1、习题四解答习题四解答X2,0)(sin XE 2sin2)(sin)(sin20 xdxdxxxfXE1.1.设设在在上均匀分布，计算上均匀分布，计算解解 YX,),()()(YXYEYXXE 2.2.设设独立同分布，都服从指数分布独立同分布，都服从指数分布证明证明1YX,)0,()(2),(yxyxIeyxf 证明证明 独立，则其联合分布密度为独立，则其联合分布密度为所以所以 dxdyyxfyxxYXXER),()(2 dxdyyxfyxxD),(dxdyxyfyxyD),()(YXYE Dxy （关于关于对称）对称）2),1,1,0,0(),(NYX,1,max YXE 1,minYXE3
2、.3.若二维随机向量若二维随机向量证明证明证明证明 有第二章习题，有第二章习题，2)(,maxYXYXYX 2)(,minYXYXYX 3,YX YX ,0 E,0 E令令但但 则则)(YXVarVar ),(2)()(YXCovYVarXVar 22 )1(2,0(N)1,0()1(2N 而而 )1(2()1(2 EE4dzezz2221)1(2 dzezz20212 )2(122202zdez 122)(,maxYXEYXEYXE 12)(,minYXEYXEYXE 154.504.50个签中有个签中有4 4个标有个标有“中中”，依次无放回抽签时，依次无放回抽签时，首次抽中前期望抽签多少次
3、？首次抽中前期望抽签多少次？:X46,2,1,0 X解解 设设首次抽中前的抽签次数，首次抽中前的抽签次数，461460)()(kkkXPkXkPEX)150()146(49455046461 kkkiii 5046494550464506!4!4)!146()!150(!50!46450 iii 450146150!50!4!46iiiC)(10mnmiiminCC 4550!50!4!46C 546!5!45!50!50!4!46 7N,2,1)(Nn 5.5.盒中装有标号盒中装有标号的卡片各一张，从中的卡片各一张，从中次，计算次，计算每次抽取一张，共抽取每次抽取一张，共抽取（1 1）有放回
4、地抽取时，抽到最大号码的数学期望。）有放回地抽取时，抽到最大号码的数学期望。（2 2）无放回地抽取时，抽到最大号码的数学期望。）无放回地抽取时，抽到最大号码的数学期望。:iXi解解 （1 1）设）设有放回抽取第有放回抽取第 次抽到的卡片号码次抽到的卡片号码令令 ,max1)(nnXXX)()(1)(kXPEXnNkn )(1)(1kXPnNk 8),(111kXkXPnNk )1(1 1 NknNk:)(nXiNnn,1,（2 2）设）设无放回抽取第无放回抽取第次抽到的卡片号码，次抽到的卡片号码，取值为取值为 NnknnkXkPEX)()()(NnknNnkCCk11)!()!1()!1(1k
5、nnkkCNnknN 9)!(!knnkCnNnknN NnknknNCCn NnknknNCCn111111 nNnNCCn1)1(nNn),A,281(114nNNnknkCCP ),(YX，其它其它 01,123),(223xxyxyxyxf)1(,XYEEY6.6.设设有联合密度有联合密度求求1043232311 dyyxydxEYxx)1(XYE532312311 dyyxxydxxx解解 （1 1）（2 2）1 xyxy 111ab7.7.设商店每销售设商店每销售1 1吨大米获利吨大米获利元，每库存元，每库存1 1吨吨 大米损失大米损失元，假设大米的需求量元，假设大米的需求量 Y)
6、,(服从指数分布服从指数分布问库存多少吨大米才能获得最大的平均利润。问库存多少吨大米才能获得最大的平均利润。cX解解 设库存设库存吨，利润吨，利润元，则元，则 cYaccYYcbaYYgX.)()()(YgEEX dyyfygY)()(12dyeygy 0)(dyebcybayc 0)(dyeacyx )()1(1)(chbcebac 0)()(bebachc bbac ln1 0)()(cebach 答答 库存库存bbac ln1 吨才能获得最大的平均利润。吨才能获得最大的平均利润。13YX,)1,0(N,22YXZ EZ8.8.设设独立，都服从独立，都服从分布，分布，计算计算解解 dxdy
