部外部。这这两个区域都以给的简单闭曲线（也称若尔当曲两个区域都以给的简单闭曲线（也称若尔当曲线）作为边界。线）作为边界。曲线内外部区分（若尔当定理）曲线内外部区分（若尔当定理）25 单连通域与多连通域 设设B为复平面上的一个区域，如果在其中作一为复平面上的一个区域，如果在其中作一条简单的闭曲线（自身不相交的闭合曲线），而条简单的闭曲线（自身不相交的闭合曲线），而曲线内部总属于曲线内部总属于B ，则称，则称B为为单连通区域单连通区域，
14、否则，否则称为称为多连通区域多连通区域。BB单连通域多连通域26举例21Re,1)3(2)2(21Re)1(zziizz指出下列不等式中点指出下列不等式中点z在怎样的点集在怎样的点集中变动？这些点集是不是单连通区域？中变动？这些点集是不是单连通区域？是否有界？是否有界？27复变函数的定义 E z=x+iy.,E z,w=u+iv ,w z (),w=f(z).设设是是一一个个复复数数的的集集合合 如如果果有有一一个个确确定定的的法法则则存存在在 按按这这个个法法则则 对对于于集集合合中中的的每每一一个个复复数数就就有有一一个个或或几几个个复复数数与与之之对对应应 那那末末称称复复变变数数是是复
15、复变变数数 的的函函数数 简简称称复复变变函函数数记记作作.)(,是单值的是单值的我们称函数我们称函数那末那末的值的值的一个值对应着一个的一个值对应着一个如果如果zfwz.)(,是多值的是多值的那末我们称函数那末我们称函数的值的值两个以上两个以上的一个值对应着两个或的一个值对应着两个或如果如果zfwz28映射(函数)的概念.,的点集之间的对应关系的点集之间的对应关系上上必须看成是两个复平面必须看成是两个复平面的几何图形表示出来的几何图形表示出来因而无法用同一平面内因而无法用同一平面内之间的对应关系之间的对应关系和和由于它反映了两对变量由于它反映了两对变量对于复变函数对于复变函数yxvu1.映射
16、的定义映射的定义:).()(*)()(,或变换的映射函数值集合平面上的一个点集变到定义集合平面上的一个点集是把在几何上就可以看作那么函数值的平面上的点表示函数而用另一个平面的值平面上的点表示自变量如果用GwGzzfwwwzz29.),(,*)(的原象称为而映象的象称为那么中的点映射成被映射中的点如果wzzwwGzfwzG.)(所构成的映射所构成的映射函数函数这个映射通常简称为由这个映射通常简称为由zfw 30 .)1(构成的映射构成的映射函数函数zw xyouvoiz321 iw321 iz212 iw212 ABCA B C,11wz,22wz.CBAABC 2.两个特殊的映射两个特殊的映射
17、.ibawwibazz 的点的点平面上平面上映射成映射成平面上的点平面上的点将将31xyouvoiz321 iw321 iz212 iw212 ABCA B C,11wz,22wz.CBAABC .,映射映射是关于实轴的一个对称是关于实轴的一个对称不难看出不难看出重叠在一起重叠在一起平面平面平面和平面和如果把如果把zwwz o1w 2w 1z 2z 且是全同图形且是全同图形.32 .)2(2构成的映射构成的映射函数函数zw .1,43,1 1,21,321321 wiwwwzizizz平面上的点平面上的点映射成映射成平面上的点平面上的点显然将显然将xyouvo 1z 2z 2w 3w1w3z3
18、3根据复数的乘法公式可知根据复数的乘法公式可知,.2的辐角增大一倍的辐角增大一倍将将映射映射zzw xyouvo 2 .2 的角形域的角形域平面上与实轴交角为平面上与实轴交角为的角形域映射成的角形域映射成平面上与实轴交角为平面上与实轴交角为将将 wz34 :2数数对应于两个二元实变函对应于两个二元实变函函数函数zw .2,22xyvyxu ,2,2122cxycyxxyz 曲线曲线标轴为渐近线的等轴双标轴为渐近线的等轴双和坐和坐线线平面上的两族分别以直平面上的两族分别以直它把它把(如下页图如下页图).,21cvcuw 平面上的两族平行直线平面上的两族平行直线分别映射成分别映射成35 将第一图中
19、两块阴影部分映射成第二图中同将第一图中两块阴影部分映射成第二图中同一个长方形一个长方形.xyouyo36 :的象的参数方程为的象的参数方程为直线直线 x )(.2,22为参数为参数yyvyu :得得消去参数消去参数 y),(4222uv 以原点为焦点以原点为焦点,开口向左的抛物线开口向左的抛物线.(图中红色曲线图中红色曲线):的象为的象为同理直线同理直线 y),(4222uv 以原点为焦点以原点为焦点,开口向右的开口向右的抛物线抛物线.(图中蓝色曲线图中蓝色曲线)37函数的极限1.函数极限的定义函数极限的定义:.)()(,)0(0 )(,0 ,0 )(0000时的极限时的极限趋向于趋向于当当为
