1、 规律探索型问题规律探索型问题:就是对材料信息的加工就是对材料信息的加工提炼和运用，从而得出数学概念和规律，或者将提炼和运用，从而得出数学概念和规律，或者将实际问题抽象为数学问题，建立数学模型的一类实际问题抽象为数学问题，建立数学模型的一类问题。问题。对规律归纳和发现能反映出一个人的应用数对规律归纳和发现能反映出一个人的应用数学、发展数学和进行数学创新的意识和能力。求学、发展数学和进行数学创新的意识和能力。求解规律探索型问题要求学生有敏锐的观察力，能解规律探索型问题要求学生有敏锐的观察力，能从特殊的情况出发，经过周密的思考，全面的分从特殊的情况出发，经过周密的思考，全面的分析，去推得一般的结论
2、。这类试题意在检测解题析，去推得一般的结论。这类试题意在检测解题者驾驭数学的创新意识和才能，因此，成为了这者驾驭数学的创新意识和才能，因此，成为了这几年的热点内容。几年的热点内容。一、新课程标准的要求一、新课程标准的要求 新课程标准指出：课程内容的学习，强调学新课程标准指出：课程内容的学习，强调学生的数学活动，发展学生的数感、符号感、空间生的数学活动，发展学生的数感、符号感、空间观念、统计观念，以及应用意识与推理能力。观念、统计观念，以及应用意识与推理能力。推理能力推理能力主要表现在：能通过背景材料，进行主要表现在：能通过背景材料，进行观察、比较、实验、归纳、类比、抽象和推理等观察、比较、实验
3、、归纳、类比、抽象和推理等获得数学猜想，探索数、形及实际问题中蕴含的获得数学猜想，探索数、形及实际问题中蕴含的关系和规律，增强应用数学的意识，提高运用代关系和规律，增强应用数学的意识，提高运用代数知识与方法解决问题的能力。数知识与方法解决问题的能力。在新课程标准在新课程标准“教学建议教学建议”中还指出：对规律探索型中还指出：对规律探索型问题的教学应该采用问题的教学应该采用“问题情境问题情境建立模型建立模型解解释应用和拓展释应用和拓展”的模式展开。以问题引导思维，内容的模式展开。以问题引导思维，内容的呈现突出以下几个特点：的呈现突出以下几个特点：1.通过具有吸引力的探索活动和现实生活中的问题，通
4、过具有吸引力的探索活动和现实生活中的问题，使学生初步体会数学建模的思想，激发好奇心和主动使学生初步体会数学建模的思想，激发好奇心和主动学习的欲望。学习的欲望。2.把知识的学习置于具体的情境中，通过丰富的例子把知识的学习置于具体的情境中，通过丰富的例子使学生经历从自然语言到符号语言和图表语言的双向使学生经历从自然语言到符号语言和图表语言的双向交流。关注学生能否用不同的语言表达、交流自己的交流。关注学生能否用不同的语言表达、交流自己的想法。想法。3.根据根据“回想回想联想联想猜想猜想”的思维过程，对难的思维过程，对难点进行层层铺垫，使学生经历探索过程与思维升华的点进行层层铺垫，使学生经历探索过程与
5、思维升华的过程，感受自我奋斗后成功的喜悦。过程，感受自我奋斗后成功的喜悦。数学课程标准（数学课程标准（P82）例）例3完成下列计算：完成下列计算：1+3=？1+3+5=？1+3+5+7=？1+3+5+7+9=？根据计算结果，探索规律。根据计算结果，探索规律。教学中，首先应让学生思考：从上面这些算式教学中，首先应让学生思考：从上面这些算式中你能发现什么？让学生经历中你能发现什么？让学生经历观察观察（每个算式（每个算式和结果的特点）、和结果的特点）、比较比较（不同算式之间的异同）（不同算式之间的异同）归纳归纳（可能具有的规律）、（可能具有的规律）、提出猜想提出猜想的过程。的过程。教学中，不仅注重学
