1、2022-12-71第第1515章章 电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式15.115.215.415.515.615.715.3割集割集关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵矩阵矩阵A、Bf、Qf 之间的关系之间的关系回路电流方程的矩阵形式回路电流方程的矩阵形式结点电压方程的矩阵形式结点电压方程的矩阵形式割集电压方程的矩阵形式割集电压方程的矩阵形式列表法列表法2022-12-721.割集、割集、独立割集、单树支割集的概念独立割集、单树支割集的概念2.关联矩阵关联矩阵3.矩阵形式矩阵形式KVL、KCL4.4.结点电压方程的矩阵形式结点电压方程的矩阵形式 重点重点：难点难点：利
2、用规律列写复杂电路的结点电压矩阵方程利用规律列写复杂电路的结点电压矩阵方程2022-12-732022-12-74电路的电路的规模日益增大，结构日趋复杂规模日益增大，结构日趋复杂为了便于利用为了便于利用计算机辅助计算机辅助分析，求解方程分析，求解方程研究研究系统化建立电路方程系统化建立电路方程的方法的方法第三章中第三章中一般分析法一般分析法-有效的电路分析方法有效的电路分析方法电路分析电路分析-对给定的电路模型进行分析计算对给定的电路模型进行分析计算方程用方程用矩阵形式表示矩阵形式表示人工观察法人工观察法2022-12-75连通图连通图图图G的任意两结点间至少有一条的任意两结点间至少有一条路路
3、径径时称为连通图，非连通图至少时称为连通图，非连通图至少存在两个分离部分。存在两个分离部分。树树(Tree)包含图包含图G的全部结点且不包含回的全部结点且不包含回路的连通子图。路的连通子图。使原图连通所需的最少支路集使原图连通所需的最少支路集合合1 n123456782022-12-76(1 9 6)(2 8 9)(3 6 8)(4 6 7)(5 7 8)（1 2 4 5）(3 6 5 8 7),(3 6 2 8)是割集吗？是割集吗？把把Q中全部支路移去，图中全部支路移去，图G分割分割成成两两个部分；个部分；连通图连通图G中的一组支路集合中的一组支路集合Q满足：满足：少移去一条，仍连通少移去一
4、条，仍连通割集割集割集割集Q1.1.割集定义割集定义15.1 割集割集8765432192022-12-77ebcdaf(a d f)(a b e)(b c f)(c d e)(b e d f)(a b c d)(a d e f),(a b c d e)是割集吗？是割集吗？把把Q中全部支路移去，图中全部支路移去，图G分割成两个部分；分割成两个部分；满足：满足：少移去一条，仍连通少移去一条，仍连通割集割集1.1.割集定义割集定义确定割集的方法：确定割集的方法：在连通图上做闭合面，包围某些结点（至少一个），在连通图上做闭合面，包围某些结点（至少一个），和闭合面和闭合面切割切割的所有支路集合的所有支
5、路集合结点上所有的支路构成割集结点上所有的支路构成割集割集割集KCL方程方程2022-12-78一组独立的割集一组独立的割集KCL方程对应的割集方程对应的割集 树支树支 集合不能构成割集集合不能构成割集每一树支和相应的连支可构成割集每一树支和相应的连支可构成割集2.基本割集基本割集独立割集：独立割集：876543219单树支割集单树支割集一组一组单树支割集单树支割集是一组独立割集，是一组独立割集，也称为也称为基本割集基本割集单连支回路单连支回路（连支）（连支）2022-12-79基本割集是独立割集，但独立割集不一定是基本割集，基本割集是独立割集，但独立割集不一定是基本割集，独立割集数独立割集数
6、n-1n-12.基本割集基本割集独立割集独立割集独立结点独立结点独立独立KCL方程方程树支数树支数图图G闭合面切割树支闭合面切割树支(一次割一条树支一次割一条树支)树树T412A3567841235678确定基本割集的方法：确定基本割集的方法：2022-12-710 用矩阵表示电路方程用矩阵表示电路方程 须知须知KCL、KVL的矩阵形式的矩阵形式KCL、KVL是电路拓扑性质约束的表现是电路拓扑性质约束的表现电路拓扑结构电路拓扑结构有向图有向图支路支路结点结点回路回路割集割集KCL和和KVL的矩阵形式的矩阵形式 关联矩阵关联矩阵.回路矩阵回路矩阵 割集矩阵割集矩阵2022-12-71115.2
7、关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵用矩阵描述用矩阵描述结点结点和和支路支路的关联性质的关联性质6452311条支路与结点相连条支路与结点相连结点与支路关联：结点与支路关联：背离背离+1指向指向-1结点与支路非关联结点与支路非关联0n个结点个结点b条支路的图用条支路的图用n b的矩阵描述的矩阵描述1.1.关联矩阵关联矩阵 A 2022-12-712645231n个结点个结点b条支路的图用条支路的图用n b的矩阵描述的矩阵描述A=12341 2 3 4 5 6 支支结结-1 -1 1 0 0 00 0 -1 -1 0 11 0 0 1 1 00 1 0 0 -1 -1列对应支
