1、6.2.1、可分离变量的微分方程、可分离变量的微分方程)()(ygxhdxdy可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程.5422yxdxdy 例如例如,2254dxxdyy 解法解法设设函函数数)(xh和和)(yg是是连连续续的的,dxxhdyyg)()(1设设函函数数)(yG和和)(xH是是依依次次为为)(1yg和和)(xh的的原原函函数数,CxHyG)()(为微分方程的解为微分方程的解.分离变量法分离变量法例例1 1 求解微分方程求解微分方程.2的通解的通解xydxdy,2xdxydy 两端积分两端积分,2 xdxydy12lnCxy.2为所求通解为所求通解xcey 可分离变量的微分方程典
2、型例题可分离变量的微分方程典型例题)(1212CxCxeCCeey解解:设设 ,将原方程将原方程分离变量分离变量,得得:0y:解 原方程化为两端积分两端积分dxxydy)1(1221arctan(1).2yxC为所求通解22(1)0dyxyxydx例2 求方程的通解.2(1)1dyx dxy小结分离变量法步骤小结分离变量法步骤:1.分离变量分离变量;2.两端积分两端积分-隐式通解隐式通解.注意注意:通解的形式尽量是最简形式通解的形式尽量是最简形式(如取如取C为特殊形式为特殊形式,可简化通解可简化通解).0|.322的特解初始条件满足求方程例xyxdxdyxxydxdy:解 原方程化为两端积分两
3、端积分dxxxydy211.)1()1(ln|1|ln21|1|ln2212为所求通解xCyCxy21|0,3xyC代入得221(-1)(1)3yx故得特解为211dyxdxyx 6.2.2.齐次方程齐次方程:)(xyfdxdy 形如形如的微分方程称为的微分方程称为齐次方程齐次方程.1.1.定义定义22:(2)30 xydxxydy如222()2233()ydyyxxydxxyx可化为2.解法解法,xyu 作变量代换作变量代换,xuy 即即,:dxduxudxdy可得.)(xuufdxdu 即即可分离变量的方程可分离变量的方程)()(ufdxduxuxyfdxdy可化为则方程,ln)(1xCu
4、ufdu 得得,)(uCex 即即 ）（uufduu)()(,代入代入将将xyu ,)(xyCex 得通解得通解小结小结:齐次方程通过齐次方程通过变量替换变量替换可化为可可化为可分离变量方程分离变量方程.例例 1 1 求解微分方程求解微分方程.0cos)cos(dyxyxdxxyyx，令令xyu dxduxudxdy则coscosyyxdyxydxxx原方程解解cos1cosduuuuxdxucos1cosyyxxyx化为化为,cosxdxudu即,lnsin:,Cxu得两边积分.lnsinCxxy微分方程的解为微分方程的解为uuudxduxucos1cos 2222yxyxxyydxdy ,
5、1222 xyxyxyxy,xyu 令令,1222uuuuuxu .2222xyydyyxyxdx 例例 2 2 求解微分方程求解微分方程解解dxduxudxdy则,lnlnln21)2ln(23)1ln(Cxuuu .)2(123Cxuuu 微分方程的解为微分方程的解为.)2()(32xyCyxy 311 11,2221dxduuuux6.2.3可化为齐次方程的方程可化为齐次方程的方程.)(32的通解求例yxdxdy解解,uyx 令令1 dxdudxdy代入原方程得代入原方程得21duudx,arctanCxu 解得解得.)0()(.1可化为可分离变量方程变量替换的方程作形如cbyaxubc
6、byaxfdxdy得得代回代回,yxu ,)arctan(Cxyx 原方程的通解为原方程的通解为.)tan(xCxy 的微分方程形如)(.2111cybxacbyaxfdxdy,01时时当当 cc为齐次方程为齐次方程.，令令kYyhXx ,（其中（其中h和和k是待定的常数）是待定的常数）dYdydXdx ,)(11111ckbhaYbXacbkahbYaXfdXdY 解法解法h和和k可由方程组可由方程组确定,0,0111ckbhacbkah2210,cc2 当时 ,0,0111ckbhacbkah,011baba列式若上述方程组的系数行由此可定出由此可定出h,k,即原微分方程可化为齐次方程即原
7、微分方程可化为齐次方程 求解求解.)(11YbXabYaXfdXdY 得通解，代回得通解，代回 ，kyYhxX,1110,0,axbyca xb yc110,abab 若上述方程组的系数行列式作变量替换，令作变量替换，令z=ax+by,就化成可分离变量的方程就化成可分离变量的方程则方程组中则方程组中x,y的系数对应成比例，设比例系数的系数对应成比例，设比例系数为为，此时方程可写成此时方程可写成1()dyaxbycfdxaxbyc1dzzcabfdxzc.314的通解的通解求求例例 yxyxdxdy解解,021111 ,0301khkh方程组方程组,2,1 kh.2,1 YyXx令令,YXYXd
