1、 一、建模示例三、四、五一、建模示例三、四、五 二、建模的方法二、建模的方法 三、建模的一般步骤三、建模的一般步骤 四、数学建模的特点四、数学建模的特点 五、数学建模的分类五、数学建模的分类 六、数学建模竞赛的相关知识六、数学建模竞赛的相关知识 三个建模示例、建模的方法、步三个建模示例、建模的方法、步骤、特点、分类，及建模竞赛的相骤、特点、分类，及建模竞赛的相关知识关知识问题：三名商人各带一名随从乘船渡河，一只小船只能容纳二人，由他们自己划行。随从们密约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货。但是如何乘船渡河的大权掌握在商人们手中。商人们怎样才能安全渡河呢？1、问题分析：多步决策过
2、程、问题分析：多步决策过程决策决策-每一步（此岸到彼岸或彼岸到此岸）船上的人员。每一步（此岸到彼岸或彼岸到此岸）船上的人员。要求要求-在安全的前提下（两岸的随从数不比商人多），在安全的前提下（两岸的随从数不比商人多），经有限步使全体人员过河。经有限步使全体人员过河。2、模型建立、模型建立,0 1 2 3y1,2,(,)-xkxykkkkkksxySkkk-第 次渡河前此案的商人数 ，-第 次渡河前此案的随从数 过程的状态允许状态集合(,)|0,0,1,2,3;3,0,1,2,3;1,2Sx yxyxyxy,0 1 21,2,(,)-ukuvkkkvkkkduvDkkk-第 次渡船上的商人数 ，
3、-第 次渡船上的随从数 决策允许决策集合1(,)|1,2(1)kkkkDu vuvssd 允 许 决 策 集 合状 态 转 移 律3、数学模型、数学模型多步决策多步决策问题问题1n+1(1,2,),s(3,3)s(0,0).kkdD knsS求使并按转移律由到达4、模型求解、模型求解 穷取法穷取法 编程上机编程上机 图解法：我们着重介绍这一方法图解法：我们着重介绍这一方法 给出了安全给出了安全渡河方案。渡河方案。111,.,dd状态状态s=(x,y)16个格点个格点允许状态允许状态 10个点个点允许决策允许决策 移动移动1格或格或2格（格（k奇奇,左下移；左下移；k偶偶,右上移）右上移）(,)
4、|0,0,1,2,3;3,0,1,2,3;1,2 Sxyxyxyxy允许决策：5、模型评价、模型评价规格化的方法，通俗易懂，易于推广。规格化的方法，通俗易懂，易于推广。思考题1考虑4名商人各带一名随从的问题。【问题背景【问题背景】温州七中高一段学生到人民路天桥下的十字路口，对十字路口红绿灯开设时间及车流量进行调查，经学生分组观察，并把数据平均，得到下面一组数据：东西方向绿灯即南北方向红灯的时间为49秒；南北方向绿灯即东西方向红灯的时间为39秒；所以红绿灯变换一个周期的时间为88秒。在绿灯变换的一个周期内，相应的车流量：东西方向平均为30辆，南北平均为24辆。这组数据说明了什么问题？（红绿灯时间
5、设置合理与否）【问题抽象】在红绿灯变换的一个周期时间T内，从东西方向到达十字路口的车辆数为H，从南北方向到达十字路口的车辆数为V，问如何确定十字路口某个方向红灯与绿灯点亮的时间更合理？【问题分析】所谓的合理，应该就是从整体上看，在红绿灯变换的一个周期内，车辆在此路口的滞留总时间最少。【模型假设】1.黄灯时间忽略不计，只考虑机动车，不考虑人流量和非机动车辆；只考虑东西、南北方向，不考虑拐弯的情况。2.车流量均匀。3.一个周期内，东西向绿灯，南北向红灯的时间相等；东西与南北周期相同。【建立模型】设东西方向绿灯时间（即南北方向红灯时间）为t秒，则东西方向红灯时间（即南北方向绿灯时间）为（Tt）秒.设
6、一个周期内车辆在此路口的滞留总时间为y秒.根据假设,一个周期内车辆在此路口滞留的总时间y分成两部分,一部分是南北方向车辆在此路口滞留的时间y1,另一部分是东西方向车辆在此路口滞留的时间y2.下面计算南北方向车辆在此路口滞留的时间y1.21,(,),t(,),t/2.,22,V ttVytTT 在一个周期中从南北方向到达路口的车辆数为V,该周期中南北方向亮红灯的比率是t/T,需停车等待的车辆数是V t/T.这些车辆等待时间最短为0 刚停下红灯就转换为绿灯 最长为 到达路口时 绿灯刚转换为红灯 由假设2 车流量均匀 可知它们的平均等待时间是由此可知南北方向车辆在此路口滞留的时间为 同理 南北方向车
