1、必胜策略对称法找必胜策略课前铺垫课前铺垫取棋子必胜策略（1）若每次取1n，则取到最后一枚棋子者获胜的条件：总棋子数（n+1）=商余数取最后一个数或走最后一步获胜的条件：（2）若数量或图形不对称，则先取者必胜，先取者取完后要使数量或图形对称即可。（1）若数量或图形已经对称，则后取者必胜；若余数为0，则后取棋子者有必胜策略；若余数不为0，则先取棋子者有必胜策略，且先取的棋子数为余数。（2）取到最后一枚棋子者输的条件：（总棋子数-1）后与（1）是一样的。逆推法找胜负点逐步倒推，找出必胜点和必败点 总结：若数量已经对称，则后取者必胜；若数量不对称，则先取者必胜。分析：例题例题1 1：有两堆小球，小东、
2、小芳两人轮流从中取球，每次只能从同一堆中取，个数不为零即可，规定取到最后一个球的人赢。现在小东先取球。（1）如果开始时两堆球数分别是 2 个和 2 个，那么谁有必胜策略？请说明理由。（2）如果开始时两堆球数分别是 2 个和 3 个，那么谁有必胜策略？请说明理由。（3）如果开始时两堆球数分别是 7 个和 9 个，那么谁有必胜策略？请说明理由。知识点一：对称法找必胜策略若数量不对称，则先取者必胜，先取者取完后要使数量对称即可。（1）起始状态，两堆球数一样多，小芳后取，小芳有必胜策略。此时无论小东怎么取，小芳都可以从另一堆取相同数量的球，最终必是小芳取到最后一球。（2）起始状态，两堆球数不一样多，小
3、东先取，小东有必胜策略。此时小东只需要先在有3个小球的那一堆中取出1个小球，使剩下的两堆小球的数量一样，则小东就必胜了。（3）起始状态，两堆球数不一样多，小东先取，小东有必胜策略。此时小东只需要先在有9个小球的那一堆中取出2个小球，使剩下的两堆小球的数量一样，则小东就必胜了。练习练习1 1：小东、小芳两个人分两堆金币，一堆有2017个，一堆有 2020个。小东、小芳轮流从中拿金币，每次只能从同一堆中拿，个数不为零即可，规定拿到最后一个金币的人为胜者，胜者可以获得所有金币。如果小东先拿，那么谁有必胜策略？必胜策略是什么？。起始状态，两堆金币数不一样多，小东先取，小东有必胜策略。此时小东只需要先从
4、有2020个金币的那一堆中取出3个金币，使剩下的两堆金币的数量一样多，则小东就必胜了。例题例题2 2：下图是一副4008棋。甲、乙两人玩棋，分别各取红、黑一方。规定：下棋时，每人只能走己方的任意一枚棋子，每枚棋子每次可以走一格或几格，红棋从左至右走，黑棋从右至左走。但不能跳过对方棋子走，也不能重叠在对方有棋子的格子里，直到谁无法走棋时，谁就失败。甲先走 棋，乙后走棋，谁有必胜策略？必胜策略是什么？分析：知识点一：对称法找必胜策略若图形已经对称，则后走者必胜；若图形不对称，则先走者必胜，先走者走完后要使图形对称即可。甲先将第4行的红棋向右移动4格，使第4行两棋之间的间隔数和第1行的两棋之间的间隔
5、数相等。甲有必胜策略。以后无论乙移动某行中的黑棋多少格，则甲只要在对应的行中移动红色的棋子，向相反的方向移动相同的格数即可。总结：若图形已经对称，则后走者必胜；若图形不对称，则先走者必胜。练习练习2 2：下图是一种“红黑棋”。甲、乙两人玩棋，分别各取红、黑一方。规定：下棋时，每人每次只能走己方的任意一枚棋子，每枚棋子每次可以走一格或几格，红棋从左向右走，黑棋从右向左走，但不能跳过对方棋子走，也不能重叠在对方有棋子的格子中，直到谁无法走棋时，谁就失败。甲先走棋，乙后走棋，甲有没有必胜策略？若有，必胜策略是什么？甲有必胜策略。甲先将第1行的红棋向右移动3格，使第1行两个棋子之间的间隔数和第2行的两
