1、直线与平面垂直的性质1.1.了解用反证法证明直线与平面垂直的性质定理的证明过程了解用反证法证明直线与平面垂直的性质定理的证明过程.2.2.理解直线与平面垂直的性质定理理解直线与平面垂直的性质定理.3.3.掌握直线与平面垂直的性质定理的应用以及掌握直线与平面垂直的性质定理的应用以及“平行平行”与与“垂垂直直”之间的相互转化之间的相互转化.1.1.本课重点是直线与平面垂直的性质定理及其应用本课重点是直线与平面垂直的性质定理及其应用.2.2.本课难点是利用线面垂直的判定和性质定理进行证明时的本课难点是利用线面垂直的判定和性质定理进行证明时的“平行平行”与与“垂直垂直”之间的相互转化之间的相互转化.直
2、线与平面垂直的性质定理直线与平面垂直的性质定理(1)(1)文字语言：垂直于同一平面的两条直线文字语言：垂直于同一平面的两条直线_._.(2)(2)符号语言：符号语言：(3)(3)图形语言：图形语言：(4)(4)作用：线面垂直作用：线面垂直_；作平行线；作平行线.平行平行aabb_._.abab线线平行线线平行1.1.垂直于同一个平面的两条直线一定共面吗？垂直于同一个平面的两条直线一定共面吗？提示：提示：共面共面.由线面垂直的性质定理可知这两条直线是平行的，由线面垂直的性质定理可知这两条直线是平行的，故能确定一个平面故能确定一个平面.2.2.三角形的两边可以垂直于同一个平面吗？三角形的两边可以垂
3、直于同一个平面吗？提示：提示：不可以不可以.若垂直于同一个平面，则这两条边平行，不能若垂直于同一个平面，则这两条边平行，不能构成三角形构成三角形.3.3.过一点有几条直线与已知平面垂直？过一点有几条直线与已知平面垂直？提示：提示：有且只有一条有且只有一条.假设过一点有两条直线与已知平面垂直，假设过一点有两条直线与已知平面垂直，由两条直线均与同一平面垂直的性质定理可得这两条直线平行，由两条直线均与同一平面垂直的性质定理可得这两条直线平行，应无公共点，这与过同一点相矛盾，故只有一条直线应无公共点，这与过同一点相矛盾，故只有一条直线.4.4.垂直于同一条直线的两个平面的位置关系是垂直于同一条直线的两
4、个平面的位置关系是_._.【解析解析】垂直于同一条直线的两个平面互相平行，可由两个平垂直于同一条直线的两个平面互相平行，可由两个平面平行的判定定理推得面平行的判定定理推得.答案：答案：平行平行剖析直线与平面垂直的性质定理剖析直线与平面垂直的性质定理(1)(1)该定理考查的是在直线与平面垂直的条件下，可得出什么该定理考查的是在直线与平面垂直的条件下，可得出什么结论结论.(2)(2)定理给出了判定两条直线平行的另一种方法定理给出了判定两条直线平行的另一种方法(只要判定这两只要判定这两条直线都与同一个平面垂直条直线都与同一个平面垂直).).(3)(3)定理揭示了空间中定理揭示了空间中“平行平行”与与
5、“垂直垂直”关系的内在联系，关系的内在联系，提供了提供了“垂直垂直”与与“平行平行”关系相互转化的依据关系相互转化的依据.(4)(4)定理的推证过程采用了反证法定理的推证过程采用了反证法.对直线与平面垂直的性质定理的理解对直线与平面垂直的性质定理的理解【技法点拨技法点拨】1.1.直线与平面垂直的性质定理的作用直线与平面垂直的性质定理的作用(1)(1)直线与平面垂直的性质定理阐明了在两条直线均与同一平直线与平面垂直的性质定理阐明了在两条直线均与同一平面垂直的条件下，可得出直线与直线平行的结论面垂直的条件下，可得出直线与直线平行的结论.(2)(2)该定理可用来判定两直线平行，揭示了该定理可用来判定
6、两直线平行，揭示了“平行平行”与与“垂直垂直”这两种特殊位置关系之间的转化这两种特殊位置关系之间的转化.2.2.三个常见结论三个常见结论(1)(1)若两条平行线中的一条垂直于平面，则另一条也垂直于该若两条平行线中的一条垂直于平面，则另一条也垂直于该平面平面.(2)(2)过一点有且只有一条直线与已知平面垂直过一点有且只有一条直线与已知平面垂直.(3)(3)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直过一点有且只有一个平面与已知直线垂直.【典例训练典例训练】1.1.ABCABC所在的平面为所在的平面为，直线，直线lAB,AB,lAC,AC,直线直线mBC,mAC,mBC,mAC,则不重合的直线则不重合的直