6、生是否找到了规律，更应教学中，不仅注重学生是否找到了规律，更应关注学生是否进行了思考。关注学生是否进行了思考。如果学生一时未能发现其中的规律，教师可以鼓励学生如果学生一时未能发现其中的规律，教师可以鼓励学生相互合作交流，进一步探索，教师也可以提供一些帮助。相互合作交流，进一步探索，教师也可以提供一些帮助。如列出如下点阵，以使学生从数与形的联系中发现规律：如列出如下点阵，以使学生从数与形的联系中发现规律：1+3=4=2 1+3+5=9=3 1+3+5+7=16=4 1+3+5+7+9=25=5进而鼓励学生推测出进而鼓励学生推测出1+3+5+7+9+19=10 此后教师此后教师还可以根据学生的实际
7、情况，把这个问题进一步推广到还可以根据学生的实际情况，把这个问题进一步推广到一半的情形，推出一半的情形，推出1+3+5+7+9+（2n+1）=(n+1)，这个一般性的结论。在这样的学习活动中，学生不仅能这个一般性的结论。在这样的学习活动中，学生不仅能主动地获取知识，而且能不断丰富数学活动的经验，学主动地获取知识，而且能不断丰富数学活动的经验，学会探索，学会学习。会探索，学会学习。222222二、新教材中例题二、新教材中例题七年级（上）七年级（上）“第三章第三章 字母表示数字母表示数”中有这样几个例题：中有这样几个例题：一首永远唱不完的儿歌，你能用字母表示这首儿歌吗？一首永远唱不完的儿歌，你能用
8、字母表示这首儿歌吗？（P114）1 只青蛙只青蛙1张嘴，张嘴，2 只眼睛，只眼睛，4 条腿，条腿，1 声扑通跳下水；声扑通跳下水；2只青蛙只青蛙2 张嘴，张嘴，4 只眼睛，只眼睛，8 条腿，条腿，2 声扑通跳下水；声扑通跳下水；3只青蛙只青蛙3 张嘴，张嘴，6 只眼睛，只眼睛，12 条腿，条腿，3 声扑通跳下声扑通跳下水；水；_ 只青蛙只青蛙_ 张嘴，张嘴，_只眼睛，只眼睛，_ 条腿，条腿，_ 声扑通跳下水声扑通跳下水说明：以一首富有童趣的儿歌，使学生体会到现实生活说明：以一首富有童趣的儿歌，使学生体会到现实生活的规律性，以及用数学式子表示现实规律的可行性与应的规律性，以及用数学式子表示现实规
9、律的可行性与应用性。新教材充分渗透用性。新教材充分渗透“利用环境学习利用环境学习”的设计思想。的设计思想。1.如图，用火柴棒摆如图，用火柴棒摆X个正方形需个正方形需 根根火柴棒。火柴棒。（P90；P108）说明：由学生比较熟悉的正方形开始，鼓说明：由学生比较熟悉的正方形开始，鼓励学生自主探索，合作交流，经历观察、励学生自主探索，合作交流，经历观察、比较、归纳、提出猜想的过程。比较、归纳、提出猜想的过程。课本上给出几种解法，如下：课本上给出几种解法，如下：3、按照下图的摆法摆放餐桌和椅子、按照下图的摆法摆放餐桌和椅子（P112）完成表格完成表格：桌子张数桌子张数123N可坐人数可坐人数 按照下图
10、的摆法摆放餐桌和椅子按照下图的摆法摆放餐桌和椅子 完成表格：完成表格：桌子张数桌子张数123N可坐人数可坐人数 说明：新颖的问题可以立刻吸引学生的注意力，我们说明：新颖的问题可以立刻吸引学生的注意力，我们需要的是等待学生讨论后的完美答案。因此要一步步需要的是等待学生讨论后的完美答案。因此要一步步加大题目的开放性，不仅在探索过程中培养了学生的加大题目的开放性，不仅在探索过程中培养了学生的创造能力，也使之对数学的生活化和生活的数学化都创造能力，也使之对数学的生活化和生活的数学化都有较好的体验。有较好的体验。探索问题。探索问题。若你是一家餐厅的大堂经理，由你负责在一个宽若你是一家餐厅的大堂经理，由你