8、路。列对应支路。只有两个非零元素，一个只有两个非零元素，一个+1，一个，一个-1。背离背离指向指向行对应结点。行对应结点。该行有几个非零元素，该行有几个非零元素，则和该结点相连有几条支路，方向是什么。则和该结点相连有几条支路，方向是什么。A中只有中只有n-1行线性独立行线性独立1.1.关联矩阵关联矩阵 A 特点特点2022-12-713645231A=(n-1)b支路支路b结结点点n-11.关联矩阵关联矩阵AA=12341 2 3 4 5 6 支支结结-1 -1 1 0 0 00 0 -1 -1 0 11 0 0 1 1 00 1 0 0 -1 -1被划去的行对应的结点被划去的行对应的结点作为
9、参考结点作为参考结点降阶关联矩阵降阶关联矩阵 A 123A=1 2 3 4 5 6 支支结结1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 -1 1 0 1 -1 -1 0 0由由 A 能否画出能否画出有向图？有向图？2022-12-714用用 A 表示表示KCL方程的矩阵形式方程的矩阵形式 T 654321 i i i i iii 以结点以结点为参考结点为参考结点A i=-1 -1 1 0 0 00 0 -1 -1 0 11 0 0 1 1 0iiiiii654321 iiiiiiiii541643321n-1个独立个独立KCL方程方程1.1.关联矩阵关联矩阵 A 关联矩阵关联矩阵 A 的方程的方程
10、支路电流列向量支路电流列向量0矩阵形式的矩阵形式的KCL:A i=06452312022-12-715用矩阵用矩阵AT表示表示KVL方程的矩阵形式方程的矩阵形式支路、结点电压列向量支路、结点电压列向量:T 654321 u u u u uuu n3n2n1uuuun 321nT011001101100000111nnnuuuuA 2332211n3n1nnnnnnnuuuuuuuuu uuuuuu6543211.1.关联矩阵关联矩阵 A 关联矩阵关联矩阵 A 的方程的方程结点法的结点法的基本思想基本思想 KVLnTuAu 矩矩阵阵形形式式的的6452312022-12-7161.1.结点电压法
11、的基本思想结点电压法的基本思想任选一个参考结点任选一个参考结点,对对n-1个独立结点写出（个独立结点写出（n-1)个独个独立立KCL方程方程写出各支路的支路电压、支路电流方写出各支路的支路电压、支路电流方程程由由KVL导出支路电压导出支路电压uk与结点电压与结点电压un的关系的关系 uuA nTA i=015.5 结点电压方程的矩阵形式结点电压方程的矩阵形式 0i)(kkufi bk,1 b个支路个支路VCR方程方程支路方程支路方程最好以支路电压表最好以支路电压表示支路电流示支路电流2022-12-7172.复合支路复合支路/标准支路标准支路独立电源与支路方向独立电源与支路方向相反相反；受控电
12、；受控电流源与支路方向流源与支路方向相同相同；第第k条支路：支路电压条支路：支路电压与支路电流的方向与支路电流的方向关联关联；kIkU复合支路定义了一条支复合支路定义了一条支路路最多最多可以包含的元件数可以包含的元件数及连接方式，允许及连接方式，允许缺少缺少某某些元件。些元件。0 0 ds kkIIZk(Yk)kUs_+kI 0s kUZk(Yk)kI复合支路的特点复合支路的特点 kIdZk(Yk)kUs_+kIekIkIs+_kU+_kUe2022-12-718 2.2.复合支路复合支路/标准支路标准支路 支路阻抗支路阻抗0 kZ即不允许存在即不允许存在无伴电压源无伴电压源支路支路复合支路的
13、特点复合支路的特点支路方程的矩阵形式支路方程的矩阵形式无受控源、无耦合无受控源、无耦合 sekkkIII sekkkIUY )(sskkkkIUUY bk,1 Zk(Yk)kUs_+kIekIkIs+_kU+_kUe本身规定不能含受控电压源本身规定不能含受控电压源 kIdZk(Yk)kUs_+kIekIkIs+_kU+_kUe局限局限2022-12-719 2.2.复合支路复合支路/标准支路标准支路支路方程的矩阵形式支路方程的矩阵形式无受控源、无耦合无受控源、无耦合 )(sskkkkkIUUYI bk,1 bIII21 bYYY21 bbUUUUUUs2s21s1 bIIIs2s1s支路导纳矩
14、阵，支路导纳矩阵，为对角阵为对角阵)(ssIUUYI UI支路电流（压）列相量支路电流（压）列相量 ssUI电流（压）源列相量电流（压）源列相量1 bbb 1 b1 bZk(Yk)kUs_+kIekIkIs+_kU+_kUe2022-12-720 2.复合支路复合支路/标准支路标准支路支路方程的矩阵形式支路方程的矩阵形式无受控源、有耦合无受控源、有耦合 )(sskkkkkIUUYI bk,3 jL11sU_+1eI1I1sI+_1UjL22sU_+2eI2I2sI+_2U*M js1e21e11jjUIMILU s2e221e2jjUILIMU kkkkUIZUse bUUUU321 bZZL