7、线l，m m的位置关系是的位置关系是()()(A)(A)相交相交 (B)(B)异面异面 (C)(C)平行平行 (D)(D)不确定不确定2.2.若若a,ba,b表示直线表示直线(不重合不重合)，表示平面，有下列说法：表示平面，有下列说法：a,ba,bab;ab;a,aba,abb;b;a,aba,abb;b;a,ba,bab.ab.其中正确的序号是其中正确的序号是_._.【解析解析】1.1.选选C.C.直线直线lAB,AB,lAC,AC,且且ABAC=A,ABAC=A,l平面平面，同理直线同理直线mm平面平面.由线面垂直的性质定理可得由线面垂直的性质定理可得lm.m.2.2.由线面垂直的定义及性
8、质定理可知，正确；中由线面垂直的定义及性质定理可知，正确；中b b可能可能满足满足b b，故错误；中，故错误；中b b可能与可能与相交但不垂直，也可能相交但不垂直，也可能平行，故不正确平行，故不正确.答案：答案：【变式训练变式训练】若若l，m m，n n表示不重合的直线，表示不重合的直线，表示平面，则下表示平面，则下列说法中正确的个数为列说法中正确的个数为()()lm,mn,m,mn,ln;n;lm,m,nm,m,nln;n;m,nm,nmn.mn.(A)1 (B)2 (C)3 (D)0(A)1 (B)2 (C)3 (D)0【解析解析】选选C.C.正确，正确，lm,mn,m,mn,ln.n.又
9、又l,n;,n;正确正确.lm,m,m,m,l.又又n,n,ln;n;正确，由线面垂直的定义可知其正确正确，由线面垂直的定义可知其正确.故正确的有故正确的有3 3个个.线面垂直的性质定理的应用线面垂直的性质定理的应用【技法点拨技法点拨】证明线线平行的方法证明线线平行的方法(1)(1)在平面内证明线线平行的方法在平面内证明线线平行的方法三角形、梯形中位线的性质三角形、梯形中位线的性质.平行四边形对边平行的性质平行四边形对边平行的性质.平行线分线段成比例的性质平行线分线段成比例的性质.两直线平行的判定两直线平行的判定(如两直线被第三条直线所截，若同位角如两直线被第三条直线所截，若同位角相等，则两直
10、线平行相等，则两直线平行).).(2)(2)空间中两直线平行的判定空间中两直线平行的判定线线平行的定义：证共面且无公共点线线平行的定义：证共面且无公共点.平行公理平行公理.线面平行的性质定理线面平行的性质定理.面面平行的性质定理面面平行的性质定理.线面垂直的性质定理线面垂直的性质定理.【典例训练典例训练】1.1.设设l是直线，是直线，是两个不同的平面是两个不同的平面()()(A)(A)若若l,l，则，则(B)(B)若若l，l，则，则(C)(C)若若,l,则则l(D)(D)若若,l,则则l2.2.如图所示，如图所示，ABCABC是正三角形，是正三角形，AEAE和和CDCD都垂直于平面都垂直于平面
11、ABCABC，且，且AE=AB=2aAE=AB=2a，CD=aCD=a，F F为为BEBE的中点的中点.求证：求证：DFDF平面平面ABC.ABC.【解析解析】1.1.选选B.B.若若l,l，则，则,可能相交故可能相交故A A错；若错；若l，则平面，则平面内必存在一直线内必存在一直线m m与与l平行，则平行，则mm，又，又m m，故故,故故B B对；若对；若,l,则则l或或l,故故C C错错;若若,l则则l与与关系不确定，故关系不确定，故D D错错2.2.解题流程：解题流程：线线平行线线平行线面垂直线面垂直线线平行线线平行线面平行线面平行取取ABAB的中点的中点G G，连接，连接FGFG、GC
