1、小学几何模型之沙漏模型课前引入：相似三角形（1）认识相似三角形形状相同，大小相似（三个角对应相等）A=DB=EC=FABC和DEF相似（2）相似三角形的对应线段（对应高，对应边）的比等于相似比MNDNAMEFBCDFACDEAB相似比沙漏模型判定方法：一组平行线，一组交叉线。如图：三角形AOB和三角形COD组成沙漏模型。对应边比相等对应边比相等如果AO:OD=1:3，那么BO:OC=（），AB:CD=（），OE:OF=（）。1:31:33:1例题1如图：在平行四边形ABCD中，AB16厘米，AD10厘米，BE4厘米，求FC的长。总结：沙漏模型总结：沙漏模型对应边比相同对应边比相同1610416
2、BC=AD=10厘米CD=AB=16厘米CF:BF=CD:BE=4:1FC的长：10（4+1）4=8（厘米）练习1如图：在平行四边形ABCD中，CD14厘米，BE2厘米，AE和DE的长度相同，求DF的长。14214AB=CD=14厘米DE=AE=14+2=16（厘米）DF:FE=CD:BE=7:1DF的长：16（7+1）7=14（厘米）沙漏模型如果AB:CD=1:3，那么三角形AOB和三角形COD的面积比是多少？三角形AOB和三角形COD的面积之间有什么关系？OB:OC=OF:OE=AB:CD=1:3SAOB:SCOD=1:9三角形面积比等于对应边平方的比三角形面积比等于对应边平方的比例题2如
3、图：在正方形ABCD中，CE2DE。已知正方形ABCD的面积是96平方厘米，求阴影部分的面积。总结：等高模型、沙漏模型总结：等高模型、沙漏模型三等分点“1”“3”“9”ABD的面积为962=48（cm2）假设SDEF为1份，那么SABF为9份，SADF为3份阴影部分面积：48（9+3）1=4（cm2）练习2如图：在长方形ABCD中，点E是边DC的三等分点。已知三角形DQE的面积是1平方厘米，求长方形ABCD的面积。三等分点193DE:AB=1:3ABQ的面积为9cm2ADQ的面积为3cm2ABD的面积为93=12（cm2）长方形ABCD的面积为122=24（cm2）金字塔模型判定方法：大三角形
4、内有一组平行线。如图：三角形ADE和三角形ABC组成金字塔模型。对应边比相等对应边比相等三角形面积比等于对应边平方的比三角形面积比等于对应边平方的比例题3如图：在三角形ABC中，DE、FG、BC互相平行，并且ADDFFB，求三角形ADE、四边形DEGF和四边形FGCB之间的面积比。总结：金字塔模型中三角形面积比等于对应边平方的比总结：金字塔模型中三角形面积比等于对应边平方的比AD:AF:AB=1:2:3SADE:SAFG:SABC=1:4:9假设ADE的面积为1份，那么AFG的面积为4份，ABC的面积为9份四边形DEGF的面积为41=3（份）四边形FGCB的面积为94=5（份）SADE:S四边
5、形DEGF:S四边形FGCB=1:3:5练习3如图：在三角形ABC中，DE、FG、BC互相平行。已知AD3厘米，DF2厘米，FB1厘米，求三角形ADE、三角形AFG和三角形ABC之间的面积比。AD:AF:AB=3:（3+2）:（3+2+1）=3:5:6SADE:SAFG:SABC=9:25:36例题4如图：四边形MBNF是一个边长为2厘米的正方形，将边BM延长1厘米至点A，将边BN延长3厘米至点C，连接点A、C，割出如图所示的阴影部分，AC与MF、NF分别交于点E、Q。求阴影部分的面积。总结：金字塔模型中对应边比相同总结：金字塔模型中对应边比相同2213练习4如图：正方形BDEF和直角三角形A
6、BC重叠在一起，已知AF:FB1:3，BD:DC3:4，AC 与EF、ED分别交于点G、H。求三角形EGH与正方形BDEF的面积比。1334例题5如图：在三角形ABC中，MN平行于BC。已知三角形MNP的面积是8平方厘米，三角形BPC的面积是18平方厘米，并且AM的长是4厘米，求BM的长。总结：沙漏模型金字塔模型总结：沙漏模型金字塔模型8184SMNP:SBPC=8:18=4:9MN:BC=2:3AM:AB=2:3AB的长度：423=6（厘米）BM的长度：64=2（厘米）练习5如图：在三角形ABC中，MN平行于BC，AM2厘米，BM3厘米，三角形MNP的面积是4平方厘米，求三角形BPC的面积。
7、234MN:BC=AM:AB=2:（2+3）=2:5SMNP:SBPC=4:25BPC的面积：4425=25（平方厘米）例题6如图：一张铁皮形如锐角三角形ABC，边BC长120厘米，高AD长80厘米。现将这张铁皮加工成一个正方形零件，使正方形的一边在边BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上，求这个正方形零件的边长。总结：金字塔模型中对应边（高）比相等总结：金字塔模型中对应边（高）比相等PN和AD的交点设为点O，设正方形边长为x厘米，那么AO为（80 x）厘米。（80 x）:80=x:120 80 x=9600120 x 200 x=9600 x=48正方形零件的边长为48厘米。O练习6如图：