11、负责在一个宽敞明亮的大厅里组织一次规模盛大的西式冷餐会，你敞明亮的大厅里组织一次规模盛大的西式冷餐会，你会选择哪种餐桌的摆法？会选择哪种餐桌的摆法？再例如课本上还有很多例题和习题：再例如课本上还有很多例题和习题：1、在这个日历表中，套色方框中的在这个日历表中，套色方框中的9个数，问个数，问 （1）日历表中，套色方框中的）日历表中，套色方框中的9个数之和与该方个数之和与该方 框中间的数额有什么关系？框中间的数额有什么关系？（2）这个关系对其他这样的方框成立吗？你能用）这个关系对其他这样的方框成立吗？你能用代数式表示这个关系吗？代数式表示这个关系吗？（3）（）（4）略）略2、用火柴棒搭三角形、用火
12、柴棒搭三角形（P112练习）完成下表：完成下表：三角形的个数三角形的个数123N火柴棒的个数火柴棒的个数 3、用火柴棒搭下面的图形、用火柴棒搭下面的图形（P117练习）完成下表：完成下表：四边形的个数四边形的个数123N火柴棒的个数火柴棒的个数 4、用棋子摆出下列一组图形、用棋子摆出下列一组图形（P118练习）完成下表：完成下表：5、下面是用棋子摆成的小屋子、下面是用棋子摆成的小屋子（七下P9）图形编号图形编号123N棋子个数棋子个数 完成下表：完成下表：图形编号图形编号123N棋子个数棋子个数 ()()()()01222332221233ababababaabbabaa babb+=+=+=
13、+=+()4432234464abaa ba babb+=+56()()abab+=+=6、杨辉三角、杨辉三角（P35）7、观察下列图形回答问题：、观察下列图形回答问题：（九下P77练习3）（1）如上图，第）如上图，第n个图形中有多少个小正方形？个图形中有多少个小正方形？你是如何计算的？你是如何计算的？（2）求）求1+3，1+3+5，1+3+5+7，1+3+5+7+9，1+3+5+7+9+（2n+1）.8、如下图、如下图（1）完成下表：）完成下表：边上圆圈数边上圆圈数12345小圆圈总数小圆圈总数 （2）如果用）如果用n表示等边三角形边上的小圆圈数，表示等边三角形边上的小圆圈数，m表示这个三角
14、形中小圆圈总数，那么表示这个三角形中小圆圈总数，那么m和和n的关的关系是什么？系是什么？m=1+2+3+n=n(n+1)/29、如下图、如下图（1）完成下表：）完成下表：边上圆圈数边上圆圈数12345小圆圈总数小圆圈总数 （2）如果用）如果用n表示正六边形边上的小圆圈数，表示正六边形边上的小圆圈数，m表示这个正六边形中小圆圈总数，那么表示这个正六边形中小圆圈总数，那么m和和n的关的关系是什么？系是什么？m=1+6+12+18+6(n-1)=1+6(1+2+3+(n-1)=1+3n(n-1)说明：说明：由学生比较熟悉的图形开始，鼓由学生比较熟悉的图形开始，鼓励学生自主探索，合作交流，经历观察、励
15、学生自主探索，合作交流，经历观察、比较、归纳、提出猜想的过程。以上的三比较、归纳、提出猜想的过程。以上的三组题目逐层递进。根据图形的变化，帮助组题目逐层递进。根据图形的变化，帮助学生了解探索规律过程中变量和常量的不学生了解探索规律过程中变量和常量的不同作用，可以使学生初尝成功的喜悦。通同作用，可以使学生初尝成功的喜悦。通过探索变量和常量的关系，初步建立这一过探索变量和常量的关系，初步建立这一类有规律递增问题的数学模型。类有规律递增问题的数学模型。三、中考试题类型三、中考试题类型（一）数式规律探究（一）数式规律探究（二）图形规律探索（二）图形规律探索（三）猜想数值结果（三）猜想数值结果（四）阅读