12、GC，则，则FGFG为为BEABEA中位线，中位线，FGAE.FGAE.AEAE平面平面ABCABC，FGAEFGAE，FGFG平面平面ABC.ABC.FGFG平面平面ABC,CDABC,CD平面平面ABCABC，FGCDFGCD，又，又FG=AE=CD=aFG=AE=CD=a，四边形四边形CDFGCDFG为平行四边形，为平行四边形，FDCG.FDCG.12FDCG,CGFDCG,CG平面平面ABCABC，DFDF平面平面ABC.ABC.A AG GB BC CD DE EF F【互动探究互动探究】在本题在本题2 2中试求证中试求证AFBD.AFBD.【解题指南解题指南】证明证明AFBDAFB
13、D可以转化为证明可以转化为证明AFAF平面平面BDE.BDE.【证明证明】取取ABAB的中点的中点G G，连接，连接FGFG、GC.GC.AEAE平面平面ABCABC，CGCG平面平面ABC,CGAE.ABC,CGAE.又又ABCABC是正三角形，且是正三角形，且G G为为ABAB的中点的中点,CGAB.CGAB.又又AEAB=A,CGAEAB=A,CG平面平面ABE.ABE.又又AFAF平面平面ABE,AFCG.ABE,AFCG.由例题知由例题知DFCG.AFDF.DFCG.AFDF.而而EA=ABEA=AB，F F为为BEBE中点中点.AFBE.AFBE.又又BEDF=F,BEDF=F,A
14、FAF平面平面BDE,AFBD.BDE,AFBD.【思考思考】解答题解答题1 1，2 2的关键是什么？的关键是什么？提示：提示：(1)(1)解答题解答题1 1的关键是利用题中的垂直关系证得的关键是利用题中的垂直关系证得a a与与l垂直垂直于同一个平面于同一个平面.(2)(2)解答题解答题2 2的关键是在平面的关键是在平面ABCABC中找一直线与直线中找一直线与直线DFDF平行平行.【变式训练变式训练】如图所示，如图所示，正方体正方体A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1-ABCD-ABCD中，中，EFEF与异面直线与异面直线ACAC，A A1 1D D都垂直相交都垂直相交.求证：求证
15、：EFBDEFBD1 1.【解题指南解题指南】条件中以垂直最多，因此可通过证明条件中以垂直最多，因此可通过证明EFEF，BDBD1 1与平与平面面ABAB1 1C C垂直，利用线面垂直的性质定理证明线线平行，为此需垂直，利用线面垂直的性质定理证明线线平行，为此需作出辅助面作出辅助面.【证明证明】如图所示，连接如图所示，连接ABAB1 1,B,B1 1D D1 1,B,B1 1C,BD.C,BD.DDDD1 1平面平面ABCDABCD，ACAC平面平面ABCDABCD，DDDD1 1AC.AC.又又ACBDACBD，DDDD1 1BD=D,BD=D,ACAC平面平面BDDBDD1 1B B1 1
16、.又又BDBD1 1平面平面BDDBDD1 1B B1 1,ACBDACBD1 1.同理可证同理可证BDBD1 1BB1 1C.C.又又B B1 1CAC=C,CAC=C,BDBD1 1平面平面ABAB1 1C.C.EFAC,EFAEFAC,EFA1 1D,D,又又A A1 1DBDB1 1C,C,EFBEFB1 1C.C.又又ACBACB1 1C=C,C=C,EFEF平面平面ABAB1 1C,EFBDC,EFBD1 1.线面垂直的性质的综合应用线面垂直的性质的综合应用【技法点拨技法点拨】线面垂直与平行的相互转化线面垂直与平行的相互转化(1)(1)空间中直线与直线垂直、直线与平面垂直、直线与直