7、辆在此路口滞留的时222212().2,().22HyTtTVHyyytTtTT间为所以【模型求解】【数值模拟】22()22,.VHytTtTTTHyHV 函数 是关于t的二次函数容易求得当t=时 取得最小值22222222,2430(88)(88)2 88231515 8830228815882788(15)(15)15 8888278827tttttt 取 问题背景 中调查的数据 即T=88,H=30,V=24,则 y=min883048.8889,587().3024 ,.:,.ty当时秒由此可见 我们计算所得的结果和同学们实际观测到的数据是比较接近的 这也说明此路口红灯与绿灯设置的时间
8、比较合理评 注 由上述结果可知 两个方向绿灯时间之比恰好等于两个方向车流量之比时 车辆在此路口的滞留总时间最少 这也是比较符合实际情况的轮廓模型是以量纲模型为基础，利用量的比例关系而构造简单数学模型的一种方法。因为这种比例关系比较粗糙，因而成为轮廓模型。（货物的包装成本）（货物的包装成本）在超市中可以看到许多商品（如面粉、白糖、奶粉等）都以包装的形式出售，同一种商品的包装也经常有大小不同的规格，出售的价格也高低不同。下表是一些例子。商品商品商品量商品量价格价格单价单价高露洁牙膏190克15.7元0.83元/10克60克5.8元0.97元/10克诗芬洗发液400毫升35.9元0.89元/10毫升
9、200毫升23.1元1.15元/10毫升富丽饼干450克8.8元0.19元/10克150克3.0元0.20元/10克奇宝饼250克5.9元0.24元/10克150克4.3元0.29元/10克麦氏咖啡200克62元3.1元/10克100克32元3.2元/10克从表中可以看到，大包装的商品每单位重量的价格比小包装的价格要低。这显然是由于节约了包装成本的缘故。现在我们建立一个简单的模型来看看商品货物包装的成本如何依赖于商品量的规律。问题假设：问题假设：面对错综复杂的商品生产过程和包装形式，为使问题简化，假设如下：1不考虑利润及其他因素对商品价格的影响；2所讨论的商品的生产和包装过程的工作效率是固定不
10、变的；3商品包装的成本只由包装的劳力投入和包装材料的成本构成；4商品包装的形状大小是相似的，不同大小包装所用的材料是相似的至少在价格上没有太大差异。模型建立：模型建立：1121222/33.,.3,abaakb bbkbSSVSk V 用用 表表示示生生产产一一件件（单单位位包包装装：一一包包、一一罐罐等等）该该产产品品的的成成本本，用用 表表示示包包装装一一件件该该产产品品的的成成本本，表表示示每每件件产产品品所所包包装装的的货货物物量量.由由假假设设1 1可可知知产产品品的的成成本本 正正比比于于产产品品的的货货物物量量，即即用用分分别别表表示示包包装装时时劳劳力力投投入入和和材材料料成成
11、本本 显显然然，劳劳力力投投入入正正比比于于产产品品的的货货物物量量，即即由由假假设设 可可知知，材材料料成成本本 正正比比于于货货物物的的表表面面积积而而货货物物的的表表面面积积 与与它它的的体体积积有有比比例例关关系系而而货货物物的的体体积积2/324122/324,.bkbbbkk 又又正正比比于于所所包包装装的的货货物物量量，于于是是我我们们有有1/3()()()/.ccabpqpq 每每一一件件产产品品单单位位货货物物量量的的成成本本为为其其中中，为为正正数数.这这就就是是包包装装量量为为 时时单单位位货货物物量量总总成成本本的的数数学学模模型型.不不难难看看出出，它它是是包包装装量
12、量 的的减减函函数数，表表明明包包装装增增大大时时每每件件产产品品的的单单位位货货物物量量的的成成本本将将下下降降，与与我我们们平平时时观观察察到到的的数数据据是是一一致致的的.4/31/3()()(),3.()(/3),cdcqrdrq 进进一一步步分分析析：从从定定性性分分析析的的角角度度讨讨论论模模型型的的性性质质.单单位位货货物物量量的的成成本本随随货货物物增增加加的的下下降降率率为为它它也也是是货货物物量量 的的减减函函数数因因而而当当包包装装比比较较大大时时单单位位重重量量货货物物的的成成本本的的减减低低将将越越来来越越慢慢.我我们们来来计计算算总总的的节节省省率率，即即购购买买单
