1、平面与平面垂直的判定1.理解二面角，面面垂直的概念.2.掌握二面角的平面角，面面垂直的判定定理.3.能够利用面面垂直的判定定理判断或证明有关面面垂直的问题.1.本课重点是面面垂直的判定定理以及应用.2.本课难点是二面角的概念的理解以及求法.1.二面角(1)定义：从一条直线出发的_所组成的图形.(2)相关概念：这条直线叫二面角的_，两个半平面叫二面角的_.两个半平面棱面(3)画法：(4)记法：二面角_或_或_.-l-P-AB-QP-l-Q(5)二面角的平面角:则二面角-l-的平面角是_.(6)范围：_.AOB0二面角1802.两个平面互相垂直(1)定义:两个相交平面，所成的二面角是_.(2)画法
2、：通常把直立平面的竖边画成与水平面的_.(3)记作：_.直二面角横边垂直平面平面3.两平面垂直的判定定理(1)自然语言条件：一个平面过另一个平面的_.结论：两平面_.垂线垂直(2)图形语言(3)符号语言_.ll1.剖析二面角(1)二面角的平面角可以度量二面角的大小，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度，约定二面角的取值范围是0,，平面角是直角的二面角叫做直二面角.(2)构成二面角的平面角的三要素角的顶点在二面角的棱上；角的两边分别在表示二面角的两个半平面内；角的两边分别和二面角的棱垂直.2.对面面垂直的判定定理的理解(1)该定理可简记为“线面垂直，则面面垂直”.(2)定理的关键词是“
3、过另一面的垂线”，所以应用的关键是在平面内寻找另一个面的垂线.(3)线、面之间的垂直关系存在如下转化特征：线线垂直线面垂直面面垂直，这体现了立体几何问题求解的转化思想，应用时要灵活把握.面面垂直的判定与证明【技法点拨】证明面面垂直的方法(1)定义法:即说明两个半平面所成的二面角是直二面角;(2)判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为“线面垂直”；(3)性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面.【典例训练】1.(2012新课标全国高考)如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直底面，ACB=90，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中
4、点.(1)证明：平面BDC1平面BDC;(2)平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.122.如图所示，已知BSC=90，BSA=CSA=60,又SA=SB=SC.求证：平面ABC平面SBC.【解析】1.(1)由题设知BCCC1，BCAC，CC1AC=C，所以BC平面ACC1A1，又DC1平面ACC1A1，所以DC1BC.由题设知A1DC1=ADC=45，所以CDC1=90，即DC1DC.又DCBC=C，所以DC1平面BDC，又DC1平面BDC1，故平面BDC1平面BDC.(2)设棱锥B-DACC1的体积为V1,AC=1，由题意得V1=又三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=1，所以(
5、V-V1)V1=11.故平面BDC1分此棱柱所得两部分体积的比为11.11211 1322 .2.方法一：(利用定义证明)BSA=CSA=60，SA=SB=SC，ASB和ASC是等边三角形，则有SA=SB=SC=AB=AC，令其值为a，则ABC和SBC为共底边BC的等腰三角形.取BC的中点D，如图所示，连接AD，SD，则ADBC，SDBC，ADS为二面角A-BC-S的平面角.在RtBSC中，SB=SC=a，SD=BD=.在RtABD中，AD=在ADS中，SD2+AD2=SA2,ADS=90，即二面角A-BC-S为直二面角，故平面ABC平面SBC.2a2，BC2a222a2，方法二：(利用判定定
6、理)SA=SB=SC，且BSA=CSA=60,SA=AB=AC，点A在平面SBC上的射影为SBC的外心.SBC为直角三角形，点A在SBC上的射影D为斜边BC的中点，AD平面SBC.又AD平面ABC，平面ABC平面SBC.【变式训练】如图，在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中，ADBC，ABC=90，PA平面ABCD，ACBD=E，AD=2，AB=2 ，BC=6.求证：平面PBD平面PAC.3【解题指导】条件中给出了线面垂直及底面梯形的形状.证明本题的突破口是设法在其中一个平面内找一条直线垂直于另外一个平面.【证明】PA平面ABCD，BD平面ABCD，BDPA.又tanABD=,tanBAC=
