1、专题3函数与导数在近几年的高考命题中，以函数为背景的创新题型时有出现.主要以新定义、新运算或新规定等形式给出问题，通过判断、运算解决新问题.这种题难度一般为中档，多出现在填空题中，考查频率虽然不是很高，但失分率较高.通过研究命题特点及应对策略，可以做到有备无患.题型分析高考展望体验高考高考必会题型高考题型精练栏目索引 体验高考对于任意不相等的实数x1，x2，都有m0；对于任意的a及任意不相等的实数x1，x2，都有n0；对于任意的a，存在不相等的实数x1，x2，使得mn；对于任意的a，存在不相等的实数x1，x2，使得mn.其中的真命题有_.(写出所有真命题的序号)解析解析解析设A(x1，f(x1
2、)，B(x2，f(x2)，C(x1，g(x1)，D(x2，g(x2).对于，从y2x的图象可看出，mkAB0恒成立，故正确；对于，直线CD的斜率可为负，即存在n0的情形，故不正确；对于，由mn得f(x1)f(x2)g(x1)g(x2)，即f(x1)g(x1)f(x2)g(x2)，令h(x)f(x)g(x)2xx2ax，则h(x)2xln 22xa.由h(x)0，得2xln 22xa，(*)结合图象知，当a很小时，方程(*)无解，函数h(x)不一定有极值点，就不一定存在x1，x2使f(x1)g(x1)f(x2)g(x2)，不一定存在x1，x2使得mn，故不正确；解析对于，由mn，得f(x1)f(
3、x2)g(x2)g(x1)，即f(x1)g(x1)f(x2)g(x2)，令F(x)f(x)g(x)2xx2ax，则F(x)2xln 22xa.由F(x)0，得2xln 22xa，结合如图所示图象可知，该方程有解，即F(x)必有极值点，存在x1，x2，使F(x1)F(x2)，使mn，故正确.故正确.2.(2015福建)一个二元码是由0和1组成的数字串x1x2xn(nN*)，其中xk(k1,2，n)称为第k位码元.二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1，或者由1变为0).已知某种二元码x1x2x7的码元满足如下校验方程组：其中运算定义为000,011,101,1
4、10.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k等于_.解析答案5解析解析(1)x4x5x6x711011，(2)x2x3x6x710010；(3)x1x3x5x710111.由(1)(3)知x5，x7有一个错误，(2)中没有错误，x5错误，故k等于5.若点A的“伴随点”是点A，则点A的“伴随点”是点A；单位圆的“伴随曲线”是它自身；若曲线C关于x轴对称，则其“伴随曲线”C关于y轴对称；一条直线的“伴随曲线”是一条直线.其中的真命题是_.(写出所有真命题的序号)解析返回同理可得纵坐标为y，故A(x，y)，错误；解析设单位圆上的点
5、P的坐标为(cos，sin)，则P的“伴随点”的坐标为P(sin，cos)，则有sin2(cos)21，所以P也在单位圆上，即单位圆的“伴随曲线”是它自身，正确；解析反例：例如y1这条直线，则A(0,1)，B(1,1)，C(2,1)，设点P(x，y)在直线l：AxByC0上，P点的“伴随点”为P(x0，y0)，解析所以一条直线的“伴随曲线”不一定是一条直线，错误.综上，真命题是.返回 高考必会题型题型一与新定义有关的创新题型解析答案点评点评点评解答这类题目的关键在于解读新定义，利用定义的规定去判断和求解是这类题目的主要解法.变式训练1若函数yf(x)在定义域内给定区间a，b上存在x0(ax0b
6、)，满足f(x0)，则称函数yf(x)是a，b上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点.例如y|x|是2，2上的“平均值函数”，0就是它的均值点.若函数f(x)x2mx1是1,1上的“平均值函数”，则实数m的取值范围是_.解析答案(0,2)解析解析因为函数f(x)x2mx1是1,1上的“平均值函数”，所以关于x的方程x2mx1 在区间(1,1)内有实数根，即x2mx1m在区间(1,1)内有实数根，即x2mxm10，解得xm1或x1.又1不属于(1,1)，所以xm1必为均值点，即1m11，即0m2，所以实数m的取值范围是(0,2).题型二综合型函数创新题例2以A表示值域为R的函数组成的集合，B表
7、示具有如下性质的函数(x)组成的集合：对于函数(x)，存在一个正数M，使得函数(x)的值域包含于区间M，M.例如，当1(x)x3，2(x)sin x时，1(x)A，2(x)B.现有如下命题：设函数f(x)的定义域为D，则“f(x)A”的充要条件是“bR，aD，f(a)b”；函数f(x)B的充要条件是f(x)有最大值和最小值；若函数f(x)，g(x)的定义域相同，且f(x)A，g(x)B，则f(x)g(x)B；其中的真命题是_.(写出所有真命题的序号)点评解析解析解析因为f(x)A，所以函数f(x)的值域是R，所以满足bR，aD，f(a)b，同时若bR，aD，f(a)b，则说明函数f(x)的值域