7、eyxEZyxR22222221 drerdr 02220221 drerr 0222令令22rt 0212dtett22)23(2 14nXX,1,1,0),(kkXPpk9.9.设设相互独立，有共同的离散分布，相互独立，有共同的离散分布，引入引入,110 kkpppu,1kkuv 证明证明 11),(minknknvXXE)1(),(max11 knknuXXE证明证明 )()1(1)1(kXPEXk 15),(11kXkXPnk nkkXP)(11 nkku)1(1 1knkv)()(1)(kXPEXnkn )(1)(1kXPnk ),(1 11kXkXPnk )(111kXPkn )1
8、(1 knku16nXXX,21,1)0(1 XP10.10.设设是独立同分布的随机变量，是独立同分布的随机变量，证明证明nkXXXXEnk 11nk 1nXXY 1证明证明 令令YXi则则独立同分布，有相同的数学期望，而独立同分布，有相同的数学期望，而17)(1YYE)(1YXYXEn )(1YXnE nYXE1)(1 YXXEXXXXEknk111nkYXkE )(118nNX),0(2 1202!)!1()(mnmnnXEnn 11.11.设设是正整数，证明是正整数，证明证明证明 dxexXExnn22221)(0)(nXE12 mn当当时，显然时，显然当当12 mn时，时，19dxex
9、XExnn2220212)(令令,222 xt dtettnnn 021)2()121()2(nnn 21232321)2(nnnn 222!)!1(2nnnn !)!1(nn 2012.12.一手机收到的短信中有一手机收到的短信中有2%2%是广告，你期望是广告，你期望 相邻的两次广告短信中有多少不是广告短信。相邻的两次广告短信中有多少不是广告短信。:XpqkXPk )(解解 设设相邻两次短信中不是广告的短信相邻两次短信中不是广告的短信次数次数1100)(kkkkkqkpqqkpkXPkEX则则49)(1 pqqpqkk21nXXX,211,013.13.设设相互独立，都服从相互独立，都服从分
10、布，计算分布，计算上均匀上均匀1),(),(),()()()1(mXEXEXEmnniX,)()10(xIxf,)()10(xxIxF解解 的密度函数的密度函数分布函数分布函数则则)1(X的密度函数的密度函数 11)(1)()(nxFxnfxg)10(1)1(xnIxn)(nX的密度函数的密度函数 22)()()(1xfxnFxgnn )10(1 xnInx dxxxgXE)()(1)1(101)1(dxxnxn)2()()2(),2(nnnnn 11 n dxxxgXEnn)()()(101dxnxxn1 nn dxxgxXEnmmn)()()(101dxnxxnmmnn 2314.14.设
11、办公室设办公室5 5台计算机独立工作，每台计算机台计算机独立工作，每台计算机等待病毒感染的时间服从参数为等待病毒感染的时间服从参数为 )(的指数分布的指数分布（1 1）你对首台计算机被病毒感染前的时间期望）你对首台计算机被病毒感染前的时间期望是多少？是多少？（2 2）你对）你对5 5台计算机都被病毒感染的时间期望是台计算机都被病毒感染的时间期望是多少？多少？iXi解解 令令是第是第台机器被病毒感染的等待时间台机器被病毒感染的等待时间 24),5,4,3,2,1(i)(iX)1(X（1 1）是第首台机器被病毒感染的等待时间，是第首台机器被病毒感染的等待时间，)1(X的密度为的密度为11)(1)(
