1、中考中的网格中考中的网格及分割作图及分割作图在近几年的数学中考试卷中，作为考查学生在近几年的数学中考试卷中，作为考查学生数形结合思想方法的运用能力和动手操作能数形结合思想方法的运用能力和动手操作能力的载体，许多省市采用了一些网格型、分力的载体，许多省市采用了一些网格型、分割型试题，这些试题答案往往不惟一，且有割型试题，这些试题答案往往不惟一，且有较强的开放性，有利于培养学生的探究意识较强的开放性，有利于培养学生的探究意识和创新精神。和创新精神。一般思路：一般思路：平面直角坐标系，平面直角坐标系，直角三角形直角三角形（勾股定理及其逆（勾股定理及其逆定理）定理），相似三角形相似三角形（判定与性质）
2、（判定与性质），面积计算面积计算（等积变换）（等积变换）等。等。一、网格与线段一、网格与线段例例1 1、（、（0303年年新疆建设兵团）如图是由新疆建设兵团）如图是由1616个边个边长为长为1 1的正方形拼成的，任意连结这些小正方的正方形拼成的，任意连结这些小正方形的若干个顶点，可得到一些线段，试分别画形的若干个顶点，可得到一些线段，试分别画出一条长度是有理数的线段和一条长度是无理出一条长度是有理数的线段和一条长度是无理数的线段。数的线段。练练1、已知图已知图1和图和图2中的每个小正方形的边长都是中的每个小正方形的边长都是1个单位个单位.（1）将图）将图1中的格点中的格点ABC，先向右平移，先
3、向右平移3个单位，再向上个单位，再向上平移平移2个单位，得到个单位，得到A1B1C1，请你在图，请你在图1中画出中画出A1B1C1.（2）在图）在图2中画出一个与格点中画出一个与格点DEF相似但相似比不等于相似但相似比不等于1的格点三角形的格点三角形.图2FDEABC图1 练练2:在在44的正方形网格中，每个小方形的边长都是的正方形网格中，每个小方形的边长都是1。线段线段AB和和CD分别是（图分别是（图11）中）中13的两个矩形的对角的两个矩形的对角线，显然线，显然ABCD。请你用类似的方法画出过点。请你用类似的方法画出过点E且垂直且垂直于于AB的直线，并证明。的直线，并证明。GFEDCBA图
4、111（图112）A练练3:如图如图12，在，在55的正方形网格中，每个小正方形的正方形网格中，每个小正方形的边长都为的边长都为1.请在所给网格中按下列要求画出图形请在所给网格中按下列要求画出图形(1)从点从点A出发的一条线段出发的一条线段AB，使它的另一个端点落在格，使它的另一个端点落在格点（即小正方形的顶点）上，且长度为点（即小正方形的顶点）上，且长度为 ；（2）以（）以（1）中的）中的AB为边的一个等腰三角形为边的一个等腰三角形ABC，使点，使点C在格点上，且另两边的长都是无理数；在格点上，且另两边的长都是无理数；(3)以（以（1）中的）中的AB为边的两个凸多边形，使它们都是中为边的两个
5、凸多边形，使它们都是中心对称图形且不全等，其顶点都在格点上，各边长都是心对称图形且不全等，其顶点都在格点上，各边长都是无理数无理数22二、网格与三角形二、网格与三角形例例2 2、(04(04年苏州市年苏州市)正方形网格中，小格的顶点叫做格点，正方形网格中，小格的顶点叫做格点，小华按下列要求作图：小华按下列要求作图：在正方形网格的在正方形网格的三条不同实线三条不同实线上各取一个格点，使其上各取一个格点，使其中中任意两点不在同一条实线任意两点不在同一条实线上；上；连结三个格点，使之构成直角三角形，小华在左边的连结三个格点，使之构成直角三角形，小华在左边的正方形网格中作出了正方形网格中作出了RtRt