20、为那末称那末称有有时时使得当使得当相应地必有一正数相应地必有一正数对于任意给定的对于任意给定的存在存在如果有一确定的数如果有一确定的数内内的去心邻域的去心邻域定义在定义在设函数设函数zzzfAAzfzzAzzzzfw )(.)(lim 00AzfAzfzzzz 或或记作记作注意注意:.0的方式是任意的的方式是任意的定义中定义中zz 38定理一定理一).0()()(lim (3);)()(lim (2);)()(lim (1),)(lim ,)(lim 00000BBAzgzfABzgzfBAzgzfBzgAzfzzzzzzzzzz那么设与实变函数的极限运算法则类似与实变函数的极限运算法则类似.
21、2.极限计算的定理极限计算的定理39定理二定理二.),(lim,),(lim )(lim,),(),()(000000000000vyxvuyxuAzfiyxzivuAyxivyxuzfyyxxyyxxzz的充要条件是那么设证证,)(lim 0Azfzz 如果如果根据极限的定义根据极限的定义 ,)()(0 00时时当当 iyxiyx ,)()(00 ivuivu(1)必要性必要性.40 ,)()(0 2020时时或当或当 yyxx ,)()(00 vviuu,00 vvuu.),(lim,),(lim 000000vyxvuyxuyyxxyyxx 故故,),(lim,),(lim 000000
22、vyxvuyxuyyxxyyxx 若若 ,)()(0 2020时时那么当那么当 yyxx(2)充分性充分性.,2 ,2 00 vvuu有有41 )()()(00vviuuAzf 00vvuu ,0 0时时故当故当 zz,)(Azf.)(lim 0Azfzz 所以所以证毕证毕说明说明.),(),(,),(),()(的极限问题的极限问题和和函数函数转化为求两个二元实变转化为求两个二元实变的极限问题的极限问题该定理将求复变函数该定理将求复变函数yxvyxuyxivyxuzf 42例例1 1证证(一一).0 )Re()(不存在不存在时的极限时的极限当当证明函数证明函数 zzzzf,iyxz 令令,)(
23、22yxxzf 则则,0),(,),(22 yxvyxxyxu ,趋于零时趋于零时沿直线沿直线当当kxyz 2200lim),(limyxxyxukxyxkxyx 220)(limkxxxx 43)1(lim220kxxx ,112k ,值的变化而变化值的变化而变化随随 k ,),(lim 00不存在不存在所以所以yxuyyxx,0),(lim00 yxvyyxx根据定理二可知根据定理二可知,.)(lim0不存在不存在zfz证证(二二),sin(cos irz 令令rrzf cos)(则则,cos 44 ,arg 趋于零时趋于零时沿不同的射线沿不同的射线当当 zz .)(趋于不同的值趋于不同的
24、值zf ,0arg 趋于零时趋于零时沿正实轴沿正实轴例如例如 zz,1)(zf ,2arg 趋于零时趋于零时沿沿 z,0)(zf .)(lim 0不存在不存在故故zfz45例例2 2证证.0)0()(限不存在限不存在时的极时的极当当证明函数证明函数 zzzzzf,)(,ivuzfiyxz 令令,),(2222yxyxyxu 则则,2),(22yxxyyxv ,趋于零时趋于零时沿直线沿直线当当kxyz 22002lim),(limyxxyyxvkxyxkxyx ,122kk 46 ,值的变化而变化值的变化而变化随随 k ,),(lim 00不存在不存在所以所以yxvyyxx根据定理二可知根据定理
25、二可知,.)(lim0不存在不存在zfz47函数的连续性1.连续的定义连续的定义000 lim()(),().(),().zzf zf zf zzf zBf zB如如果果那那末末我我们们就就说说在在点点处处连连续续 如如果果在在区区域域内内处处处处连连续续我我们们说说在在内内连连续续.,)()(lim )(000CzzfzfzCzfzz 处连续的意义是处连续的意义是上上在曲线在曲线函数函数48定理三定理三.),(),(),(:),(),()(00000处连续处连续在在和和连续的充要条件是连续的充要条件是在在函数函数yxyxvyxuiyxzyxivyxuzf 例如例如,),()ln()(2222
26、yxiyxzf ,)ln(),(22处连续处连续在复平面内除原点外处在复平面内除原点外处yxyxu ,),(22在复平面内处处连续在复平面内处处连续yxyxv .),(处连续处连续在复平面内除原点外处在复平面内除原点外处故故yxf49定理四定理四.)()()(1)000处仍连续处仍连续在在不为零不为零分母在分母在积、商积、商的和、差、的和、差、和和连续的两个函数连续的两个函数在在zzzgzfz.)(,)()(,)(2)0000连续连续处处在在那末复合函数那末复合函数连续连续在在函数函数连续连续在在如果函数如果函数zzgfwzghhfwzzgh 50例例3 3.)(,)(:00也连续也连续在在那
