1、1 参变量函数的导数参变量函数的导数 二二.由极坐标方程确定的函数的导数由极坐标方程确定的函数的导数一一.由参数方程所确定的函数的导数由参数方程所确定的函数的导数一一.由参数方程所确定的函数的导数由参数方程所确定的函数的导数曲线有时用参数方程来表示，会更简便。例如：圆的参数方程：cossinxatyat0,2 toxyt(,)x y02t摆线（旋转线）方程：(sin)(1cos)xaya oxy2 aa4 a2a()()xtyt()t (1)xyoCxytP0tQ0tt0000()()()()tttyxttt0()t0()t0tanlimtyx 00000()()lim()()tttttttt
2、t 00()()tt000()cotlim()ttxyt 00()()0ttt综上所述，有：.,)()(定的函数定的函数称此为由参数方程所确称此为由参数方程所确间的函数关系间的函数关系与与确定确定若参数方程若参数方程xytytx 例如例如 ,22tytx2xt 22)2(xty 42x xy21 消去参数消去参数问题问题:消参困难或无法消参如何求导消参困难或无法消参如何求导?t1()(),xttx设函数具有的反函数)(1xy (),(),()0,xtytt再设函数都可导 且由复合函数及反函数的求导法则得由复合函数及反函数的求导法则得dxdtdtdydxdy dtdxdtdy1 )()(tt d
3、tdxdtdydxdy 即即,)()(中中在方程在方程 tytx例例6 6解解dtdxdtdydxdy ttcos1sin taatacossin 2cos12sin2 tdxdy.1.方方程程处的切线处的切线在在求摆线求摆线2)cos1()sin(ttayttax.),12(,2ayaxt 时时当当 所求切线方程为所求切线方程为)12(axay)22(axy即即例例7 7解解.)2(;)1(,21sin,cos,002000的速度大小的速度大小炮弹在时刻炮弹在时刻的运动方向的运动方向炮弹在时刻炮弹在时刻求求其运动方程为其运动方程为发射炮弹发射炮弹发射角发射角以初速度以初速度不计空气的阻力不计
4、空气的阻力ttgttvytvxv xyovxvyv0v.,)1(00可由切线的斜率来反映可由切线的斜率来反映时刻的切线方向时刻的切线方向轨迹在轨迹在时刻的运动方向即时刻的运动方向即在在tt)cos()21sin(020 tvgttvdxdy cossin00vgtv .cossin0000 vgtvdxdytt轴方向的分速度为轴方向的分速度为时刻沿时刻沿炮弹在炮弹在yxt,)2(000)cos(0ttttxtvdtdxv cos0v 00)21sin(20ttttygttvdtdyv 00singtv 时刻炮弹的速度为时刻炮弹的速度为在在0t22yxvvv 2020020sin2tggtvv
5、可转化为参数方程：()cos()sinxy cos()sinxy 则()sin()cosdydx ()sin()cos()cos()sin ()tan()()()tan 二.由极坐标方程确定的函数的导数HT()xo则()tan()tan()()tan tantantantan1tantan()tan()(2)MxoM(,)P r例 证明 22212ee()tan()五、小结五、小结参数方程求导参数方程求导:实质上是利用复合函数求导法则实质上是利用复合函数求导法则;思考题思考题设设 )()(tytx ，由由)()(ttyx )0)(t 可可知知)()(ttyx ，对对吗吗？思考题解答思考题解答不对不对 xxydxdy dxdtdtydx )(1)()(tttt 练练 习习 题题练习题答案练习题答案1、022 yx2、32,sincoscossin tttt