6、ABCABC，请你按照同样的要求，在，请你按照同样的要求，在右边的两个正方形网格中各画出一个直角三角形，并使右边的两个正方形网格中各画出一个直角三角形，并使三个网格中的三个网格中的直角三角形互不全等直角三角形互不全等。解答：解答：下面给出三种画法：下面给出三种画法：点评：此题给学生广阔的思维空间，体现数形点评：此题给学生广阔的思维空间，体现数形结合思想，学生可从边或角两个角度探求直角，结合思想，学生可从边或角两个角度探求直角，画出符合要求的直角三角形。本题考查学生发画出符合要求的直角三角形。本题考查学生发散思维的能力、运用知识解决问题的能力及数散思维的能力、运用知识解决问题的能力及数形结合思想
7、。形结合思想。练练4:如图如图13，方格纸中每个小方格都是边长为，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，的正方形，我们把以格点连线为边的多边形称为我们把以格点连线为边的多边形称为“格点多边形格点多边形”如图如图（一）中四边形（一）中四边形ABCD就是一个就是一个“格点四边形格点四边形”（1）求图（一）中四边形）求图（一）中四边形ABCD的面积；的面积；（2）在图（二）方格纸中画一个格点三角形）在图（二）方格纸中画一个格点三角形EFG，使，使EFG的面积等于四边形的面积等于四边形ABCD的面积且为轴对称图形的面积且为轴对称图形图13 D C B A 练练5:如图，如图，ABCD.(1)画出画出
8、 A1B1C1D1使使 A1B1C1D1与与 ABCD关于直线关于直线MN对称对称;(2)画出画出 A2B2C2D2,使使 A2B2C2D2与与 ABCD关于点关于点O中中心对称心对称;(3)A2B2C2D2与与 A1B1C1D1是对称图形吗是对称图形吗?若是若是,请在图上请在图上画出对称轴或对称中心画出对称轴或对称中心 BCDOAMN三、网格与圆三、网格与圆例例3 3、（、（0404济南市中考题改编）如图，方格济南市中考题改编）如图，方格纸上一圆经过（纸上一圆经过（2,52,5）、（）、（2,-32,-3）两点，）两点，且此两点为圆与方格纸横线的切点，则该圆且此两点为圆与方格纸横线的切点，则
9、该圆圆心的坐标为（圆心的坐标为（）A A（2,-12,-1）B B（2,22,2）C C（2,12,1）D D（3,13,1）C C点评：此题充分利用方格纸的特点及圆中的点评：此题充分利用方格纸的特点及圆中的有关性质，利用有关性质，利用“圆的两条切线互相平行，圆的两条切线互相平行，则两切点的连线是直径则两切点的连线是直径”便可求出圆心的坐便可求出圆心的坐标。此题将方格纸与圆、平面直角坐标系联标。此题将方格纸与圆、平面直角坐标系联系在一起，新颖而有趣味性。系在一起，新颖而有趣味性。四、网格与面积四、网格与面积例例4 4、(04(04重庆市重庆市)在如图的方格纸中，每个小方在如图的方格纸中，每个小
10、方格都是边长为格都是边长为1 1的正方形，点的正方形，点A A、B B是方格纸中是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个的两个格点（即正方形的顶点），在这个5 55 5的方格纸中，找出格点的方格纸中，找出格点C C使使ABCABC的面积为的面积为2 2个个平方单位，则满足条件的格点平方单位，则满足条件的格点C C的个数是（的个数是（）（A)5A)5 （B B）4 4 （C C）3 3 （D D）2 2 A A点评：明确格点的意义，利用点评：明确格点的意义，利用平行线间的距离平行线间的距离处处相等处处相等的知识，找出使的知识，找出使ABC的面积为的面积为2个个平方单位格点即可。平方单位格点