27、末那末连续连续在在如果如果证明证明zzfzzf证证),(),()(yxivyxuzf 设设),(),()(yxivyxuzf 则则,)(0连续连续在在由由zzf,),(),(),(00处都连续处都连续在在和和知知yxyxvyxu ,),(),(),(00处连续处连续也在也在和和于是于是yxyxvyxu .)(0连续连续在在故故zzf511.1.导数的定义导数的定义,)(00的范围的范围不出不出点点点点中的一中的一为为定义于区域定义于区域设函数设函数DzzDzDzfw ,)(.)(00的导数在这个极限值称为可导在那么就称 zzfzzf.)()(limdd)(00000zzfzzfzwzfzzz
28、记作记作 ,)()(lim 000存在存在如果极限如果极限zzfzzfz 52在定义中应注意在定义中应注意:.)0(00的的方方式式是是任任意意的的即即 zzzz.)()(,0000都趋于同一个数都趋于同一个数比值比值时时内以任意方式趋于内以任意方式趋于在区域在区域即即zzfzzfzDzz .)(,)(可导可导在区域内在区域内就称就称我们我们内处处可导内处处可导在区域在区域如果函数如果函数DzfDzf53例例1 .)(2的导数的导数求求zzf zzfzzfzfz )()(lim)(0解解zzzzz 220)(lim)2(lim0zzz .2z zz2)(2 54例例2 是否可导？是否可导？问问
29、yixzf2)(zzfzzfzfzz )()(limlim00解解zyixiyyxxz 2)(2)(lim0yixyixz 2lim0，轴的直线趋向于轴的直线趋向于沿着平行于沿着平行于设设zxzz xyoz0 y55xyoz0 yyixyixz 2lim0,1lim0 xxx，轴的直线趋向于轴的直线趋向于沿着平行于沿着平行于设设zyzz 0 xyixyixz 2lim0,22lim0 yiyiy不存在不存在的导数的导数所以所以.2)(yixzf 562.2.可导与连续可导与连续 函数函数 f(z)在在 z0 处可导则在处可导则在 z0 处一定连续处一定连续,但函但函数数 f(z)在在 z0 处
30、连续不一定在处连续不一定在 z0 处可导处可导.证证 ,0可导的定义可导的定义根据在根据在 z,0,0 ,|0 时时使得当使得当 z,)()()(000 zfzzfzzf有有)()()()(000zfzzfzzfz 令令,0)(lim 0 zz 则则 )()(00zfzzf 因为因为,)()(lim 000zfzzfz 所以所以 .)(0连续连续在在即即zzf证毕证毕 ,)()(0zzzzf 573.3.求导法则求导法则 由于复变函数中导数的定义与一元实变函数由于复变函数中导数的定义与一元实变函数中导数的定义在形式上完全一致中导数的定义在形式上完全一致,并且复变函并且复变函数中的极限运算法则也
31、和实变函数中一样数中的极限运算法则也和实变函数中一样,因因而实变函数中的求导法则都可以不加更改地推而实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广到复变函数中来广到复变函数中来,且证明方法也是相同的且证明方法也是相同的.求导公式与法则求导公式与法则:.,0)()1(为复常数为复常数其中其中cc .,)()2(1为正整数为正整数其中其中nnzznn 58 ).()()()()3(zgzfzgzf ).()()()()()()4(zgzfzgzfzgzf )0)(.)()()()()()()()5(2 zgzgzgzfzgzfzgzf )().()()()6(zgwzgwfzgf 其中其中0)(,)()
32、(,)(1)()7(wwzzfwwzf 且且函数函数两个互为反函数的单值两个互为反函数的单值是是与与其中其中594.4.微分的概念微分的概念 复变函数微分的概念在形式上与一元实变函复变函数微分的概念在形式上与一元实变函数的微分概念完全一致数的微分概念完全一致.)()(,)(,0)(lim ,)()()()(,)(000000线性部分线性部分的的的改变量的改变量是函数是函数小小的高阶无穷的高阶无穷是是式中式中则则可导可导在在设函数设函数wzfwzzfzzzzzzzzfzfzzfwzzfwz .)(,)()(000zzfdwzzfwzzf 记作记作的微分的微分在点在点称为函数称为函数定义定义60.