13、单位位包包装装的的商商品品的的花花费费随随着着包包装装的的增增大大而而改改变变的的速速率率它它仍仍然然是是 的的减减函函数数.这这说说明明总总的的节节省省率率也也是是随随着着所所包包装装的的货货物物总总量量的的增增加加而而减减少少的的.因因此此，当当我我们们购购买买货货物物时时并并不不一一定定越越大大的的包包装装越越合合算算，一一般般人人不不一一定定了了解解这这一一点点.统计分析法：以随机数学为基础，经过对统计数据进行分 析，得到其内在的规律。如：多元统计分析。机理分析法：以经典数学为工具，分析其内部的机理规律。Fma系统分析法：对复杂性问题或主观性问题的研究方法。把 定性的思维和结论用定量的
14、手段表示出来。如：层次分析法。模型准备模型假设模型建立模型求解模型分析模型检验模型应用NY1）模型准备：模型准备：了解问题的实际背景实际背景，明确建模目目的的，掌握对象的各种信息各种信息如统计数据等，弄清实际对象的特征特征。有时需查资料或到有关单位了解情况等。2）模型假设：模型假设：根据实际对象的特征特征和建模目的目的，对问题进行必要地合理地简化必要地合理地简化。不同的假设会得到不同的模型。如果假设过于简单可能会导致模型的失败或部分失败，于是应该修改或补充假设，如“四足动物的体重问题”；如果假设过于详细，试图把复杂的实际现象的各个因素都考虑进去，可能会陷入困境，无法进行下一步工作。分清问题的主
15、要方面和次要方面，抓主要因素，尽量将问题均匀化、线性化。3）模型建立：分清变量类型，恰当使用数学工具；抓住问题的本质，简化变量之间的关系；要有严密的数学推理，模型本身要正确；要有足够的精确度。4）模型求解：可以包括解方程、画图形、证明定理以及逻辑运算等。会用到传统的和近代的数学方法，计算机技 术（编程或软件包）。特别地近似计算方法（泰勒级数，三角级数，二项式展开、代数近似、有效数字等）。6）模型检验：把模型分析的结果“翻译”回到实际对象中，用实际现象、数据等检验模型的合理性和适应性检验结果有三种情况：符合好，不好，阶段性和部分性符合好。7）模型应用：应用中可能发现新问题，需继续完善。5）模型分
16、析：结果分析、数据分析。变量之间的依赖关系或稳定性态；数学预测；最优决策控制。1）按变量的性质分：）按变量的性质分：多变量模型非线性模型随机性模型连续模型单变量模型线性模型确定性模型离散模型2）按时间变化对模型的影响分）按时间变化对模型的影响分参数时变模型动态模型参数定常模型静态模型3 3）按模型的应用领域（或所属学科）分）按模型的应用领域（或所属学科）分人口模型、交通模型、生态模型、城镇规划模型、水资源模型、再生资源利用模型、污染模型、生物数学模型、医学数学模型、地质数学模型、数量经济学模型、数学社会学模型等。4 4）按建立模型的数学方法（或所属数学分支）分）按建立模型的数学方法（或所属数学
17、分支）分初等模型、几何模型、线性代数模型、微分方程模型、图论模型、马氏链模型、运筹学模型等。5 5）按建模目的分）按建模目的分描述性模型、分析模型、预报模型、优化模型、决策模型、控制模型等。6 6）按对模型结构的了解程度分）按对模型结构的了解程度分白箱模型：白箱模型：其内在机理相当清楚的学科问题，包括力学、热学、电学等。灰箱模型灰箱模型：其内在机理尚不十分清楚的现象和问题，包括生态、气象、经济、交通等。黑箱模型：黑箱模型：其内在机理（数量关系）很不清楚的现象，如生命科学、社会科学等。从从19831983年起，在美国就有一些有识之士开始探讨组织一项年起，在美国就有一些有识之士开始探讨组织一项应用
18、数学应用数学方面的竞赛的可能性方面的竞赛的可能性。19871987年改为年改为 Mathematical Contest in Modeling,Mathematical Contest in Modeling,其缩写其缩写 均为均为 MCMMCM）。19851985年开始有了美国的第一届大学生数学建模竞赛，简称年开始有了美国的第一届大学生数学建模竞赛，简称 MCMMCM，这是最早的数学建模这是最早的数学建模。19871987年以前的全称是年以前的全称是 MatheMathe -matical Competition in Modeling -matical Competition in Mo