11、即可。此题考查学生想象能力、发散思维的能力。此题考查学生想象能力、发散思维的能力。对分方格纸：在33的方格纸中，试用格点连续的方法将方格纸剪裁分割成两个全等的多边形，图（A）就是其中一例；除（A）外，请你尽可能多地想出这样的分割方法，在提供的方格纸上画出不同的分割路径。开 放 型五、网格与图案设计五、网格与图案设计例例5 5、(04(04年山东淄博市年山东淄博市)请你在下面请你在下面3 3个网格（两相邻格点个网格（两相邻格点的距离均为的距离均为1 1个单位长度）内，分别设计个单位长度）内，分别设计1 1个图案，要求个图案，要求:在在(1)(1)中所设计的图案是面积等于中所设计的图案是面积等于
12、的轴对称图形；的轴对称图形；在（在（2 2）中所设计的图案是面积等于）中所设计的图案是面积等于2 2 的中心对称图形；的中心对称图形；在（在（3 3）中所设计的图案既是轴对称图形又是中心对称图）中所设计的图案既是轴对称图形又是中心对称图形，并且面积等于形，并且面积等于3 3 将你设计的图案用铅笔涂黑将你设计的图案用铅笔涂黑（1）（2）（3）3 3 3 解答：设计的图案举例如下解答：设计的图案举例如下（1）（2）（3）网格型小结网格型小结一一 题型题型1.1.线段；线段；2.2.三角形；三角形；3.3.圆；圆；4.4.面积；面积；5.5.图案设计。图案设计。二二 思路思路1.1.直角三角形；直角
13、三角形；2.2.相似三角形；相似三角形；3.3.平面直角坐标系；平面直角坐标系；4.4.等积变换；等积变换；5.5.对称图形。对称图形。通过上面的学习，你一定对网格型题目有了一通过上面的学习，你一定对网格型题目有了一定的认识，请你解答下面几个问题：定的认识，请你解答下面几个问题：1、（、（04年黑龙江省）在正方形网格中，每个年黑龙江省）在正方形网格中，每个小方格都是边长为小方格都是边长为1的正方形，的正方形，A、B两点在小两点在小方格的顶点上，位置如图所示，点方格的顶点上，位置如图所示，点C也在小方也在小方格的顶点上，且格的顶点上，且A、B、C为顶点的三角形的面为顶点的三角形的面积为积为1个平
14、方单位，则点个平方单位，则点C的个数为（的个数为（）（）（）（）（）（）（）（）（）反馈检测：反馈检测：D2、（、（2002年吉林省）正方形网格中的每个小年吉林省）正方形网格中的每个小正方形边长都是正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形。点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形。（1）使三角形的三边长分别为）使三角形的三边长分别为3，（2）使三角形为钝角三角形且面积为）使三角形为钝角三角形且面积为4 5,222、此题是要利用勾股定理计算三角形各边的、此题是要利用勾股定理计算三角形各边的长度，画法有很多，图长度，画法有很多，图1、图、图2
15、分别第（分别第（1）、）、（2）两题的其中一种画法。）两题的其中一种画法。备用图备用图 1、有一块梯形状的土地，现要平均分给两个农户种有一块梯形状的土地，现要平均分给两个农户种植植(即将梯形的面积两等分即将梯形的面积两等分)，试设计两种方案，试设计两种方案(平分方案画平分方案画在备用图上在备用图上)，并给予合理的解释。，并给予合理的解释。分割作图分割作图2、在一次数学实践探究活动中，小强用两条直线把平行四边形在一次数学实践探究活动中，小强用两条直线把平行四边形ABCD分割成四个部分，使含有一组对顶角的两个图形全等；分割成四个部分，使含有一组对顶角的两个图形全等；ABCDABCDDCBA(1)根