33、)(,00可微可微在在则称函数则称函数的微分存在的微分存在如果函数在如果函数在zzfz特别地特别地,)(时时当当zzf zwdd zzf )(0,z ,d)()(d00zzfzzfw 0dd)(0zzzwzf 即即 .)(00可微是等价的可微是等价的可导与在可导与在在在函数函数zzzfw .)(,)(内可微内可微区域区域在在则称则称内处处可微内处处可微区域区域在在如果函数如果函数DzfDzf61 解析函数的概念 设函数f(z)在点z0及z0某邻域内处处可导，则称函数f(z)在点z0处解析；又若f(z)在区域B内的每一点解析，则称f(z)在区域B内是解析函数说明2.称函数的不解析点为奇点称函数的
34、不解析点为奇点1.解析与解析与可导的关系可导的关系 函数在某点解析，则必在该点函数在某点解析，则必在该点可导；反之不然可导；反之不然 在区域在区域B内的解析函数必内的解析函数必在在B内可导内可导 例：函数例：函数2()f zz只在只在z=0z=0点可导，因而在复平面上处处不解析点可导，因而在复平面上处处不解析f(z)在点在点z0 无定义或无确定值；无定义或无确定值；f(z)在点在点z0 不连续；不连续；f(z)在点在点z0 不可导；不可导；f(z)在点在点z0 可导可导,但找不到某个邻域在其内处处可导但找不到某个邻域在其内处处可导由解析函数的定义和函数的求导法则可得:（1）如果函数f（z）在区
35、域中解析，则它在这个区域中是连续的。（2）如果f1（z）和f2（z）是区域中的解析函数，则其和、差、积、商（商的情形要求分母在内不为零）也是该区域中的解析函数。（3）如果函数=f（z）在区域内解析，而函数w=g（）在区域G内解析，若对于内的每一点z，函数f（z）的值均属于G，则函数w=gf(z)是区域上复变量z的一个解析函数。（4）如果w=f（z）是区域上的一个解析函数，且在点z0 的邻域中|f（z）|0，则在点w0=f（z）G的邻域中函数f（z）的值定义一个反函数z=（w），它是复变量w的解析函数。有f（z0）=1/（w0）。63可导：可导：对任何方向的对任何方向的，极限都存在并唯一。极限都
36、存在并唯一。xyzzz zz复数复数复函数复函数 z沿任一曲线沿任一曲线逼近零逼近零。柯西柯西黎曼方程黎曼方程0 xx实数x实数：实数：x沿实轴逼近零沿实轴逼近零。因此，复函数的可导性是比实函因此，复函数的可导性是比实函数的可导性条件强得多。数的可导性条件强得多。Q：当：当u，v有偏导时，在什么补充条件下，有偏导时，在什么补充条件下，W=f(z)也有导数？也有导数？设函数设函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域在区域D上有定义，在上有定义，在D内一点内一点z=x+iy可导，有可导，有),(),(),(),()()(,)()()(lim0yxvyyxxvvyxuyyxxuuviuzfz
37、zfyixzzfzzfzzfz其中设)(lim00zfyixviuyx65柯西柯西黎曼方程黎曼方程z沿实轴,y0 xvixuzf)(xvixuzf)(yiviyiuzf)(yuiyvzf)(可导，要求二者相等xvyuyvxuz沿虚轴,x066解析函数的充分条件设函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，若u(x,y)和v(x,y)在B内满足条件内每一点满足在；内的偏导数存在且连续在和RiemannCauchy)2(),(),()1(BByxvyxu那么f(z)在B内解析（证明见教材P15-16）。注意：解析函数的实部和虚部满足C-R条件且都是调和函数（调和函数概念及证明见教材P17）解析函
38、数的实部和虚部通过C-R条件联系着，因此，只要知道解析函数的实部（或虚部），就能求出相应的虚部（或实部）。具体可以用以下两种方法求：（1）已知u求v，可以从全微分出发：Cdyxudxyuvdyxudxyudyyvdxxvdv67（2）已知u求v，还可以由关系 ，对y积分来求：当然也可以由关系 两边对x积分，类似上述过程求v。像解析函数的实部和虚部这样的两个由C-R条件联系着的调和函数u和v，称为共轭调和函数共轭调和函数。yuxdyxuxxvxdyxuxdyyvv)()()(xuyvyuxv68例：试证例：试证 在复平面上在复平面上解析，且解析，且)sin(cos)(yiyezfx)()(zfz