12、)(nxFxnfxf)0(45 xxxIee )0(55 xxIe )1(EX 51505 dxxe25)5(X)5(X（2 2）是是5 5台机器都被病毒感染的等待时间，台机器都被病毒感染的等待时间，密度为密度为)()()(15xfxFnxfn )0(4)1(5 xxxIee )5(EXdxexexx 04)1(5 令令xt dtetett 04)1(5 26dteeeeetttttt 05432)464(5)2(251)2(164)2(96)2(44)2(5 3001375 60137 27),02.0,20(2NX),02.0,10.20(2NYYX,15.15.设活塞的直径设活塞的直径气
13、缸的直径气缸的直径如果如果装入装入气缸的概率。气缸的概率。独立，计算活塞能独立，计算活塞能解解 )02.02,10.0(2 NYX)0()(YXPYXP)02.0210.00(9998.0)54.3(2816.16.如果正方形抽屉的平均边长是如果正方形抽屉的平均边长是15.0015.00厘米，厘米，标准差是标准差是0.020.02厘米，正方形抽屉框的平均边长是厘米，正方形抽屉框的平均边长是 15.1015.10厘米，标准差是厘米，标准差是0.020.02厘米，设抽屉与抽屉框厘米，设抽屉与抽屉框 的边长相互独立，且各自相邻边长也相互独立，都的边长相互独立，且各自相邻边长也相互独立，都 服从正态分
14、布，服从正态分布，8 8个直角无误差，计算抽屉能装入个直角无误差，计算抽屉能装入 抽屉框的概率。抽屉框的概率。解解 抽屉的边长抽屉的边长 ),02.0,15(2NXi29抽屉框的边长抽屉框的边长)02.0,10.15(2NYi则则 )02.02,10.0(2 NYXii)0,0(2211 YXYXPP211)0(YXP9996.09998.02 nXXX,2117.17.设设是相互独立的随机变量，是相互独立的随机变量，,)(2iiXVar njjjaa10,1求满足求满足的常数的常数,21naaa njjjXaY11使得使得的方差最小。的方差最小。30解解 即求即求 njjjnjjjnjjaa
15、VarXaVarY1212121 的最小值点的最小值点用拉格朗日乘数法令用拉格朗日乘数法令 )1(1212 njjjnjjaaF 22202iiiiiaaaF 31代入代入 njja11 njj1212 所以所以 njjjjja12222 （唯一驻点）（唯一驻点）VarY最小值存在，即为所求。最小值存在，即为所求。且且3218.18.设一点随机地落在中心在原点，半径为设一点随机地落在中心在原点，半径为R上，求落点横坐标的数学期望和方差。上，求落点横坐标的数学期望和方差。的圆的圆解解 ),(),(DUYX其中其中 ,:222RyxD 则则 012 dxRxEXD DDdxdyyxRdxRxEX)
16、(2111222222 332032024121RdrrdRR 所以所以 22241)(REXEXVarX 19.19.一辆机场巴士运送一辆机场巴士运送2525位乘客，中途经过位乘客，中途经过7 7个个 车站，设每位乘客的行动相互独立，且在各车站下车站，设每位乘客的行动相互独立，且在各车站下 车的可能性相同，问平均有多少个车站有人下车，车的可能性相同，问平均有多少个车站有人下车，并求有人下车的车站个数的方差。并求有人下车的车站个数的方差。34解解 设设 ,7,2,110 iiiXi，站有人下车站有人下车第第站无人下车站无人下车第第71XXX i则则由题意任一个乘客在第由题意任一个乘客在第为有人
17、下车的车站数为有人下车的车站数站不下车的概率为站不下车的概率为 ,7625)76(站不下车的概率为站不下车的概率为i2525个乘客在第个乘客在第，）2576()1(iXP，）2576(1)0(iXP35)76(1 725 npEX2525)76()76(1 7 npqVarX22121)1()()(nMMXPEXMXP nXXX,2120.20.设非负随机变量设非负随机变量独立同分布，独立同分布，证明证明361X)()(11MXPMXP 221MEX 证明证明 非负，所以由非负，所以由马尔科夫不等式马尔科夫不等式)()1(MXP),(1MXMXPn 21)(nMXP 21)(nMXP 21)(