17、线平空间中直线与直线垂直、直线与平面垂直、直线与直线平行可以相互转化行可以相互转化.每一种垂直与平行的判定都是从某种垂直与每一种垂直与平行的判定都是从某种垂直与平行开始转化为另一种垂直与平行，最终达到目的的平行开始转化为另一种垂直与平行，最终达到目的的.(2)(2)转化关系：转化关系：线线垂直线线垂直 线面垂直线面垂直 线线平行线线平行 判定定理定义 性质定理定理【典例训练典例训练】1.(20121.(2012浙江高考浙江高考)设设l是直线，是直线，是两个不同的平是两个不同的平面面()()(A)(A)若若l,l，则，则(B)(B)若若l，l，则，则(C)(C)若若,l,则则l(D)(D)若若,
18、l,则则l 2.2.如图所示，在直四棱柱如图所示，在直四棱柱ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，已知中，已知DC=DDDC=DD1 1=2AD=2AB,ADDC,ABDC.2AD=2AB,ADDC,ABDC.(1)(1)求证：求证：D D1 1CACCAC1 1;(2)(2)设设E E是是DCDC上的一点，试确定上的一点，试确定E E的位置，使的位置，使D D1 1EE平面平面A A1 1BDBD，并，并说明理由说明理由.【解析解析】1.1.选选B.B.若若l,l，则，则,可能相交，故可能相交，故A A错；错；若若l，则平面，则平面内必存在一直线内必存在一直线
19、m m与与l平行，又平行，又l，则，则mm，又，又m m，故，故,故故B B对；若对；若,l,则则l或或l,故故C C错错;若若,l，则，则l与与关系不确定，故关系不确定，故D D错错2.(1)2.(1)连接连接C C1 1D,DC=DDD,DC=DD1 1,四边形四边形DCCDCC1 1D D1 1是正方形是正方形,DC,DC1 1DD1 1C.C.ADDC,ADDDADDC,ADDD1 1,DCDD,DCDD1 1=D,=D,ADAD平面平面DCCDCC1 1D D1 1.又又D D1 1C C平面平面DCCDCC1 1D D1 1,ADD,ADD1 1C.C.又又ADDCADDC1 1=
20、D,=D,DD1 1CC平面平面ADCADC1 1，D D1 1CACCAC1 1.(2)(2)如图，连接如图，连接ADAD1 1,AE,D,AE,D1 1E,E,设设ADAD1 1AA1 1D=MD=M，BDAE=NBDAE=N，连接连接MN.MN.平面平面ADAD1 1EE平面平面A A1 1BD=MNBD=MN，要使要使D D1 1EE平面平面A A1 1BDBD，需使，需使MNDMND1 1E E，又又M M是是ADAD1 1的中点，的中点，N N是是AEAE的中点，又易知的中点，又易知ABNABNEDNEDN，AB=DE.AB=DE.即即E E是是DCDC的中点的中点.综上所述，当综
21、上所述，当E E是是DCDC的中点时，可使的中点时，可使D D1 1EE平面平面A A1 1BD.BD.A AB BC CD DN NE EM MB B1 1C C1 1D D1 1A A1 1【变式训练变式训练】如图，在直四棱柱如图，在直四棱柱A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1-ABCD-ABCD中，当底面四边中，当底面四边形形ABCDABCD满足什么条件时，有满足什么条件时，有A A1 1CBCB1 1D D1 1？(注：写出一个你认为注：写出一个你认为正确的条件即可，不必考虑所有可能的情形正确的条件即可，不必考虑所有可能的情形)【解析解析】连接连接BD.BDBBD.BDB1
22、 1D D1 1，要使要使A A1 1CBCB1 1D D1 1，即使，即使A A1 1CBD.CBD.又又A A1 1AAAA1 1C=AC=A1 1，BDBD平面平面A A1 1AC.AC.ACAC平面平面A A1 1ACAC，ACBD.ACBD.由以上分析知，要使由以上分析知，要使A A1 1CBCB1 1D D1 1，须使，须使ACBDACBD，或任何可能推导，或任何可能推导出出ACBDACBD的条件，如四边形的条件，如四边形ABCDABCD是正方形、菱形等是正方形、菱形等.【规范解答规范解答】线面垂直证线线平行线面垂直证线线平行【典例典例】(12(12分分)如图所示，在正方体如图所示