39、f证：证：yeyvyexvyeyuyexuyevyeuxxxxxxcos sinsin cossin cosxvyuyvxu,这四个偏导在复平面处处连续，且：这四个偏导在复平面处处连续，且：所以所以f(z)在复平面内解析，同时在复平面内解析，同时)()(zfzf 69注：最后的求导利用P16结果701.4 初等解析函数 ,.(cossin)zxeeyiy 注注意意没没有有幂幂的的意意义义 只只是是一一个个符符号号代代表表1 1 指数函数指数函数.)sin(cos.的指数函数的指数函数为为称称设设zyiyeeiyxzxz 定义定义;)(,)(zzzeezeb 而且而且平面上处处解析平面上处处解析
40、在在;)(2121zzzzeeec .2)(为周期的周期函数为周期的周期函数是以是以iedz 这里的这里的ex是实是实指数函数指数函数实的正实的正余弦函余弦函数数zxzzaeeeyeykkz()|0,arg()e0 Arg()2,Z 性质：性质：71,sincos yiyeiy 因为因为,sincos yiyeiy 将两式相加与相减将两式相加与相减,得得,2cosiyiyeey .2sinieeyiyiy 现在把余弦函数和正弦函数的定义推广到自变现在把余弦函数和正弦函数的定义推广到自变数取复值的情况数取复值的情况.2 2 三角函数三角函数72.,2cos.,2sin余弦函数余弦函数正弦函数正弦
41、函数定义定义称为称为称为称为izizizizeezieez .cos,sin)1(是偶函数是偶函数是奇函数是奇函数zz 性质性质.cos)cos(,sin)sin(zzzz .cos)2cos(,sin)2sin(zzzz .sincos)3(zizeiz .2)2(为周期为周期以以正弦函数和余弦函数都正弦函数和余弦函数都73,sin,cos.2yyeeyyiyii 当当时时(注意：这是与实变函数完全不同的注意：这是与实变函数完全不同的)sinz的零点的零点(i.e.sinz=0的根的根)为为z=n cosz的零点的零点(i.e.cosz=0的根的根)为为z=(n+1/2)n=0,1,2,n,
42、2sin00izizizizeezeie 21 i zeznnZ(4)(5)sinz,cosz在复数域内均是无界函数在复数域内均是无界函数74.cossintan正切函数正切函数定义定义称为称为zzz ).tan()tan(:tan)1(zzz 是奇函数是奇函数 性质性质.tan)tan(:tan)2(zzz 为周期的周期函数为周期的周期函数是以是以 ,sincoscot zzz 余切函数余切函数,cos1ec zzs 正割函数正割函数.sin1csc zz 余割函数余割函数75 3 双曲函数.,2ch.,2sh双曲余弦函数双曲余弦函数双曲正弦函数双曲正弦函数定义定义称为称为称为称为zzzze
43、ezeez ;sh)sh(:sh)1(zzz 是奇函数是奇函数 性质性质;ch)ch(:chzzz 是偶函数是偶函数 ;2ch,sh)2(为周期的周期函数为周期的周期函数都是以都是以izz ;sh)(ch,ch)(shzzzz 且且平面上处处解析平面上处处解析在在,ch,sh)3(zzz;1shch)4(22 zz.ch)cos(,sh)sin()5(zizziiz 764 对数函数.Ln ,)()0(zwzfwzzew 记为记为称为对数函数称为对数函数的函数的函数满足方程满足方程因此因此LnlnArgwzzizlnarg2zizk i).,2,1,0(k所以所以支支的的数数称为对数函称为对数