8、XdY 代入原方程得代入原方程得，令令XYu ,11uudXduXu 分离变量法得分离变量法得,)12(22cuuX ,222CXXYY 即即代回，代回，将将2,1 yYxX得原方程的通解得原方程的通解,)1()2)(1(2)2(22Cxyxy .622122Cyxyxyx 或或方程变为方程变为)()(xQyxPdxdy 1.一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式的标准形式:,0)(xQ当当上方程称为上方程称为齐次的齐次的.上方程称为上方程称为非齐次的非齐次的.,0)(xQ当当6.2.4、一阶线性微分方程、一阶线性微分方程例如例如,2xydxdy ,sin2ttxdtdx ,32 xyyy
9、,1cos yy线性的线性的;非线性的非线性的.0)(yxPdxdy,)(dxxPydy ,)(dxxPydy,ln)(lnCdxxPy 齐次方程的通解为齐次方程的通解为.)(dxxPCey1.线性齐次方程线性齐次方程一阶线性微分方程的一阶线性微分方程的解法解法(使用分离变量法使用分离变量法)2.线性非齐次方程线性非齐次方程).()(xQyxPdxdy 讨论讨论,)()(dxxPyxQydy 两边积分两边积分,)()(ln dxxPdxyxQy),()(xvdxyxQ为为设设,)()(ln dxxPxvy.)()(dxxPxveey即即非齐次方程通解形式非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比与齐
10、次方程通解相比:()()v xCu xe常数变易法常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.实质实质:未知函数的变量代换未知函数的变量代换.),()(xyxu原未知函数原未知函数新未知函数新未知函数作变换作变换 dxxPexuy)()()()()()(),P x dxP x dxyu x eu xP x e代代入入原原方方程程得得和和将将yy,)()()(CdxexQxudxxP ),()()(xQexudxxP 积分得积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为一阶线性非齐次微分方程的通解为:dxxPdxxPeCdxexQy)()()(dxexQ
11、eCedxxPdxxPdxxP )()()()(对应齐次对应齐次方程通解方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解.sin1的通解的通解求方程求方程xxyxy ,1)(xxP,sin)(xxxQ Cdxexxedxxdxx11sin Cdxexxexxlnlnsin解解:这是一阶线性微分方程这是一阶线性微分方程例例1 1)(,)()(CdxexQeydxxPdxxP可得其通解为由公式 Cxdxxsin1 .cos1Cxx 例例2 2 如图所示，平行与如图所示，平行与 轴的动直线被曲轴的动直线被曲 线线 与与 截下的线段截下的线段PQ之之长数值上等于阴影部分的面积长数值上等于阴影部分的面积,求曲线求曲
12、线 .y)(xfy )0(3 xxy)(xf,)()(230yxdxxfx xyxydx03,两边求导得两边求导得,32xyy 解解解此微分方程解此微分方程xyoxPQ3xy )(xfy dxexCeydxdx23,6632 xxCex,0|0 xy由由,6 C得得所求曲线为所求曲线为).222(32 xxeyx23xyy 伯努利伯努利(Bernoulli)方程的标准形式方程的标准形式nyxQyxPdxdy)()()1,0(n方程为方程为线性微分方程线性微分方程.方程为方程为非线性微分方程非线性微分方程.6.2.5、伯努利方程、伯努利方程时时，当当1,0 n时时，当当1,0 n解法解法:需经过
13、变量代换化为线性微分方程需经过变量代换化为线性微分方程.,1 nyz 令令，则则dxdyyndxdzn )1(),()(1xQyxPdxdyynn ),()1()()1(xQnzxPndxdz 求出通解后，将求出通解后，将 代入即得代入即得nyz 1，得，得两端除以两端除以ny代入上式代入上式.)1)()()1()()1(1 CdxenxQezydxxPndxxPnn.42的通解的通解求方程求方程yxyxdxdy ,412xyxdxdyy ,yz 令令,422xzxdxdz ,22 Cxxz解得解得.224 Cxxy即即解解，得，得两端除以两端除以ny例例 3例例4 4 用适当的变量代换解下列