6、个棋子之间的间隔数相等。以后无论乙移动某行中的黑棋多少格，则甲只要在对应的行中移动红色的棋子，向相反的方向移动相同的格数即可。例题例题3 3：有 13枚棋子，甲、乙两人轮流取，规定每次至少取1 枚，最多取3 枚，取走最后一枚棋子者获胜。如果甲先取，那么谁有必胜策略？必胜策略是什么？知识点二：取棋子必胜策略分析：每次取13，则取到最后一枚棋子者获胜的条件：总棋子数（3+1）=商余数若余数为0，则后取棋子者有必胜策略；若余数不为0，则先取棋子者有必胜策 略，且先取的棋子数为余数。13（1+3）=3（组）1（个）甲先取，甲有必胜策略。甲先取1枚棋子，之后若乙取1枚，则甲就取3枚；乙若取2枚，甲就取2
7、枚；乙若取3枚，甲就取1枚。这样，每个回合就被取走4枚棋子，最终一定是甲获胜。总结：若每次取1n，则取到最后一枚棋子者获胜的条件：总棋子数（n+1）=商余数。若余数为0，则后取棋子者有必胜策略；若余数不为0，则先取棋子者有必胜策略，且先取的棋子数为余数。练习练习3 3：有 10枚棋子，甲、乙两人轮流取，规定每次至少取1 枚，最多取2 枚，取走最后一枚棋子者获胜。如果甲先取，那么谁有必胜策略？必胜策略是什么？10（1+2）=3（组）1（个）甲先取，甲有必胜策略。甲先取1枚棋子，之后若乙取1枚，则甲就取2枚；乙若取2枚，甲就取1枚。这样，每个回合就被取走3枚棋子，最终一定是甲获胜。例题例题4 4：
8、1000个空格排成一行，最左端的空格中放有一枚棋子，甲先乙后轮流向右移动棋子，每次移动2 至 4 格，将棋子移到最后一格者获胜。甲要想胜出，必须第一步向右移动多少格？分析：知识点二：取棋子必胜策略每次移动2至4格，每个回合，都可以控制一共移动6格1000个空格，从最左边移动到最右边，一共移动了999格9996=166（组）3（格）9996=166（组）3（格）甲第一步就应该向右移动3格。甲先走，甲要想胜出。之后乙若移动2格，则甲就移动4格；乙若移动3格，则甲就移动3格；乙若移动4格，则甲就移动2格；这样，每个回合棋子都向右移动6格，最后一定是甲获胜。答：甲要想胜出，第一步就应该向右移动3格。总
9、结：要理解取棋子必胜策略的核心思想，倒推思想，用到带余除法。练习练习4 4：101个空格排成一行，最左端的空格中放有一枚棋子，甲先乙后轮流向右移动棋子，每次移动 2、4 或 6 格，将棋子移到最后一格者获胜。甲要想胜出，必须第一步向右移动多少格？1008=12（组）4（格）甲第一步就应该向右移动4格。甲先走，甲要想胜出。之后乙若移动2格，则甲就移动6格；乙若移动4格，则甲就移动4格；乙若移动6格，则甲就移动2格；再经过12个回合后，甲就获胜了。答：甲要想胜出，第一步就应该向右移动4格。这样，后面还能再走96格就到了最右端。968=12（组）每个回合棋子都向右移动8格 例题例题5 5：如图：方格
10、A 中放有一枚棋子，甲先乙后轮流移动这枚棋子，只能向上、向右或向右上方沿45角走一步，先将棋子走到方格B 的人获胜。谁一定能获胜？必胜策略是什么？知识点三：逆推法找胜负点分析：总结：在解决问题时，有时直接从正面按顺序不好解决，可以考虑由结果出发，进行倒推。倒推由表可知，先走者，一步就能先抢占必胜点；谁先走谁必胜，甲先走，所以甲必胜。练习练习5 5：如图：方格A 中放有一枚棋子，甲先乙后轮流移动这枚棋子，只能向上、向右或向右上方沿45 角走一步，先将棋子走到方格B 的人获胜。谁有必胜策略？必胜策略是什么？由表可知，先走者，一步不能先抢占必胜点，只能走到必败点；谁先走谁必输，甲先走，所以乙必胜。例