8、是R，则f(x)A，所以正确；取M1，则f(x)1,1，但是f(x)没有最大值，所以错误；因为f(x)A，g(x)B且它们的定义域相同(设为m，n)，所以存在区间a，bm，n，点评解析点评使得f(x)在区间a，b上的值域与g(x)的值域相同，所以存在x0a，b，使得f(x0)的值接近无穷，所以f(x)g(x)B，所以正确；因为当x2时，函数yln(x2)的值域是R，所以函数f(x)若有最大值，则a0，此类题目包含了与函数有关的较多的概念、性质及对基本问题的处理方法.解答这类题目，一是要细心，读题看清要求；二是要熟练掌握函数的基本性质及其判断应用的方法，掌握基本函数的图象与性质等.点评变式训练2
9、如果yf(x)的定义域为R，对于定义域内的任意x，存在实数a使得f(xa)f(x)成立，则称此函数具有“P(a)性质”.给出下列命题：函数ysin x具有“P(a)性质”；若奇函数yf(x)具有“P(2)性质”，且f(1)1，则f(2 015)1；若函数yf(x)具有“P(4)性质”，图象关于点(1,0)成中心对称，且在(1,0)上单调递减，则yf(x)在(2，1)上单调递减，在(1,2)上单调递增；若不恒为零的函数yf(x)同时具有“P(0)性质”和“P(3)性质”，则函数yf(x)是周期函数.其中正确的是_.(写出所有正确命题的编号)解析返回解析解析因为sin(x)sin xsin(x)，
10、所以函数ysin x具有“P(a)性质”，所以正确；因为奇函数yf(x)具有“P(2)性质”，所以f(x2)f(x)f(x)，所以f(x4)f(x)，周期为4，因为f(1)1，所以f(2 015)f(3)f(1)1.所以不正确；因为函数yf(x)具有“P(4)性质”，所以f(x4)f(x)，解析所以f(x)的图象关于直线x2对称，即f(2x)f(2x).因为图象关于点(1,0)成中心对称，所以f(2x)f(x)，即f(2x)f(x)，所以得出f(x)f(x)，f(x)为偶函数.因为f(x)的图象关于点(1,0)成中心对称，且在(1,0)上单调递减，所以f(x)的图象也关于点(1,0)成中心对称
11、，且在(2，1)上单调递减，根据偶函数的对称性得出f(x)在(1,2)上单调递增，故正确；因为具有“P(0)性质”和“P(3)性质”，所以f(x)f(x)，f(x3)f(x)f(x)，所以f(x)为偶函数，且周期为3，故正确.返回 高考题型精练解析答案1.若集合A1,2,3，k，B4,7，a4，a23a，其中aN*，kN*，f：xy3x1，xA，yB是从定义域A到值域B的一个函数，则ak_.解析解析由对应法则知14,27,310，k3k1，又aN*，a410，a23a10，解得a2(舍去a5)，所以a416，于是3k116，k5.ak7.7解析答案解析解析因为函数f(x)ln(ext)为“倍缩
12、函数”，所以存在a，bD，因为函数f(x)ln(ext)为增函数，所以a，b是方程 的两个根，2ee0 xxt 解析令 则k2kt0，即方程k2kt0有两个不等的正根.2exk，解析答案8 062两式相加得2S44 031，所以S8 062.f(x)在1,3上的图象是连续不断的；若f(x)在x2处取得最大值1，则f(x)1，x1,3；其中真命题的序号是_.解析但f(x)在1,3上的图象不连续，故不正确；令f(x)x，则f(x)在1,3上具有性质P，解析对于，假设存在x01,3，使得f(x0)1，因为f(x)maxf(2)1，x1,3，所以f(x0)1.又当1x03时，有14x03，由f(x)在
13、1,3上具有性质P，由于f(x0)1，f(4x0)1，与上式矛盾.解析即对x1,3，有f(x)1，故正确.综上，真命题的序号是.5.已知函数f(x)1|2x1|，x0,1.定义：f1(x)f(x)，f2(x)ff1(x)，fn(x)ffn1(x)，n2,3,4，满足fn(x)x的点x0,1称为f(x)的n阶不动点.则f(x)的n阶不动点的个数是_.解析答案2nf1(x)的1阶不动点的个数为2.解析f2(x)的2阶不动点的个数为22，以此类推，f(x)的n阶不动点的个数是2n.6.设x表示不大于x的最大整数，则对任意实数x，y有下列四种说法：xx；2x2x；xyxy；xyxy.其中正确的是_.解
14、析解析特殊值法.令x1.5，1.52，1.51，故错；21.53,21.52，故错；令x1.5，y0.5，xy2，xy101，故错.故正确的是.解析解析解析解析由已知x1f(x1)x2f(x2)x1f(x2)x2f(x1)得(x1x2)f(x1)f(x2)0，所以函数f(x)在R上是增函数.对于，yx2在(，0)上为减函数，在(0，)上为增函数，其不是“H函数”；对于，yex1在R上为增函数，所以其为“H函数”；对于，由于y2cos x0恒成立，所以y2xsin x是增函数，所以其为“H函数”；对于，由于其为偶函数，所以其不可能在R上是增函数，所以不是“H函数”.综上知，是“H函数”的序号为.
