1、基本概念基本概念,基本定理基本定理,基本方法基本方法第第0章章 空间解几与向量代数空间解几与向量代数 向量的概念与运算,+,-,数乘,数量积,向量积;直角坐标系下向量的运算;向量的夹角,平行与垂直;平面,直线;曲面,柱面,投影柱面,旋转面,二次曲面图形;曲线,投影,参数方程.1.向量向量:既有大小,又有方向的量,称为向量.(或矢量)2.向量的几何表示法向量的几何表示法:用一条有方向的线段来表示向量.ABa向量AB的大小叫做向量的模.记为|AB|或 .|a一、向量的基本概念一、向量的基本概念1、向量加法、向量加法(1)平行四边形法则设有(若起点不重合,可平移至重合).作以为邻边的平行四边形,对角
2、线向量,称为的和,记作 另一条对角线向量,是的差,即ba、ba与.baba、baab(2)三角形法则baab二二、向量的加减法向量的加减法2.向量加法的运算规律向量加法的运算规律.交换律,结合律ba与.ba1.定义定义 实数与向量的为一个向量.aa乘积其中:|aa当 0时,;同向与 aa当 0时,;反向与 aa当=0时,.,它的方向可以是任意的oa2.数与向量的乘积的运算规律数与向量的乘积的运算规律:结合律,分配律a(0)三三、数与向量的乘法数与向量的乘法定理定理1:两个非零向量平行ba与.ba存在唯一实数，使得(方向相同或相反)设表示与非零向量同向的单位向量.则aaaaa|1 四四.空间直角
3、坐标系与空间向量的坐标表示空间直角坐标系与空间向量的坐标表示1.空间直角坐标系的建立空间直角坐标系的建立ozxyzxy x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)组成了一个空间直角坐标系,又称笛卡尔(Descarstes)坐标系，点O叫做坐标原点.o向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式,zyxaaaa ,zyxbbbb ,zzyyxxbabababa ,zzyyxxbabababa ,zyxaaaa ;)()()(kbajbaibazzyyxx ;)()()(kbajbaibazzyyxx .)()()(kajaiazyx 2.引入直角坐标系后
4、引入直角坐标系后,向量的运算向量的运算:两向量平行的充要条件.注:在(*)式中,规定若某个分母为零相应的分子也为零.a/bzzyyxxbababa1.方向角方向角:非零向量a 与x,y,z 轴正向夹角,称为a 的方向角.2.方向方向余弦余弦:方向角的余弦 cos,cos,cos 称为方向余弦.3.向量的模与方向余弦的坐标表达式向量的模与方向余弦的坐标表达式ayzx0向量的模与方向余弦的坐标表示式向量的模与方向余弦的坐标表示式cos2+cos2+cos2=1222zyxaaa|a|a0|a|a222222222,zyxzzyxyzyxxaaaaaaaaaaaa=(cos,cos,cos)设a0是
5、与a同向的单位向量222222222cos,cos,coszyxzzyxyzyxxaaaaaaaaaaaa设有两个向量 a、b,它们的夹角为,即:a b=|a|b|cos定义定义:将数值|a|b|cos 称为a与b的数量积(或 点积),记作 a b.内积五、五、向量的数量积向量的数量积a b=ax bx+ay by+az bz推论推论:两个向量垂直ax bx+ay by+az bz=0坐标表示式坐标表示式 abc=a b(1)|c|=|a|b|sin(2)c 与a、b所在的平面垂直,(即 c a且c b).c 的指向按右手规则从 a 转向 b 来确定.则将向量c 称为 a 与 b 的向量积,记
6、作:a b.即:c=a b注注:向量积的模的几何意义.以a、b为邻边的平行四边形,其面积等于|a|b|sin,所以a b的模,等于以a、b为邻边的平行四边形的面积.定义定义:设有两个向量 a、b,夹角为,作一个向量c,使得六、两向量的向量积六、两向量的向量积向量积的性质反交换律 a b=b a a b=(aybz azby)i+(azbx axbz)j+(axby ay bx)kzyxzyxbbbaaakji向量积的坐标表示式向量积的坐标表示式1 1 点法式方程点法式方程2 2 一般方程一般方程0 DCzByAx1 czbyax3 3 截距式方程截距式方程0)()()(000 zzCyyBxx
7、A七、空间平面方程七、空间平面方程八八、空间直线方程、空间直线方程1 1 一般方程一般方程 00:22221111DzCyBxADzCyBxALpzznyymxx000 2 2 对称式方程对称式方程3 3 直线的参数方程直线的参数方程 ptzzntyymtxx000t4 4 直线的两点式方程直线的两点式方程121121121zzzzyyyyxxxx 1 1 一一般般形形式式 0),(zyxF；22显函数形式显函数形式 ),(yxfz 解析几何的基本问题:1.已知空间图形,建立和研究它的代数方程.利用代数的优点：精准，易推导。2.已知代数方程,想象出它的几何图形.利用几何的优点：直观。十十、空间
