1、3.4随机向量的函数的分布随机向量的函数的分布 设设(X,Y)是二维随机变量是二维随机变量,z=(x,y)是一个已是一个已知的二元函数知的二元函数,如果当如果当(X,Y)取值为取值为(x,y)时时,随随机变量机变量Z取值为取值为z=(x,y),则称则称Z是二维随机变是二维随机变量的函数量的函数,记作记作Z=(X,Y)问题问题:已知已知(X,Y)的分布的分布,求求Z=(X,Y)的分布的分布.一、离散型随机向量函数的分布一、离散型随机向量函数的分布 XY012 1 21312312112101211221220122的的分分布布律律为为设设随随机机变变量量),(YX.)2(,)1(的分布律的分布律
2、求求YXYX 例例1概率概率),(YX)2,1(121)1,1(121)0,1(123 221,122 121,121)2,3(122)0,3(122XY012 1 21312312112101211221220122解解等价于等价于概率概率),(YX)2,1(121)1,1(121)0,1(123 2,21122 1,21121)2,3(122)0,3(122YX 3 2 1 23 21 13YX 101252353YX P3 2 1 23 21 13121121123122121122122YX P01252353124121122121122122的分布律分别为的分布律分别为所以所以YX
3、YX ,例例2 设两个独立的随机变量设两个独立的随机变量 X 与与 Y 的分布律为的分布律为XXP317.03.0YYP424.06.0求随机变量求随机变量 Z=X+Y 的分布律的分布律.)()(),(jijiyYPxXPyYxXP 得得YX421318.012.042.028.0因为因为 X 与与 Y 相互独立相互独立,所以所以解解可得可得),(YX)4,3()2,3()4,1()2,1(P18.012.042.028.0YXZ 3557所以所以YXZ P35718.054.028.0YX421318.012.042.028.0解解Z=X+Y的所有可能的取值是的所有可能的取值是0,1,2,n
4、YXPnZP.,2,1,0),(,2,1,0),(,的的分分布布律律求求随随机机变变量量分分布布律律分分别别为为，其其是是相相互互独独立立的的随随机机变变量量已已知知YXZmmqmYPkkpkXPYX 例例3nkknYkXP0,nkknYPkXP0,.2,1,0,)()(0nknqkpnZPnk,.2,1,0,)()(0nknqkpnkX,Y 相互独立相互独立nYXPnZP nkknYkXP0,证明证明).(),(),(,2121 YXYXYX则则，是是相相互互独独立立的的随随机机变变量量设设由前面的例题可知由前面的例题可知,2,1,0,!)(,2,1,0,!)(2121 mmemYPkkek
5、XPmk ,.2,1,0 ,)()()(0 nknYPkXPnYXPnk例例4)!(!)(21021knekenYXPknknk )!(!210)(21knkeknknk knknkknknne 210)()!(!121 ,)(!121)(21nne ,.2,1,0n)(21 YX例例5设设X和和Y相互独立，相互独立，XB(n1,p),YB(n2,p),求求Z=X+Y 的分布的分布.我们可以按照前面的方法来求解，也可以我们可以按照前面的方法来求解，也可以换一种方法换一种方法.回忆第二章对服从二项分布的随机变量回忆第二章对服从二项分布的随机变量所作的直观解释所作的直观解释:同样，同样，Y是在是在
6、n2次独立重复试验中事件次独立重复试验中事件A出现出现的次数的次数,每次试验中每次试验中A出现的概率为出现的概率为p.若若X B(n1,p),则则X 是在是在n1次独立重复试次独立重复试验中事件验中事件A出现的次数出现的次数,每次试验中每次试验中A出现的出现的概率都为概率都为p.故故Z=X+Y 是在是在n1+n2次独立重复试验次独立重复试验中事件中事件A出现的次数出现的次数.每次试验中每次试验中A出现的概率为出现的概率为p.于是于是Z是以（是以（n1+n2，p）为参数的二）为参数的二项随机变量，即项随机变量，即Z B(n1+n2,p).解解.iiXmin的的次次数数是是次次试试验验，其其中中试
7、试验验成成功功个个同同学学做做了了如如果果第第验验同同学学重重复复进进行行同同一一个个试试下下每每个个个个同同学学，在在相相同同的的条条件件设设全全班班有有.,21次次独独立立重重复复试试验验进进行行了了全全班班同同学学一一共共是是设设每每次次试试验验成成功功的的概概率率nmmmmp Z试试验验成成功功总总次次数数).,(pmB（续）（续）.Z 21的的概概率率分分布布的的总总次次数数计计算算全全班班同同学学试试验验成成功功nXXX 则则相相互互独独立立服服从从二二项项分分布布如如果果,.,2,1),(21niiXXXnipmBX 从问题的背景出发得到的结果更直接，从问题的背景出发得到的结果更