11、题例题6 6：如图：方格A 中放有一枚棋子，甲先乙后轮流移动这枚棋子，只能向上、向右或向右上方沿 45角走，每次可以走一格或多格，先将棋子走到方格B 的人获胜。谁一定能获胜？必胜策略是什么？分析：知识点三：逆推法找胜负点倒推由表可知，先走者，一步就能先抢占必胜点；谁先走谁必胜，甲先走，所以甲必胜。总结：在解决问题时，有时直接从正面按顺序不好解决，可以考虑由结果出发，进行倒推。练习练习6 6：如图：方格A 中放有一枚棋子，甲先乙后轮流移动这枚棋子，每次可以将棋子向上、向右或向右上方沿 45 角移动一格或多格，但不能走出棋盘，先将棋子走到方格B 的人获胜。谁一定能获胜？必胜策略是什么？由表可知，先
12、走者，一步就能先抢占必胜点；谁先走谁必胜，甲先走，所以甲必胜。例题例题7 7：如图：将一枚棋子放在A格，双方轮流移动棋子，只能向右、向上或向右上方沿45 角移动，一次可移动任意格。谁先把棋子移进顶格 B，谁就获胜。先走者必胜还是后走者必胜？必胜策略是什么？分析：知识点三：逆推法找胜负点倒推由表可知，先走者，一步不能先抢占必胜点。而后走者，在先走者的基础上，一步就能抢占必胜点。后走者必胜。总结：逆推思想，是很常用的一种思想，要会灵活应用。课后作业：1、有两堆小球，每堆各有3个球。小东、小芳两人轮流从中取球，每次只能从同一堆中取，个数不为零即可，规定取到最后一个球的人赢。现在小东先取球，那么谁有必
13、胜 策略？必胜策略是什么？两堆小球数量已经对称，都是3个后取者必胜，小芳后取，小芳必胜。2、甲、乙两人玩下图中的棋，分别各取红、黑一方。规定：下棋时，每人只能走己方的一枚棋子，每枚棋子每次可以走一格或多格，红棋从左至右走，黑棋从右至左走，但不能跳过对方的棋子走，也不能重叠在对方有棋子的格子里，直到谁无法走棋时谁就失败。甲先走棋，乙后走棋，那么谁有必胜策略？两行棋中，红黑棋间间隔数相同，已经对称。后走者必胜，乙后走棋，乙有必胜策略。3、有 4 枚棋子，甲、乙两人轮流取，规定每次至少取1 枚，最多取3 枚，取走最后一枚棋子者获胜。如果甲先取，那么谁有必胜策略？乙有必胜策略。4、5 个空格排成一行，
14、最左端的空格中放有一枚棋子，甲先乙后轮流向右移动棋子，每次移动1 至 2 格，将棋子移到最后一格者获胜。甲要想获胜，必须第一步向右移动多少格？43=1（组）1（格）甲先走，甲要想胜出，第一步应向右移动1格。5、如图：方格A 中放有一枚棋子，甲先乙后轮流移动这枚棋子，只能向上、向右或向右上方沿45角走一格，最终将棋子走到方格B的人获胜。乙发现当自己走到某些方格时，甲再走一步，就能到达B，获得胜利。请你在下图中找到这些方格，并用“”在方 格中标注出来。如下图所示。6、如图：小东和小芳玩棋盘抢旗的游戏。两人从棋盘的左下角出发，轮流移动棋子，小东先小芳后，两人都只能向上、向右或向右上方沿45角方向移动
15、棋子，一次可以向一个方向移动一格或多格。谁把棋子走到顶格夺取红旗，谁就获胜。小东发现当自己走到某些方格时，小芳再走一次就能夺取红旗。请你在下图中找到这些方格，并用“”在方格中标注出来。如下图所示。7、有两堆火柴，一堆35根，另一堆24根，甲、乙两人轮流在其中任意一堆中取火柴，取的根数不限，但不能不取，取得最后一根者获胜。甲先取，他有必胜策略吗？如果有，必胜策略是什么？起始一堆35根，一堆24根，数量不一样多，先取者必胜。甲先取，甲有必胜策略。3524=11（根）第一次取时在35根那堆取11根。8、如图：甲、乙两人玩棋，分别各取红、黑一方。规定：下棋时，每人每次只能走己方的一枚棋子，每枚棋子每次