23、，在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，M M是是ABAB上上一点，一点，N N是是A A1 1C C的中点，的中点，MNMN平面平面A A1 1DC.DC.求证：求证：(1)MNAD(1)MNAD1 1；(2)M(2)M是是ABAB的中点的中点.【解题指导解题指导】【规范解答规范解答】(1)ADD(1)ADD1 1A A1 1为正方形，为正方形，ADAD1 1AA1 1D.D.1 1分分又又CDCD平面平面ADDADD1 1A A1 1，CDADCDAD1 1.3 3分分A A1 1DCD=D,DCD=D,ADAD1 1平面平面A A1 1DCDC
24、.4 4分分又又MNMN平面平面A A1 1DC,MNADDC,MNAD1 1.6 6分分(2)(2)连接连接ONON，在，在A A1 1DCDC中，中，A A1 1O=ODO=OD，A A1 1N=NCN=NC，ON CD AB,ON CD AB,ONAM.ONAM.8 8分分又又由由(1)(1)可知可知MNOAMNOA，四边形四边形AMNOAMNO为平行四边形为平行四边形,ON=AM.,ON=AM.ON=AB,AM=AB,ON=AB,AM=AB,1111分分M M是是ABAB的中点的中点.1212分分12/12/1212【规范训练规范训练】(12(12分分)在四棱锥在四棱锥PABCDPAB
25、CD中，中，PAPA平面平面ABCDABCD，且，且四边形四边形ABCDABCD是矩形，是矩形，AEPDAEPD于于E E，l平面平面PCDPCD，求证：，求证：lAE.AE.【解题设问解题设问】(1)(1)本题给出的条件中都有哪几类垂直关系？本题给出的条件中都有哪几类垂直关系？_.(2)(2)若证线线平行，可利用的根据是什么？若证线线平行，可利用的根据是什么？只要证得只要证得_,利用利用_定理定理,即可证即可证明明lAE.AE.线面垂直和线线垂直线面垂直和线线垂直AEAE平面平面PCDPCD线面垂直的性质线面垂直的性质【规范答题规范答题】PAPA平面平面ABCDABCD，CDCD平面平面AB
26、CDABCD，PACD.PACD.4 4分分又又CDADCDAD，PAAD=APAAD=A，CDCD平面平面PAD.PAD.又又AEAE平面平面PADPAD，AEDC.AEDC.8 8分分又又AEPDAEPD，PDCD=DPDCD=D，AEAE平面平面PCD.PCD.又又l平面平面PCDPCD，AEAEl.1212分分 1.1.直线直线l垂直于平面垂直于平面，m m，则有，则有()()(A)(A)lm (B)m (B)l和和m m异面异面(C)(C)l和和m m相交相交 (D)(D)l和和m m不平行不平行达标训练2.2.已知已知l与与m m是两条不同的直线，且直线是两条不同的直线，且直线l平
27、面平面，若直，若直线线mml，则，则mm；若；若mm，则，则mml；若；若m m，则，则mml；若若mml，则，则m.m.上述判断正确的是上述判断正确的是()()(A)(A)(B)(B)(C)(C)(D)(D)3.3.点点P P到平面四边形到平面四边形ABCDABCD四个顶点的距离相等，则四边形四个顶点的距离相等，则四边形ABCDABCD是是()()(A)(A)某圆的内接四边形某圆的内接四边形 (B)(B)某圆的外切四边形某圆的外切四边形(C)(C)正方形正方形 (D)(D)任意四边形任意四边形4.4.菱形菱形ABCDABCD在平面在平面内，内，PCPC，则，则PAPA与与BDBD的位置关系是的位置关系是_._.5 5如图，四棱锥如图，四棱锥P-ABCDP-ABCD中，中，PAPA底面底面ABCDABCD，ABADABAD，点，点E E在线段在线段ADAD上，且上，且ABCE.ABCE.求证：求证：CECE平面平面PAD.PAD.