14、微分方程用适当的变量代换解下列微分方程:;22.122xxexyyy 解解,2112 yxexyyx,2)1(1yyz 令令,2dxdyydxdz 则则,22xxexzdxdz 222Cdxexeezxdxxxdx 所求通解为所求通解为).2(222Cxeyx ;)(sin1.22xyxyxdxdy 解解,xyz 令令,dxdyxydxdz 则则,sin1)(sin1(22zxyxyxxydxdz ,42sin2Cxzz 分离变量法得分离变量法得,代回代回将将xyz 所求通解为所求通解为.4)2sin(2Cxxyxy ;1.3yxdxdy 解解,uyx 令令,1 dxdudxdy则则代入原式代
15、入原式,11udxdu 分离变量法得分离变量法得,)1ln(Cxuu ,代回代回将将yxu 所求通解为所求通解为,)1ln(Cyxy 11 yeCxy或或另解另解.yxdydx 方程变形为方程变形为6.2.6.全微分方程及其求法全微分方程及其求法1.1.定义定义:0),(),(dyyxQdxyxP则称则称dyyxQdxyxPyxdu),(),(),(若若例如例如,0 ydyxdx),(21),(22yxyxu ,),(ydyxdxyxdu 所以是全微分方程所以是全微分方程.xQyP 全微分方程全微分方程0),(),(dyyxQdxyxP满足全微分形式满足全微分形式为为全微分方程全微分方程或或恰
16、当方程。恰当方程。2.2.解法解法:0),(),(dyyxQdxyxP应用曲线积分与路径无关应用曲线积分与路径无关.xQyP 通解为通解为000(,)(,)(,)xyxyu x yP x y dxQ x y dy000(,)(,),yxyxQ xy dyP x y dx;),(Cyxu 全微分方程全微分方程.0)3()3(2323的通解的通解求方程求方程 dyyxydxxyx解解,6xQxyyP 是全微分方程是全微分方程,yxdyyxdxyxyxu03023)3(),(.42344224Cyyxx 原方程的通解为原方程的通解为,42344224yyxx 例例1 1.0324223的通解的通解求
17、方程求方程 dyyxydxyx解解,64xQyxyP 是全微分方程是全微分方程,将左端重新组合将左端重新组合)32(14232dyyxdxyxdyy )()1(32yxdyd .132Cyxy 原方程的通解为原方程的通解为),1(32yxyd 例例2 用直接凑用直接凑全微分的方法全微分的方法.0)1(222的通解的通解 dyyxdxyxx解解将方程左端重新组合将方程左端重新组合,有有例例3 求微分方程求微分方程,02222 dyyxdxyxxxdx,0)()(2222 dyyxxdyxxd,0)()(222 yxdyxxd原方程的通解为原方程的通解为.)(322322Cyxx 2、积分因子法、
18、积分因子法定义定义:0),(yx 连续可微函数，使方程连续可微函数，使方程0),(),(),(),(dyyxQyxdxyxPyx成为全成为全微分方程微分方程.则称则称),(yx 为方程的为方程的积分因子积分因子.问题问题:如何求方程的积分因子如何求方程的积分因子?就不是全微分方程则当全微分方程dyyxQdxyxPxQyPxQyP),(),(,.1.1.公式法公式法:,)()(xQyP xQxQyPyP ，两边同除两边同除 xQyPyPxQ lnln求解不容易求解不容易特殊地特殊地:;.有关时有关时只与只与当当xa,0 y,dxdx ;.有关时有关时只与只与当当yb)(1lnxQyPQdxd )
19、(xf.)()(dxxfex,0 x,dydy )(1lnyPxQPdyd )(yg.)()(dyygey 2.2.观察法观察法:凭观察凑微分得到凭观察凑微分得到),(yx 常见的全微分表达式常见的全微分表达式 222yxdydyxdx xydxydxxdy2 xydyxydxxdyarctan22 xydxyydxxdyln )ln(212222yxdyxydyxdx yxyxdyxydxxdyln2122可选用的积分因子有可选用的积分因子有.,1,1,1,12222222等等xyyxyxyxxyx .0)()3(22的通解的通解求微分方程求微分方程 dyxyxdxyxy解解,1)(1xxQ
20、yPQ dxxex1)(.x 例例4则原方程为则原方程为,0)()3(2322 dyyxxdxxyyx,0)()3(2322 dyyxxdxxyyx)(332xdyydxxydyxydxx )(21(23xyyxd ,0 原方程的通解为原方程的通解为.)(2123Cxyyx (公式法公式法)可积组合法可积组合法.0)1(ln2222的通解的通解 dyyyxydxxy解解将方程左端重新组合将方程左端重新组合,有有,01)ln2222 dyyydyxydxxy（,1),(yyx 易知易知,01)ln2(22 dyyydyyxydxx则则.0)1(31)ln(2322 ydyxd即即原方程的通解为原