8、直接，更容易理解更容易理解.更一般地，更一般地，).,(21pmmmBZn 二、连续型随机变量函数的概率分布二、连续型随机变量函数的概率分布1.已知已知(X,Y)f(x,y)，求，求Z=(X,Y)的概率分布的概率分布.),()(zYXPzZPzFZ若若Z为连续型随机变量为连续型随机变量,则在则在f(z)的连续点处的连续点处)()(zFzfZZ zyxdxdyyxf),(),(.),0(),0(,222的概率密度的概率密度求求且均服从且均服从相互独立相互独立已知已知YXZNYX 2222exp21)(),0(xxfNXX 解解 22222exp21),(yxyxf 2222exp21)(),0(
9、yyfNYY例例6X,Y相互独立相互独立).(),(zfzFZZ设设Z的分布函数和概率密度分别为的分布函数和概率密度分别为0)(,0 zFzZ时时当当22YXZ )(,0zZPzFzZ 时时当当22zYXP zyxdxdyyxf22),(,0时时当当 z zyxZdxdyyxzF2222222exp21)(sincosryrx zrdrdrr 2exp21222222exp1z 其它其它 ,00,2exp1)(22zzzFZ 其它其它 ,00,2exp)(222zzzzfZ .)()0(分布分布的瑞利的瑞利服从参数为服从参数为RayleighZ 例例7 已知已知(X,Y)f(x,y)，求求Z=
10、X+Y的概率密度的概率密度.,ba 对对任任意意解解1)(bZaP )(bYXaP byxadxdyyxf),(dxdyyxfxbxa),()(xyz 令令dxdzxzxfba),(dzdxxzxfba ),(xyoayxbyx)(bZaP dzdxxzxfba ),(由概率密度的定义可知，由概率密度的定义可知，Z=X+Y的概率的概率密度为密度为dxxzxfzfZ),()(例例7 已知已知(X,Y)f(x,y)，求求Z=X+Y的概率密度的概率密度.,ba 对对任任意意解解2)(bZaP )(bYXaP byxadxdyyxf),(dydxyxfybya),()(yxz 令令dydzyyzfba
11、),(dzdyyyzfba ),(xyoayxbyx)(bZaP 由概率密度的定义可知，由概率密度的定义可知，Z=X+Y的概率的概率密度为密度为 dyyyzfzfZ),()(dzdyyyzfba ),(dyyyzfzfZ),()(dxxzxfzfZ),()(推论推论 设设(X,Y)关于关于X,Y的边缘密度分别为的边缘密度分别为fX(x),fY(y).若若X和和Y独立独立,则则 dxxzfxfzfYXZ)()()(dyyfyzfzfYXZ)()()(两个随机变量和的概率密度的一般公式两个随机变量和的概率密度的一般公式.的的概概率率密密度度求求电电阻阻其其他他它它们们的的概概率率密密度度均均为为相
12、相互互独独立立设设串串联联联联接接和和两两电电阻阻在在一一简简单单电电路路中中212121.,0,100,5010)(,RRRxxxfRRRR 解解的的概概率率密密度度为为由由题题意意知知 R dxxzfxfzfYXR)()()(例例8 .,0,100,5010)(其他其他xxxf .,0,100,50)(10)(其他其他xzxzxzf 100100 xzxzox被积函数被积函数的非零域的非零域 100 xz10 xz10(10,10)(10,20)20 dxxzfxfzfYXZ)()()(zox10100 xz10 xz)20,10()10,10(20,010时时当当 zdxxzxzfzZ
13、050)(105010)(,0210时时当当 zdxxzxzfzZ 101050)(105010)(dxxzfxfzfYXZ)()()(,200时时或或当当 zz.0)(zfZ .,0,2010,15000)20(,100,15000)60600()(332其其他他zzzzzzzfR例例9.)1,0(的的概概率率密密度度分分布布，求求上上服服从从均均匀匀相相互互独独立立，均均在在与与若若YXZYX 解解 其其它它,010,1)(),1,0(xxfUXX 其其它它,010,1)(),1,0(yyfUYY 其其它它,010,1)(xzxzfY 1010 xzxzox11 dxxzfxfzfYXZ)
14、()()(0 xz1xz)1,1()2,1(2.0)(,20 zfzzZ时时或或当当,10时时当当 zzdxzfzZ 01)(,21时时当当 zzdxzfzZ 21)(11被积函数的非零域被积函数的非零域 其它其它 ,021,210 ,)(zzzzzfZ已知已知X,Y 相互独立且均服从标准正态分布，相互独立且均服从标准正态分布，求求Z=X+Y的概率密度的概率密度.解解2221)(),1,0(xXexfNX 2221)(),1,0(yYeyfNY dxxzfxfzfYXZ)()()(例例10 dxxzfxfzfYXZ)()()(dxeexzx 2)(222 21 dxeezxz 222)(4 2