18、nMXP 2221)(nMEX22121)(nMMXPEX 37X,0,!)(xemxxfxm1)1(20(mmmXP21.21.设设有概率密度有概率密度证明证明证明证明 dxemxEXxm 01!1!)2(mmmdxemxEXxm 022!)1)(2(!)3(mmmm381)(22 mEXEXVarX所以由切贝雪夫不等式所以由切贝雪夫不等式 )1(20(mXP)1()1(mEXXmP)1(mEXXP2)1(1 mVarX2)1(11 mm1 mm3922.22.证明常数与任意随机变量不相关。证明常数与任意随机变量不相关。证明证明 0)(),(EXEaaXEXaCov),(YX 其它其它0)1
19、,0(,),(yxyxyxf),(YXCov23.23.设二维随机向量设二维随机向量有概率密度有概率密度计算计算解解 EYEXXYEYXCov )(),(40 2),(RdxdyyxxyfEXY31)(1010 dyyxxydx 2),(RdxdyyxxfEX127)(1010 dyyxxdx 同理同理127 EY14411444931),(YXCov4124.(24.(线性预测问题线性预测问题)设设YX,是方差有限的随机是方差有限的随机变量，证明变量，证明2)(),(bXaYEbaQ EXbEYabXXXY,（1 1）的最小点为的最小点为是是这时称这时称XbaY Y的最佳线性预测。的最佳线性
20、预测。),(baQ),1(),(2XYYYbaQ （2 2）的最小值的最小值并称并称 42此最小值是预测的均方误差。此最小值是预测的均方误差。证明（证明（1 1）2)(),(bXaYEbaQ 22)()(2bXaEbXaYEEY 22222)(22EXbabEXaXYbEaEYEY 所以所以 )1(0222 EYbEXaaQ43)2(0)(2222 XYEbEXaEXbQ)2()1(EX得得0)(2)(222 XYEEXEYEXEXbXXXYb 代人（代人（1 1）EXbEYa （2 2）2)(),(XbaYEbaQ 442)(EXbXbEYYE 2()(EXXbEYYE 222()(2)(E
21、XXEbEXXEYYEbEYYE XXXYYYbb 22 XXXYXXXYYY 222 XXXYYY 2 )1(2XYYY 45是是XbaY YEYYE 25.25.若若是是的最佳线性预测，则的最佳线性预测，则证明证明 EYEXbEXbEYXbaEYE )()(bXaY Y,EYYE 222)(YYEYEEY 26.26.的最佳线性预测的充要条件是的最佳线性预测的充要条件是bXaY YXXXYb bEXEYa 证明证明 若若是是的最佳线性预测，则的最佳线性预测，则46且由上题且由上题 ,EYYE 而而 )(XYYE)(XbXaYE 2)(bEXaEXXYE 2)()(bEXEXbEXEYXYE
22、 22)()(bEXEXbEXEYXYE XXXYb 0 XXXXXYXY 47,EYYE 222)(YYEYEEY 则则)1()(EYbEXabXaEYE )(XYYE)(XbXaYE )2(0)(2 bEXaEXXYE由（由（1 1）（）（2 2）解出）解出 XXXYb bEXEYa bXaY Y所以所以是是的最佳线性预测。的最佳线性预测。48bXaY Y222)(YYEYEEY 27.27.若若是是的最佳线性预测，证明的最佳线性预测，证明勾股定理：勾股定理：证明证明 bXbEXEYbXaY )()(EXXbEY EYEXXbEXXbEYY)(2)()(2222 2222)()(EXXEbEYYE XXbEY 22)(又又 )(EXXbEYYYY 49)(EXXbYYEY bEXEYXYbEEYYYE )()()(2XYbEY 2)(所以所以 22)(YYEYE YEYEYYE2222 XXbEY 222)(2 2EY XYbEY 2)(22 XYXXXYXXXXXYEY 22222 2EY 50