7、ABD=30,BAC=60,AEB=90,即BDAC.又PAAC=A，BD平面PAC.BD平面PBD，所以平面PBD平面PAC.AD3AB3BC3AB,【规范解答】线面垂直的综合应用【典例】(12分)如图所示，已知三棱锥P-ABC，ACB=90，CB=4，AB=20，D为AB的中点，且PDB是正三角形，PAPC.(1)求证：平面PAC平面ABC；(2)求二面角D-AP-C的正弦值；(3)若M为PB的中点，求三棱锥M-BCD的体积.【解题指导】【规范解答】(1)D是AB的中点，PDB是正三角形，AB=20，PD=AB=10，APPB.又APPC，PBPC=P，AP平面PBC.2分又BC平面PBC
8、，APBC.又ACBC，APAC=A，BC平面PAC.又BC平面ABC，平面PAC平面ABC.4分12(2)PAPC,且PAPB，BPC是二面角D-AP-C的平面角.由(1)知BC平面PAC，则BCPC，sinBPC=8分BC2PB5.(3)D为AB的中点，M为PB的中点，DM PA，且DM=由(1)知PA平面PBC，DM平面PBC，SBCM=SPBC=VM-BCD=VD-BCM=12分12/5 3，122 21，15 32 2110 73.【规范训练】(12分)在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA平面ABCD，PDMA，E，G，F分别为MB，PB，PC的中点，且AD=PD=2M
9、A.(1)求证：平面EFG平面PDC；(2)求三棱锥P-MAB与四棱锥P-ABCD的体积之比.【解题设问】(1)在证明(1)中，可先证明BC垂直于哪一个平面？BC_.(2)求解三棱锥P-MAB的体积的关键是什么？_，由PDMA可将距离转化为点_到平面MAB的距离.平面PDC关键是求点P到平面MAB的距离D【规范答题】(1)由已知MA平面ABCD，PDMA，所以PD平面ABCD.又BC平面ABCD，所以PDBC.2分因为四边形ABCD为正方形，所以BCDC.又PDDC=D，因此BC平面PDC.4分在PBC中，因为G，F分别为PB，PC的中点，所以GFBC，因此GF平面PDC.又GF平面EFG，所
10、以平面EFG平面PDC.6分(2)因为PD平面ABCD，四边形ABCD为正方形，不妨设MA=1，则PD=AD=2，所以VP-ABCD=S正方形ABCDPD=.8分由于DA平面MAB，且PDMA，所以DA的长即为点P到平面MAB的距离.三棱锥VP-MAB=10分所以VP-MABVP-ABCD=14.12分 13831121 2 2323 ,1.对于直线m，n和平面，能得出的一个条件是()(A)mn,m,n(B)mn,=m,n(C)mn,n,m(D)mn,m,n2.过空间一点的三条直线两两垂直，则由它们确定的平面中互相垂直的有()(A)0对 (B)1对 (C)2对 (D)3对2.过空间一点的三条直
11、线两两垂直，则由它们确定的平面中互相垂直的有()(A)0对 (B)1对 (C)2对 (D)3对1【解析】选C.mn,n则m，又m，所以.2【解析】选D.三条直线两两垂直,其中任何一条直线都垂直于另两条直线确定的平面，从而过此直线的两个平面垂直于另两条直线确定的平面(如墙角).3.m，n是互不垂直的异面直线，平面，分别过m，n，则下列关系中，不可能成立的是()(A)n (B)(C)m (D)3.m，n是互不垂直的异面直线，平面，分别过m，n，则下列关系中，不可能成立的是()(A)n (B)(C)m (D)【解析】选C.m时，n,则m，n互相垂直，与已知条件矛盾，所以m不可能成立.5.如图所示，在RtAOB中，ABO=，斜边AB=4，RtAOC可以通过RtAOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角B-AO-C是直二面角，D是AB的中点.求证：平面COD平面AOB.6【证明】由题意知，COAO，BOAO，BOC是二面角B-AO-C的平面角，又二面角B-AO-C是直二面角，COBO.又AOBO=O,CO平面AOB.CO平面COD，平面COD平面AOB.