15、1)(2zxt 令令dteetz 22 214 4221ze 2142ze 22)2(2 221ze z,若若X和和Y 独立独立,具有相同的分布具有相同的分布N(0,1),则则Z=X+Y服从正态分布服从正态分布N(0,2).).,(,).,(),(,222121222211NZYXZNYNXYX 且且有有仍仍然然服服从从正正态态分分布布则则相相互互独独立立且且一一般般地地，设设 有限个相互独立有限个相互独立的正态随机变量的线性的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布组合仍然服从正态分布.一个重要的结论一个重要的结论3.5极大极小值的分布极大极小值的分布 设设X，Y是两个相互独立的随机变量，是两
16、个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为它们的分布函数分别为FX(x)和和FY(y),求求M=max(X,Y)及及 N=min(X,Y)的分布函数的分布函数.M=max(X,Y)FM(z)=PMz=Pmax(X,Y)z=PXz,Yz=PXz PYz=FX(z)FY(z)类似地，可得类似地，可得N=min(X,Y)的分布函数是的分布函数是=1-PXz,YzFN(z)=PNz=Pmin(X,Y)z=1 Pmin(X,Y)z=1-PXzPYz=1-1-FX(z)1-FY(z)推论推论的的分分布布函函数数分分别别为为及及则则),min(),max(2121nnXXXNXXXM )()()()(21m
17、axzFzFzFzFnXXX ),2,1()(,21nixFnXXXiXni 它它们们的的分分布布函函数数分分别别为为变变量量个个相相互互独独立立的的随随机机是是设设)(1)(1)(1 1)(21minzFzFzFzFnXXX 则则分布函数分布函数相互独立且具有相同的相互独立且具有相同的若若,)(,21xFXXXn,)()(maxnzFzF.)(11)(minnzFzF .,(ii),(i),21如如图图所所示示并并联联串串联联连连接接的的方方式式分分别别为为联联接接而而成成统统由由两两个个相相互互独独立立的的子子系系设设系系统统LLL例例1XY1L2LXY2L1L密度分别为密度分别为已知它们
18、的概率已知它们的概率的寿命分别为的寿命分别为设设,21YXLL,0,00,e)(xxxfxX 0,00,e)(yyyfyY.0,0的概率密度的概率密度的寿命的寿命方式写出方式写出试分别就以上两种联接试分别就以上两种联接且且其中其中ZL ,0,00,e)(xxxfxX 0,00,e)(yyyfyY串联情况串联情况(i),21工作工作就停止就停止系统系统中有一个损坏时中有一个损坏时由于当由于当LLL的的寿寿命命为为所所以以这这时时 L).,min(YXZ ,0,0,0,e)(xxxfxX由由 ,0,0,0,e1)(xxxFxX ;0,0,0,e)(yyyfyY由由 .0,0,0,e1)(yyyFy
19、Y)(1)(1 1)(minzFzFzFYX .0,0,0,e1)(zzz .0,0,0,e)()()(minzzzfz的寿命为的寿命为所以这时所以这时 L).,max(YXZ 的的分分布布函函数数为为),max(YXZ )()()(maxzFzFzFYX .0,0,0),e1)(e1(zzzz并并联联情情况况(ii),21停停止止工工作作才才系系统统都都损损坏坏时时由由于于当当且且仅仅当当LLL .0,0,0,e)(ee)()(maxzzzfzzz .0,0,0),e1)(e1()(maxzzzFzz 下面我们再举一例，说明当下面我们再举一例，说明当X1,X2为离散为离散型随机变量时，如何求
20、型随机变量时，如何求Y=max(X1,X2)的分布的分布.解解1 记记1-p=q，则，则P(Xi=k)=p q k-1,k=1,2,(i=1,2)设随机变量设随机变量X1,X2相互独立相互独立,并且有相同的并且有相同的几何分布几何分布P(Xi=k)=p(1-p)k-1,k=1,2,(i=1,2)求求Y=max(X1,X2)的分布的分布.例例2P(Y=n)=P(max(X1,X2)=n)=P(X1=n,X2n)+P(X2=n,X1 n)nkknpqpq111 1111nkknpqpqqqqpnn 1112qqqpnn11112)2(11 nnnqqpqn=0,1,2,解解2 P(Y=n)=P(Yn)-P(Yn-1)211nkkpq=P(max(X1,X2)n)-P(max(X1,X2)n-1)=P(X1 n,X2n)-P(X1 n-1,X2 n-1)2111nkkpq2211qqpn2)1(nq21211qqpn21)1(nq)2(11nnnqqpqn=0,1,2,作业作业 3.4，3.24，3.31，3.32