8、曲线、空间曲线 0),(0),(zyxGzyxF1 1 空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程 )()()(tzztyytxx2 2 空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程 十一十一.柱面柱面 给定空间一定曲线 ，如果直线 沿曲线 平行移动，则动直线 所形成的曲面称为柱面；动直线 称为柱面的母线，定曲线 称为柱面的准线。LLL 特殊情况：柱面的母线平行于某坐标轴，而准线在与母线垂直的坐标平面上的柱面。设柱面的母线平行于 轴，准线 是 平面上的一曲线.，求柱面方程。zxoy 只含 而缺 的方程 表示母线平行于 轴，准线是 的柱面；类似地，只含 而缺 的方程 表示母线平行于 轴，准线是 的柱面；只含
9、而缺 的方程 表示母线平行于 轴，准线是 的柱面。zyx,zz0),(yxF00),(:zyxFzy,xx00),(:xzyF0),(zyFzx,yy0),(zxF00),(:yzxF1.平行于坐标轴的柱面2.曲线0,0,zyxGzyxF 轴轴的的柱柱面面是是平平行行于于得得消消去去yxzIy0,:面面上上的的投投影影是是在在 ZOXyxzI 00,面面上上的的投投影影是是在在 YOZxzyJ 00,轴轴的的柱柱面面是是平平行行于于得得消消去去xzyJx0,:投影投影柱面,的的 十二旋转曲面十二旋转曲面 给定空间一直线 与空间曲线 ，曲线 绕直线 旋转一周所形成的曲面称为旋转曲面，定直线 称为
10、旋转曲面的旋转轴。特殊情况：坐标平面上的平面曲线绕该坐标平面上的某坐标轴旋转一周所形成的旋转曲面.设在 平面上的曲线 ，绕 轴旋转一周，求旋转曲面 的方程。LLLyoz00),(:xzyFz (1)曲线 ，绕 轴旋转一周所成的旋转曲面 的方程，只要在方程 中，作如下改动，可得旋转曲面 的方程 00),(:xzyFz0),(zyFzzyxy,220),(22zyxF (2)曲线 ，绕 轴旋转一周 所成的旋转曲面 的方程，只要在方程中 ，作如下改动，可得旋转曲面 的方程00),(:xzyFy0),(zyF22,zxzyy0),(22zxyF (3)曲线 ，绕 轴旋转一周 所成的旋转曲面 的方程，只
11、要在方程中 ，作如下改动，可得旋转曲面 的方程00),(:yxzFz0),(xzF22,yxxzz0),(22yxzF (4)曲线 ，绕 轴旋转一周 所成的旋转曲面 的方程，只要在方程中 ，作如下改动，可得旋转曲面 的方程00),(:yxzFx0),(xzF22,zyzxx0),(22xzyF (5)曲线 ，绕 轴旋转一周 所成的旋转曲面 的方程，只要在方程中 ，作如下改动，可得旋转曲面 的方程00),(:zyxFx0),(yxF22,zyyxx0),(22zyxF (6)曲线 ，绕 轴旋转一周 所成的旋转曲面 的方程，只要在方程中 ，作如下改动，可得旋转曲面 的方程00),(:zyxFy0)
12、,(yxF22,zxxyy0),(22yzxF曲线曲面的4重点：第八章 多元函数微分学 多元函数概念(多个自变量),多元初等函数;多元函数极限的概念及求法;连续性,多元初等函数的连续性;偏导数及几何意义,高阶偏导数,方向导数;全微分及与各导数,连续的相互关系;复合函数求导，注意区分 和；隐函数和方程组求导，注意用公式和不用公式的区别；曲面的切平面与法线，曲线的切线与法平面；极值，最值，条件极值；梯度及性质1ff 第九,十章 多元函数多元函数积分 重积分，线积分的定义：和式的极限；性质同定积分，即：线性，区域可加性，的积分，单调性，估值，中值定理；二重积分计算：1)先x后y，2)先y后x，3)极
13、坐标；三重积分计算：1)先后，2)先后，3)柱面坐标，)球面坐标；几何应用几何应用：曲面面积，体积 第一类曲线积分计算：代入，下限小,上限大；第二类曲线积分计算：代入，下限起点,上限终点 首选格林公式 rdrdddxdyd ,ddrdrdvdzrdrddvdxdydzdvsin,2 ,12222dtzyxdsdxyds dtzdzdtydydtxdx ,物理应用：1.质量元质量元 ddm 体体密密度度体体积积元元),(),(zyxdVd 面面密密度度面面积积元元),(),(yxdd 线线密密度度)(,xdxd );(面面积积元元dSd 弧弧元元dsd dmdI2 距离距离dsFdw:.4 做功