16、据小强的分割方法，你认为把平行四边形分割成满足以上根据小强的分割方法，你认为把平行四边形分割成满足以上全等关系的直线有全等关系的直线有 组；组；(2)请在图中三个平行四边形中画出满足小强分割方法的直线；请在图中三个平行四边形中画出满足小强分割方法的直线；(3)由上述实验操作过程，你发现所画的两条直线有什么规律？由上述实验操作过程，你发现所画的两条直线有什么规律？3、RtABC中，中，ACB=90，CAB=30，用圆，用圆规和直尺作图，用两种方法把它分成两个三角形，且要规和直尺作图，用两种方法把它分成两个三角形，且要求其中一个三角形的等腰三角形。（保留作图痕迹，不求其中一个三角形的等腰三角形。（
17、保留作图痕迹，不要求写作法和证明）要求写作法和证明）ABCABC图122C4、学校正准备建一个多媒体教室，计划做长学校正准备建一个多媒体教室，计划做长120cm，宽，宽30cm的长条形桌面。现只有长的长条形桌面。现只有长80cm，宽，宽45cm的木板，请的木板，请你为该校设计不同的拼接方案，使拼出来的桌面符合要求。你为该校设计不同的拼接方案，使拼出来的桌面符合要求。（只要求画出裁剪、拼接图形，并标上尺寸，设计出一种（只要求画出裁剪、拼接图形，并标上尺寸，设计出一种得得5分，设计出两种再加分，设计出两种再加1分）分）80cm45cm80cm45cm变变1：某市广场有一块长某市广场有一块长12m,
18、宽宽6m的矩形花圃的矩形花圃,现计划引两现计划引两条直线把花圃分成面积相等的三部分条直线把花圃分成面积相等的三部分,分别种三种不同的花分别种三种不同的花,请根据下列条件请根据下列条件,设计方案设计方案:(1)把矩形面积三等分把矩形面积三等分,并且所分成的图形都是全等图形并且所分成的图形都是全等图形;(2)把矩形面积三等分把矩形面积三等分,并且所分成的图形不是全等图形并且所分成的图形不是全等图形变变2：已知矩形ABCD,请设计三种不同的分法,将矩形ABCD分割成四个三角形,使得其中两个三角形相似(相似比不为1),另外两个三角形面积相等(不全等),请画出分割线段,标出能够说明分法的必要记号和所得三
19、角形的顶点.(画图工具不限,不要证明,不要写出画法).注:两种分法只要有一条分割线段位置不同,就认为是两种不同的画法.ABCDABCDABCD变变3：已知:矩形ABCD的边长为2和5,请设计二种不同的分法,将矩形ABCD分割成三个三角形,使每个三角形都相似.(要求画出分割线段,标出能说明分法所需的相等的角、边的长度，不标出有关数据扣分，两种分法是指第一种分法所成的图形与第二种分法所成的图形不全等）ABCDABCD 5、小芸在为班级办黑板报时遇到了一个难题，在版面小芸在为班级办黑板报时遇到了一个难题，在版面设计过程中需将一个半圆面三等分，请你帮助她设计一个合设计过程中需将一个半圆面三等分，请你帮
20、助她设计一个合理的等分方案要求用尺规作出图形，保留作图痕迹，并简理的等分方案要求用尺规作出图形，保留作图痕迹，并简要写出作法要写出作法ABAB 6、某新建小区要在一块等边三角形的公共区域内修建一个圆形某新建小区要在一块等边三角形的公共区域内修建一个圆形花。花。（1）若要使花坛面积最大，请你在这块公共区域（如图）内确）若要使花坛面积最大，请你在这块公共区域（如图）内确定圆形花坛的圆心定圆形花坛的圆心P；（2）若这个等边三角形的边长为）若这个等边三角形的边长为18米，请计算出花坛的面积。米，请计算出花坛的面积。A B C 7、已知已知ABC内接于内接于 O。（1）当点）当点O与与AB有怎样的位置关
21、系时，有怎样的位置关系时，ACB是直角；是直角；（2）在满足（）在满足（1）的条件下，过）的条件下，过C作直线交作直线交AB于于D，当，当CD与与AB有什么样的关系时，有什么样的关系时，ABCCBDACD；（3）画出符合（）画出符合（1）、（）、（2）题意的两种图形，使图形中的）题意的两种图形，使图形中的CD=2cm。启迪型 8 8、有一块菱形的草地，要在其上面修筑两条笔直的道路，有一块菱形的草地，要在其上面修筑两条笔直的道路，道路把这块草地分成面积相等的道路把这块草地分成面积相等的4 4部分，若路宽忽略不计，请部分，若路宽忽略不计，请你设计三种不同的方案（在下面给出的图形上分别作图、示你设计