15、L321jj bbIIIIIIIIs3s32s21s1 bUUUUs3ss21skkkIIIse )(ssUIIZU 支路阻抗矩阵，支路阻抗矩阵，非对角阵非对角阵Zk(Yk)kUs_+kIekIkIs+_kU+_kUeM jM j2022-12-721 2.2.复合支路复合支路/标准支路标准支路支路方程的矩阵形式支路方程的矩阵形式无受控源、有耦合无受控源、有耦合 *M j bZZLMMLZ321jjjj )(ssUIIZU 1 ZY )(ssUIIZU YYY)(ssIUUYI 支路导纳支路导纳矩阵、非矩阵、非对角阵对角阵令：令：jL11sU_+1eI1I1sI+_1UjL22sU_+2eI2
16、I2sI+_2U2022-12-722 2.2.复合支路复合支路/标准支路标准支路支路方程的矩阵形式支路方程的矩阵形式有受控源、无耦合有受控源、无耦合 )(dsskkkkkkIIUUYI Zj(Yj)jUs_+jIejIjI s+_jU+_jUe kIdZk(Yk)kUs_+kIekIkIs+_kU+_kUe设第设第k条支路受第条支路受第j条支路条支路无源元件无源元件电压或电流的控制电压或电流的控制 edjkjkUgI VCCS edjkjkII CCCS 其他支路均无受控源其他支路均无受控源 )(sshhhhhIUUYI )(sjjkjUUg )(sjjjkjUUY )(sdjjkjkUUY
17、I ejjkjUY 2022-12-723 2.复合支路复合支路/标准支路标准支路支路方程的矩阵形式支路方程的矩阵形式有受控源、无耦合有受控源、无耦合 )(dsskkkkkkIIUUYI 设第设第k条支路受第条支路受第j条支路条支路无源元件无源元件电压或电流的控制电压或电流的控制 VCCS CCCS )(sshhhhhIUUYI )(sjjkjUUg )(sjjjkjUUY )(sdjjkjkUUYI bkjbkjYYYYIIII11 bbkkjjUUUUUUUUsss1s1 bkjIIIIsss1skjY )(ssIUUYI 非对角阵非对角阵j k 受控源所受控源所在支路在支路控制控制量所量
18、所在支在支路路2022-12-724 3.3.结点电压方程的矩阵形式结点电压方程的矩阵形式)(ssIUUYI 0 IATnUAU 0)(ss IAUUYAssTUYAIAUAYAn Yn结点导纳阵结点导纳阵独立电源引起的注入结独立电源引起的注入结点的电流列向量点的电流列向量ssTUYAIAUAYAn bb bn )1()1(nb1)1(nbn )1(1 bbb bn )1(1 b（n-1）个方程）个方程2022-12-725结点分析法的步骤结点分析法的步骤把电路抽象为有向图把电路抽象为有向图5V1 3A1A0.5 5 0.5 2 1+_124356形成矩阵形成矩阵A123A=1 2 3 4 5
19、 6 1 1 0 0 0 1 0-1 1 1 0 0 0 0-1 0 1 -12022-12-726形成矩阵形成矩阵Y Y形成形成Us、IsUs=-5 0 0 0 0 0 TIs=0 0 0 -1 3 0 T20.520.2115V1 3A1A0.5 5 0.5 2 1+_1243562022-12-727用矩阵乘法求得结点方程用矩阵乘法求得结点方程 311042127.25.015.05.3321nnnUUUssTUYAIAUAYAn 123A=1 2 3 4 5 6 1 1 0 0 0 1 0-1 1 1 0 0 0 0-1 0 1 -1 112.025.02YUs=-5 0 0 0 0
20、0 TIs=0 0 0 -1 3 0 T5V1 3A1A0.5 5 0.5 2 1+_2022-12-728例例p.406例例15-3解解 654321j1j1jj11LLCCRRY 0123+_s1is4id4id2is4us2u+_1u1R2R3C4C5L6L6i1212dUgI 646d4II 6646jUL 21g 646j L T4s1ss00-00III T4s2ss000-0UUU 15362462022-12-729 654321IIIIIIT4s1ss00-00III T4s2ss000-0UUU 654321j1j1jj11LLCCRRY 21g 646j L 65s4432s21UUUUUUUU 00004s1sII654321j1j1jj11LLCCRR 21g 646j L )(ssIUUYI 2022-12-730本章小结：本章小结：1.掌握：割集、掌握：割集、独立割集、单树支割集等图论中独立割集、单树支割集等图论中 基本概念。基本概念。2.关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵的列写及其关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵的列写及其 对应表示的矩阵形式对应表示的矩阵形式KCL和和KVL。3.电路结点电压方程的矩阵形式电路结点电压方程的矩阵形式