8、在三角形ABC中，AM2厘米，BM4厘米，BC9厘米，求正方形MNQP的面积。249MN:BC=AM:AB=2:（2+4）=1:3MN的长度：931=3（厘米）正方形MNQP的面积：33=9（平方厘米）例题7如图：在长方形ABCD中，点F是AB边的中点，AD边的长是AE长的4倍。已知三角形ADF的面积是44平方厘米，求三角形DEG的面积。总结：金字塔模型、沙漏模型综合应用总结：金字塔模型、沙漏模型综合应用H课后作业 如图：AB平行于CD，三角形AOB和三角形COD构成沙漏模型。已知AO:OD1:2，那么同样比为1:2的线段还有哪几组？2组：BO:OC AB:CD作业作业1 如图：在正方形ABC
9、D中，点E为边CD上的三等分点，AE与BD相交于点F，可知三角形（）和三角形（）组成沙漏模型。DEFABF作业作业2 如图：在三角形ABC中，DE和BC平行，如果DE:BC2:3，那么SADE:SABC（）:（）。49作业作业3如图：MN平行于BC，MP平行于AD，NQ平行于AD。已知图中所标示的线段长度，那么BM:AB（）:（），MN:BC（）:（）。3414作业作业4如图：在三角形ABC中，MN平行于BC，BN，CM相交于点P，请写出图中的沙漏模型和金字塔模型。沙漏模型：三角形MNP和三角形BPC金字塔模型：三角形AMN和三角形ABC作业作业5如图：在长方形ABCD中，点E为AD边上的四等
10、分点，点F为AB边的中点，图中（）（填“有”或“没有”）沙漏模型。若利用三角形CDG来构造沙漏模型，请画出辅助线。没有H作业作业6如图：在平行四边形ABCD中，DE20厘米，CE6厘米，对角线BD长是10厘米，求BF的长。206141410作业作业7如图：在正方形ABCD中，点E是CD边的中点，对角线BD与AE相交于点F。已知三角形DEF的面积是1平方厘米，求阴影部分的面积。142DE:AB=1:2EF:AF=1:2ABF的面积为4cm2ADF的面积为2cm2ABD的面积为42=6（cm2）正方形ABCD的面积为62=12（cm2）阴影部分面积为12421=5（cm2）作业作业8如图：在三角形
11、ABC中，DE，FG，BC互相平行，并且AD4厘米，DF3厘米，BF1厘米，求三角形ADE、四边形DEGF和四边形FGCB之间的面积比。431AD:AF:AB=4:（4+3）:（4+3+1）=4:7:8SADE:SAFG:SABC=16:49:64假设ADE的面积为16份，那么AFG的面积为49份，ABC的面积为64份四边形DEGF的面积为4916=33（份）四边形FGCB的面积为6449=15（份）SADE:S四边形DEGF:S四边形FGCB=16:33:15作业作业9如图：长方形BDEF和直角三角形ABC重叠在一起。已知AF1厘米，FB3厘米，BD4厘米，CD3厘米，求三角形EGH的面积。
12、4313作业作业10如图：在三角形ABC中，已知MP，AD，NQ互相平行，点M为边AB上靠近点A的三等分点，AN2厘米，NC3厘米，三角形BMP的面积是8平方厘米，三角形NQC的面积是9平方厘米，求五边形AMPQN的面积。三等分点2389BM:AB=2:3SBMP:SABD=4:9SABD=849=18（平方厘米）S四边形MPDA=188=10（平方厘米）NC:AC=3:（3+2）=3:5SNCQ:SADC=9:25SADC=9925=25（平方厘米）S四边形ADQN=259=16（平方厘米）五边形AMPQN的面积：10+16=26（平方厘米）作业作业11如图：在三角形ABC中，DE平行于BC
13、，点D为AB边的中点，点E为AC边的中点。已知三角形ABC的面积是48平方厘米，求阴影部分的面积。DE:BC=AD:AB=1:2SADE:SABC=1:4SADE=4841=12（平方厘米）SBDE=SADE=12（平方厘米）EF:BF=DE:BC=1:2SDEF:SBDF=1:2SDEF=12（1+2）1=4（平方厘米）阴影部分面积为4平方厘米。作业作业12如图：四边形ABCD和四边形EFGH都是平行四边形。已知四边形ABCD的面积是16平方厘米，BG3GC，求四边形EFGH的面积。311连接EGBG:CG=3:1 BG:AE=3:1SBFG:SAEF=9:1EF:BF=AE:BG=1:3SAEF:SAFB=1:3设AEF的面积为1份，那么ABF和EFG的面积均为3份，BFG面积为9份。阴影部分和平行四边形的面积比：3:（1+3+3+9）=3:16阴影部分的面积：16163=3（平方厘米）作业作业13 如图：四边形ABCD是直角梯形。已知AB4厘米，AD5厘米，DE3厘米，求梯形ABCD的面积。453H作OH平行于ABOH=DE=3厘米OD:BD=3:4OD:OB=3:1CD:AB=OD:OB=3:1CD的长度：413=12（厘米）梯形ABCD的面积：（上底+下底）高2=（4+12）52=40（平方厘米）作业作业14