22、三种不同的方案（在下面给出的图形上分别作图、示意）。意）。设计型 9、正方形表示一张纸片正方形表示一张纸片,根据要求多次分割根据要求多次分割,把它分割成若干个直把它分割成若干个直角三角形角三角形,操作过程如下操作过程如下:第一次分割第一次分割,将正方形纸片分成将正方形纸片分成4个全等的直角个全等的直角三角形三角形,第二次分割上次得到的直角三角形中一个再分成第二次分割上次得到的直角三角形中一个再分成4个全等的直个全等的直角三角形角三角形;以后按第二次的作法进行下去以后按第二次的作法进行下去:(1)请你设计出两种符合题意的分割方案图请你设计出两种符合题意的分割方案图;(2)设正方形的边长为设正方形
23、的边长为a,请你就其中一种方案通过操作和观察将第二、请你就其中一种方案通过操作和观察将第二、第三次分割后所得的最小的直角三角形的面积（第三次分割后所得的最小的直角三角形的面积（S）填入下表：）填入下表：（3）在条件（）在条件（2）下，请你猜想：分割所得的最小直角三角形面积）下，请你猜想：分割所得的最小直角三角形面积S与分割次数与分割次数n有什么关系？有什么关系？分割次数（n)123最小直角三角形的面积（S）241a 1010、ABAB是是OO的直径，的直径，BCBC是过是过B B点之切线，点之切线，D D在在 上（如图上（如图4 4）。求作：在）。求作：在BCBC上取点上取点P P，使得，使得
24、APAP平分平分ABCABC的面积。下列的面积。下列4 4个个作图方法，何者错误？作图方法，何者错误？（A）取）取BC的中点的中点P。连。连AP （B）作）作A之角平分线交之角平分线交BC于于P点点 （C）作）作BD的中垂线交的中垂线交BC于于P点，连点，连AP （D）过）过O点作直线平行点作直线平行AC交交BC于于P点，连点，连AP 判断型 1111、如图，把边长为如图，把边长为2cm2cm的正方的正方形剪成形剪成4 4个全等的直角三角形，请用这个全等的直角三角形，请用这4 4个直角三角形拼成符合要求的图形（全个直角三角形拼成符合要求的图形（全部用上，互不重叠且不留空隙），并把部用上，互不重
25、叠且不留空隙），并把你的拼法画出来。你的拼法画出来。（1 1）不是正方形的菱形（一个）；）不是正方形的菱形（一个）；（2 2）不是正方形的矩形（一个）；）不是正方形的矩形（一个）；（3 3）梯形（一个）；）梯形（一个）；（4 4）不是矩形和菱形的平行四边形（一个）；）不是矩形和菱形的平行四边形（一个）；（5 5）不是梯形和平行四边形的凸四边形（一个）；）不是梯形和平行四边形的凸四边形（一个）；（6 6）与以上画出的图形不全等的其他凸四边形）与以上画出的图形不全等的其他凸四边形 （画出的图形互不全等，至少画（画出的图形互不全等，至少画3 3个）个）拼图型 1212、正方形通过剪切可以拼成等腰直角
26、三角形，方法如图正方形通过剪切可以拼成等腰直角三角形，方法如图（1 1）仿照图（）仿照图（1 1）用图示的方法，解答下列问题。）用图示的方法，解答下列问题。（1 1）如图（）如图（2 2）对直角三角形，设计一种方案，将它分成）对直角三角形，设计一种方案，将它分成若干块再拼成一个与原三角形等面积的矩形；若干块再拼成一个与原三角形等面积的矩形；（2 2）如图（）如图（3 3）对任意三角形，设计一种方案，将它分若）对任意三角形，设计一种方案，将它分若干块再拼成一个与原三角形等面积的矩形。（图形分若干干块再拼成一个与原三角形等面积的矩形。（图形分若干块，编上数号，拼成的图形对应写出数号）块，编上数号，拼成的图形对应写出数号）