44、函其中其中),(Ln)arg(arglnln主值主值zzzizz ).,2,1,0(2lnLn kikzz77.,的一个分支的一个分支称为称为可确定一个单值函数可确定一个单值函数对于每一个固定的对于每一个固定的zkLn;Ln)1(是一个无穷多值的函数是一个无穷多值的函数z性质性质;LnLnLn,LnLnLn,0,0)2(2121212121zzzzzzzzzz 则则设设且且处解析处解析处处实轴外实轴外在平面上除去原点和负在平面上除去原点和负,ln,)3(z.1)(lnzz 对数函数的基本运算性质 下面等式不再成立 而应该是 LnLn)Ln(2121zzzz LnLn)/Ln(2121zzzz
45、,Ln2Lnz2z LnzLn1nznikzizzikzizznn2arg|lnLn ,2arg2|ln2Ln 11n278 多值函数的概念 初等复变多值函数的多值性是由于辐角的多值性引起的，所以我们先研究辐角函数：w=Argz函数有无穷个不同的值：其中argz表示Argz的主值：,Argzw0),(2argArgzZkkzzwzarg 为了研究方便起见，我们把幅角函数在某些区域内分解为一些单值连续函数，每一个单值连续函数称为幅角函数在这区域内的一个单值连续分支。考虑复平面除去负实轴（包括0）而得的区域D。显然，在D内Argz的主值argz：是一个单值连续函数。对一个固定的整数k，也是一个单值
46、连续函数。因此，w=Argz在区域D内可以分解成无穷多个单值连续函数，它们都是w=Argz在D内的单值连续分支。zargkz2arg 我们研究下图的情形：沿负实轴的割线上沿下沿下沿上沿|arg|argzz00z不变。一圈时，绕时，zzzzarg00000z2arg000增加或减少一圈时，绕时，zzzz 0z2arg00增加或减少一圈时，绕时，zzzz 因此，对于幅角函数w=Argz，0和无穷远点是特殊的两点。在复平面上，取连接0和无穷远点的一条无界简单连续曲线L作为割线，得到一个区域D，其边界就是曲线L。则可以将argz分解成一些连续分支。结论 对于幅角函数w=Argz可以分解成无穷个单值连续
47、分支 Argz在C内上任一点（非原点）的各值之间的联系：通过作一条简单连续曲线围绕0或无穷远点，让z从某点按一定方向沿曲线连续变动若干周后，回到该点时，Argz相应地可从幅角函数的一值连续变动到它在预先指定的其它任一值，即从Argz的一个单值连续分支在该点的值，连续变动到预先指定的其它单值连续分支在该点的值。),(arg2arg11zkz 三种对数函数的联系与区别函数单值与多值xlnzLnzln单值多值单值定义域所有正实数所有非零复数所有非零复数注解一个单值时，0 xzxln为zln分支为 对数函数的每个单值连续分支都是解析的，我们也将它的连续分支称为解析分支。对数函数是一个无穷多值解析函数。
48、我们称原点和无穷远点是对数函数的无穷阶支点（对数支点）；它们存在以下特点：1、当z绕它们连续变化一周时，Lnz连续变化到其它值；2、不论如何沿同一方向变化，永远不会回到同一个值。的值。计算例：)32(Ln i，所以有，解：因为23arctan)32arg(13|32|ii)2k(arctan13ln3i)-Ln(223i。),2,1,0()2(arctan13ln2321kki89905 5 幂函数幂函数:,0,的幂函数的幂函数用下列等式定义用下列等式定义对于对于是任意复数是任意复数设设zz 定义定义).0(Ln zezwz .0,0,zz时时补充规定补充规定是正实数时是正实数时当当;,lnL
49、n.,)1(ln的主值的主值称为幂函数称为幂函数时时取主值取主值当当是一个无穷多值函数是一个无穷多值函数一般说来一般说来 zezzzzz 性质性质.)()2(1 zz幂函数的基本性质 3）当a取整数n时，幂函数是一个单值函数。4）当a取1/n（n为整数）时，幂函数是一个n值函数。nzz)2(arg|lnLn111kzizznnneezw).1,2,1,0(|2arg1nkeznkzni91的所有值。及计算ii21.2,1,0)22sin()22cos(122)21(ln2122kkikeeekikiLn由定义：.2,1,0)22()22()2arg1(lnkeeeeikkiiikiiiiiLnii解：本章小结 复数 复变函数 解析函数