15、解析答案作出函数f(x)的图象，如图所示.f(x)m(mR)恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3.不妨设x1x20，解析答案(1,2)即3a3b4a4，又0ba1，所以3a3ba1，得1a2.解析答案10.设f(x)是定义在(0，)上的函数，且f(x)0，对任意a0，b0，若经过点(a，f(a)，(b，f(b)的直线与x轴的交点为(c,0)，则称c为a，b关于函数f(x)的平均数，记为Mf(a，b).例如，当f(x)1(x0)时，可得Mf(a，b)c ，即Mf(a，b)为a，b的算术平均数.(1)当f(x)_(x0)时，Mf(a，b)为a，b的几何平均数；解析解析设A(a，f(a)，B(b
16、，f(b)，C(c,0)，则三点共线.故可以选择f(x)x(x0).解析答案x解析解析解析据已知定义，所谓的“稳定区间”即函数在区间a，b内的定义域与值域相等.问题可转化为已知函数yf(x)的图象与直线yx是否相交，若相交则两交点所在区间即为函数的“稳定区间”.数形结合依次判断，均符合条件，而不符合条件.综上可知，均为存在“稳定区间”的函数.解析答案因为x(0,1，所以ln x0，即F(x)0在(0,1上恒成立，f(x)在(0,1上不是“非完美增函数”.解析答案(2)若g(x)在1，)上是“非完美增函数”，求实数a的取值范围.解析答案解析答案所以h(x)在1，)上单调递减，h(x)maxh(1
17、)0，所以a0.若G(x)在1，)上单调递减，即4axaxln x0在1，)上恒成立.令t(x)4axaxln x，x1，)，因为t(x)aln x，由知a0，所以t(x)0恒成立，所以t(x)4axaxln x在1，)上单调递减，则t(x)maxt(1)a4.要使t(x)4axaxln x0在1，)上恒成立，综合知，实数a的取值范围为0,4.解析答案(1)判断yf(x)的图象是否关于点(a，1)成中心对称；由定义可知yf(x)的图象关于点(a，1)成中心对称.解析答案所以f(x)在(，a)上是增函数.可知f(x)在a2，a1上是增函数，当xa2，a1时，f(x)f(a2)，f(a1)，解析答
18、案(3)对于给定的xiA，设计构造过程：x2f(x1)，x3f(x2)，xn1f(xn).如果xiA(i2,3,4，)，构造过程将继续下去；如果xi A，构造过程将停止.若对任意xiA，构造过程可以无限进行下去，求a的值.解解因为构造过程可以无限进行下去，即方程(a1)xa2a1无解或有唯一解xa，解析答案14.已知函数f(x)axln x，g(x)ex.(1)当a0时，求f(x)的单调区间；解解f(x)的定义域是(0，)，当a0时，f(x)0，f(x)在(0，)上单调递增；综上，当a0时，f(x)在(0，)上单调递增；解析答案故h(x)在(0，)上单调递减.h(x)h(0)0，故m0.解析答
19、案(3)定义：对于函数yf(x)和yg(x)在其公共定义域内的任意实数x0，称|f(x0)g(x0)|的值为两函数在x0处的差值.证明：当a0时，函数yf(x)和yg(x)在其公共定义域内的所有差值都大于2.返回解析答案证明证明当a0时，f(x)ln x，f(x)与g(x)的公共定义域为(0，)，|f(x)g(x)|ln xex|exln xexx(ln xx).设m(x)exx0，则m(x)ex10，x(0，)，m(x)在(0，)上单调递增，m(x)m(0)1.当x(0,1)时，n(x)0，n(x)单调递增，当x(1，)时，n(x)0，n(x)单调递减，所以x1为n(x)的极大值点，即n(x)n(1)1，故|f(x)g(x)|m(x)n(x)1(1)2.即公共定义域内任一点差值都大于2.返回