16、可以走一格或几格，红棋从左至右走，黑棋从右至左走，但不能跳过对方的棋子走，也不能重叠在对方有棋子的格子里，直到谁无法走棋时，谁就失败。甲先走棋，乙后走棋，谁有必胜策略？起始时，第一行两棋子间的间隔数和第二行的不一样多，则先走者有必胜策略。甲先走棋，甲有必胜策略。甲第一次走时，把第一行的红棋向右移动4格。9、桌子上放着100根火柴，甲、乙两人轮流取，每次取走1 至 5 根，谁取走最后一根火柴，谁获胜。如果双方都采用最佳策略，甲先取，那么谁将获胜？100（1+5）=16（组）4（根）甲先取4根火柴之后若乙取1根，则甲就取5根；乙若取2根，则甲就取4根；乙若取3根，则甲就取3根；乙若取4根，则甲就取
17、2根；乙若取5根，则甲就取1根.每个回合凑成6根。答：最终将是甲获胜。有余数，先拿者有必胜策略。甲先取，甲将获胜10、30个空格排成一行，最左端的空格中放有一枚棋子，甲先乙后轮流向右移动棋子，每次移动3 至 5 格。谁先将棋子移到最后一格，谁获胜。甲要想获胜，必须第一步向右移动多少格？298=3（组）5（格）甲第一步就应该向右移动5格。甲先走，甲要想胜出。之后乙若移动3格，则甲就移动5格；乙若移动4格，则甲就移动4格；乙若移动5格，则甲就移动3格；再经过3个回合后，甲就获胜了。这样，后面还能再走24格就到了最右端。248=3（组）每个回合棋子都向右移动8格答：甲要想胜出，第一步就应该向右移动5
18、格。11、如图：方格A 中放有一枚棋子，甲先乙后轮流移动这枚棋子，每次只能向上、向右或向右上方沿45 角走一步，先将棋子走到方格B 的人获胜。谁一定能获胜？必胜策略是什么？逆推法，先找必胜点。由表可知，先走者，一步就能先抢占必胜点；谁先走谁必胜，甲先走，所以甲必胜。12、如图：方格A 中放有一枚棋子，甲先乙后轮流移动这枚棋子，每次只能向上、向右或向右上方沿45 角走任意步（不能一步也不走），先将棋子走到方格B的人获胜。谁一定能获胜？必胜策略是什么？逆推法，先找必胜点。由表可知，先走者，一步就能先抢占必胜点；谁先走谁必胜，甲先走，所以甲必胜。13、有三堆火柴，根数分别为 2 根、3 根、4 根，
19、两人轮流取，每人每次取几根不限，但只能从同一堆中取，拿到最后一根火柴者获胜。先取者和后取者谁有必胜策略？必胜策略是什么？先取者有必胜策略必胜策略是：先在4根火柴的那堆中取走3根；留给对方有1、2、3根火柴的三堆。之后，若对方取完其中的任意一堆，那么先取者第二次取后就能使剩下的两堆火柴的根数一样多，则必胜。若对方并没有取完其中的任意一堆，那么三堆中，必然有两堆的火柴数量一样多。先取者只需取完一堆，使剩下来的两堆火柴的火柴数量一样多，则必胜。综合得：先取者必胜。14、如图：把一棋子放在左下角的方格内，双方轮流移动棋子，只能向右、向上或向右上方沿45 角方向移动，一次可向同一个方向移动任意多格。谁把棋子走进顶格，夺取红旗，谁就获胜。先移棋子者和后移棋子者谁有必胜策略？应如何取胜？逆推法，先找必胜点。由表可知，先走者，一步不能先抢占必胜点。而后走者，在先走者的基础上，一步就能抢占必胜点。后走者必胜。