21、方程的通解为.)1(31ln2322Cyyx 可积组合法可积组合法例例5 求微分方程求微分方程.132的通解的通解求微分方程求微分方程xyxxdxdy 解解1整理得整理得,112xyxdxdy A A 常数变易法常数变易法:B B 公式法公式法:.4343Cxxxyy 通解为通解为.1xCy 对应齐方通解对应齐方通解.1)(xxCy 设设.43)(43CxxxC ,11211Cdxexeydxxdxx 例例6解解2 2整理得整理得,0)1()(32 dyxdxyxx,1xQyP .是全微分方程是全微分方程A A 用曲线积分用曲线积分法法:,)1()(),(0032 yxdyxdxxxyxuB
22、B 凑微分法凑微分法:,0)(32 dxxdxxydxxdydy，043)(43 xdxdxyddy.0)43(43 xxxyydC C 不定积分不定积分法法:,32yxxxu dxyxx)(32),(4343yCxyxx ),(yCxyu ,1xyu 又又,1)(xyCx ,1)(yC,)(yyC 原方程的通解为原方程的通解为.4343Cxxxyy 思考题思考题1求解微分方程求解微分方程.2cos2cosyxyxdxdy 思考题思考题1解答解答,02cos2cos yxyxdxdy,02sin2sin2 yxdxdy,2sin2sin2 dxxydy2cot2csclnyy,2cos2Cx
23、为所求解为所求解.思考题思考题2下列方程是否为齐次方程下列方程是否为齐次方程?)()()(2022xxydttyttyx 思考题思考题2解答解答方程两边同时对方程两边同时对 求导求导:x,222yxyyxy ,22yyxyx ,12xyxyy 原方程原方程是是齐次方程齐次方程.小结小结1.齐次方程齐次方程2.线性非齐次方程线性非齐次方程3.伯努利方程伯努利方程)(xyfy ;xuy 令令;)()(dxxPexuy令令;1zyn 令令三、一阶微分方程小结三、一阶微分方程小结分离变量法分离变量法常数变易法常数变易法全微分方程全微分方程一阶微分方程一阶微分方程思考题思考题求微分方程求微分方程 的通解
24、的通解.yxyyyysin2sincoscos 思考题解答思考题解答yyxyydydxcossin2sincos ,tan2sinyxy ,2sintanyxydydx Cdyeyexyycoslncosln2sin Cdyyyyycoscossin2cos .cos2cosyCy 一、求下列微分方程的通解一、求下列微分方程的通解:1 1、xexyysincos ；2 2、0)ln(ln dyyxydxy；3 3、02)6(2 ydxdyxy.二、二、求下列微分方程满足所给初始条件的特解求下列微分方程满足所给初始条件的特解:1 1、4,5cot2cos xxyexydxdy；2 2、.0,13
25、2132 xyyxxdxdy练练 习习 题题三、设有一质三、设有一质的的量为量为 m质点作直线运动从速度等于零质点作直线运动从速度等于零的时刻起的时刻起,有一个与运动方向一致有一个与运动方向一致,大小与时间成正大小与时间成正比比(比例比例1k系数为系数为)的力作用于它的力作用于它,此外还受此外还受一与速度成正比一与速度成正比(比例比例2k系数为系数为)的阻力作用的阻力作用,求质求质点运动的速度与时间的函数关系点运动的速度与时间的函数关系.四、四、求下列伯努利方程的通解求下列伯努利方程的通解:1、212121yxyxy ；2、0)ln1(3 dxxxyyxdy.五、五、用适当的变量代换将下列方程
26、化为可分离变量的用适当的变量代换将下列方程化为可分离变量的方程方程,然后求出通解然后求出通解:1 1、11 yxdxdy；2 2、1cossin2sin)1(sin222 xxxyxyy；3 3、xyxyxdxdy )(sin12.六、六、已知微分方程已知微分方程)(xgyy ,其中其中 0,010,2)(xxxg,试求一连续函数试求一连续函数)(xyy ,满满足条件足条件0)0(y,且在区间且在区间),0 满足上述方程满足上述方程.练习题答案练习题答案一、一、1 1、xeCxysin)(；2 2、Cyyx 2lnln2；3 3、2321yCyx .二、二、1 1、15sincos xexy；2 2、113322 xexxy.三、三、)1(022121tmkekmktkkv .四、四、1 1、Cxxy ；2 2、)32(ln32322 xxCyx.五、五、1 1、Cxyx 2)(2；2 2、Cxxy 1sin1；3 3、Cxxyxy 4)2sin(2.六、六、1,)1(210,)1(2)(xeexexyyxx.