16、理解型探究规律（四）阅读理解型探究规律（一）数式规律探究（一）数式规律探究 通常给定一些数字、代数式、等式或不等式，然后让你探通常给定一些数字、代数式、等式或不等式，然后让你探索其中蕴含的规律索其中蕴含的规律。例如：例如：1、(2003舟山舟山)古希腊数学家把数古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，叫做三角形数，它有一定的规律性，则第叫做三角形数，它有一定的规律性，则第24个三角形数与第个三角形数与第22个三角个三角形数的差为形数的差为 .2、已知：、已知：这一类题的一般解法是先写出数式的基本结构，然后通这一类题的一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比过横比（或纵比或纵比（找出各
17、部分的找出各部分的特征，改写成要求的格式。特征，改写成要求的格式。（a，b为正整数为正整数），则），则a+b=_.（二）图形规律探索（二）图形规律探索根据一组相关图形的变化情况，从中总结出图形的变化根据一组相关图形的变化情况，从中总结出图形的变化所反映的规律。其中以图形为载体的数字规律最为常见。所反映的规律。其中以图形为载体的数字规律最为常见。例如：例如：1.(2005滨州滨州)下图是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子下图是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子 观察图形的变化规律，写出第观察图形的变化规律，写出第n个小房子用了个小房子用了 块石子块石子 2.(2004河北河北)如图：是用火柴棍摆出的
18、一系列三角形图案，按这如图：是用火柴棍摆出的一系列三角形图案，按这种方式摆下去，当每边上摆种方式摆下去，当每边上摆20（即（即20）根时，需要的火柴棍总）根时，需要的火柴棍总数为数为 根。根。解决这种图形规律探索的问题，需要把图形中的有关解决这种图形规律探索的问题，需要把图形中的有关数量关系表达出来，在对所列关系进行对照，仿照数数量关系表达出来，在对所列关系进行对照，仿照数式规律探索的方法得到最终的结论。式规律探索的方法得到最终的结论。（三）猜想数值结果（三）猜想数值结果当一些条件改变的前提下，结果的数值不变，或者其变当一些条件改变的前提下，结果的数值不变，或者其变化规律呈现出某种特征时，可以
19、猜想在新的条件下，数化规律呈现出某种特征时，可以猜想在新的条件下，数值仍然不变，或者仍然按照原来的特征变化，依此猜想值仍然不变，或者仍然按照原来的特征变化，依此猜想到结果的数值。到结果的数值。例如：例如：1、如图，在梯形、如图，在梯形ABCD中中ABCD,AB=b,CD=a,E为为AD边上的边上的一点，一点，EFAB，且，且EF交交BC于点于点F，某同学在研究这一问题时，某同学在研究这一问题时，发现如下事实：发现如下事实：(1)当当DE/AE=1时，有时，有EF=(a+b)/2；(2)当当DE/AE=2时，有时，有EF=(a+2b)/3；(3)当当DE/AE=3时，有时，有EF=(a+3b)/
20、4；当当DE/AE=k时，参照上述结论，请你猜想用时，参照上述结论，请你猜想用k表示表示EF的一般结论，并的一般结论，并证明之证明之（四）阅读理解型探究规律（四）阅读理解型探究规律 阅读理解类型的问题和一般试题相比较，不仅考察学生对阅读理解类型的问题和一般试题相比较，不仅考察学生对数学知识的理解水平，而且考察学生的阅读能力，因而试数学知识的理解水平，而且考察学生的阅读能力，因而试题的篇幅较长，信息量较大。题的篇幅较长，信息量较大。例如：例如：1、阅读下列材料，然后回答下面的问题；阅读下列材料，然后回答下面的问题；33222332222222(22)22(21)2222,223333212133
21、333(33)33(31)3333,33888831318-+-+=+=+-+-+=+=+-验证验证（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想 的变形的变形结果并进行验证；结果并进行验证；4415（2）针对上述各式反映的规律，写出用）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为任意的自然数，且为任意的自然数，且n2）表示等式，并给出证明表示等式，并给出证明。2、(2003青岛青岛)在抗击在抗击“非典非典”的斗争中，某市根据疫情的发展状况，决定全市的斗争中，某市根据疫情的发展状况，决定全市中、小学放假两周，以切实保障广大中、小学生的安全腾飞中学初三
22、（中、小学放假两周，以切实保障广大中、小学生的安全腾飞中学初三（1）班的全体同学在自主完成学习任务的同时，不忘关心同学们的安危，两周内全班的全体同学在自主完成学习任务的同时，不忘关心同学们的安危，两周内全班每两个同学都通过一次电话，互相勉励，共同提高如果该班有班每两个同学都通过一次电话，互相勉励，共同提高如果该班有56名同学，名同学，那么同学们之间共通了多少次电话？为解决该问题，我们可把该班人数那么同学们之间共通了多少次电话？为解决该问题，我们可把该班人数n与通与通电话次数电话次数s间的关系用下列模型来表示：间的关系用下列模型来表示：(1)若把若把n作为点的横坐标，作为点的横坐标，s作为纵坐标
23、，根据上作为纵坐标，根据上述模型中的数据，在给出的平面直角坐标系中，描述模型中的数据，在给出的平面直角坐标系中，描出相应各点，并用平滑的曲线连接起来；出相应各点，并用平滑的曲线连接起来；(2)根据根据坐标系中各点的排列规律，猜一猜上述各点会不会坐标系中各点的排列规律，猜一猜上述各点会不会在某一函数的图像上？如果在，求出该函数的解析在某一函数的图像上？如果在，求出该函数的解析式；式；(3)根据根据(2)中得出的函数关系式，求该班中得出的函数关系式，求该班56名名同学间共通了多少次电话同学间共通了多少次电话 解答这类问题时，首先要消解答这类问题时，首先要消除恐惧心理，其次必须仔细地除恐惧心理，其次
24、必须仔细地阅读给定的材料，深刻理解其阅读给定的材料，深刻理解其含义，再进行分析归纳，弄清含义，再进行分析归纳，弄清材料中揭示了什么数学规律，材料中揭示了什么数学规律，然后展开联想，将获得的新信然后展开联想，将获得的新信息、新知识进行迁移，进而解息、新知识进行迁移，进而解决题目中提出的问题。决题目中提出的问题。在学法指导上应注意以下几个方面在学法指导上应注意以下几个方面：1.鼓励学生自主探索和合作交流。引导学生鼓励学生自主探索和合作交流。引导学生自主地从事观察、实验、猜测、验证、推理自主地从事观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动，使学生形成对数学知识与交流等数学活动，使学生形成对数学知识和有效的学习策略。和有效的学习策略。2.鼓励与提倡解决问题的多样性，引导学生鼓励与提倡解决问题的多样性，引导学生在与他人交流中去选择合适的策略，丰富自在与他人交流中去选择合适的策略，丰富自己的思维方式，获得成功的体验和不同的发己的思维方式，获得成功的体验和不同的发展。展。3.引导学生体会数学知识之间的联系，感受引导学生体会数学知识之间的联系，感受数学的整体性。不断积累解决问题的策略，数学的整体性。不断积累解决问题的策略，提高解决问题的能力。提高解决问题的能力。