19、deling。竞赛由美国工业与应用数学学会和美国运筹学会联合主办。从1985年起每年举行一届，在每年的二月下旬或三月初的某个星期五到星期日举行，到2009年已举行了25届。1990 1990 年我国大学生数学建模竞赛开始举办年我国大学生数学建模竞赛开始举办，从最初的几十所学校、，从最初的几十所学校、几百个队发展到今年，除西藏外的几百个队发展到今年，除西藏外的 30 30 个省（市、自治区）以及香个省（市、自治区）以及香港都有院校参赛。全国大学生数学建模竞赛，港都有院校参赛。全国大学生数学建模竞赛，是由教育部高等教育是由教育部高等教育司与中国工业与应用数学学会（司与中国工业与应用数学学会（CSI
20、AM CSIAM）联合举办的大学生科技联合举办的大学生科技活动，活动，竞赛每年竞赛每年 9 9月下旬举行月下旬举行，竞赛面向，竞赛面向全国大专院校全国大专院校的学生，不的学生，不分专业。分专业。由由 3 3 位同学组成一个队，位同学组成一个队，在三天的时间里，团结协作，利在三天的时间里，团结协作，利用数学知识与计算机知识，建立一个数学模型，解决一个实际问题，用数学知识与计算机知识，建立一个数学模型，解决一个实际问题，最后提交一篇自己撰写的论文。最后提交一篇自己撰写的论文。大部分的数模竞赛题都是大部分的数模竞赛题都是源于生产实际或者科学研究的过程源于生产实际或者科学研究的过程中，中，不要求参赛者
21、预先掌握不要求参赛者预先掌握深入的专门知识深入的专门知识，只需要学习过普通高校的，只需要学习过普通高校的数学课程。题目有较大的灵活性供参赛者发挥其创造能力。参赛者数学课程。题目有较大的灵活性供参赛者发挥其创造能力。参赛者应根据题目要求，完成一篇包括模型的假设、建立和求解、计算方应根据题目要求，完成一篇包括模型的假设、建立和求解、计算方法的设计和计算机实现、结果的分析和检验、模型的改进等方面的法的设计和计算机实现、结果的分析和检验、模型的改进等方面的论文（即答卷）。论文（即答卷）。竞赛评奖以竞赛评奖以假设的合理性、建模的创造性、结果假设的合理性、建模的创造性、结果的正确性和文字表述的清晰程度为主
22、要标准。的正确性和文字表述的清晰程度为主要标准。传统的数学竞赛一般偏重理论知识，它要考查的内容单一，传统的数学竞赛一般偏重理论知识，它要考查的内容单一，数据简单明确，数据简单明确，不允许用计算器完成不允许用计算器完成。对此而言，数模竞赛题是。对此而言，数模竞赛题是一个一个“课题课题”，它是一个综合性的问题，数据庞大，它是一个综合性的问题，数据庞大，需要用计算需要用计算机机来完成。来完成。解决这些问题，往往没有现成的方法可以套用，它首先要求解决这些问题，往往没有现成的方法可以套用，它首先要求将实际的问题数学化，及建立数学模型。参赛同学必须像参加一将实际的问题数学化，及建立数学模型。参赛同学必须像
23、参加一个实际的科研项目那样，不仅要充分发挥每个人的主观能动性和个实际的科研项目那样，不仅要充分发挥每个人的主观能动性和创造力，而且要全队密切配合、协同作战。创造力，而且要全队密切配合、协同作战。此外，其答案往往不是唯一的此外，其答案往往不是唯一的 ,呈报的成果是一篇呈报的成果是一篇“论文论文”。由此可见由此可见“数模竞赛数模竞赛”偏重于应用，它是以数学知识为引导、偏重于应用，它是以数学知识为引导、计算机应用能力及文章的写作能力为辅的综合能力的竞赛。计算机应用能力及文章的写作能力为辅的综合能力的竞赛。数学知识的数学知识的 应用能力：应用能力：1.概率与数理统计概率与数理统计2.统筹与线性规划统筹
24、与线性规划3.微分方程微分方程此外，有时还会用到此外，有时还会用到数值计算、差分方程、数值计算、差分方程、和动态规划等和动态规划等计算机的应用能力：计算机的应用能力：1.字处理软件字处理软件 Word2.电子表格电子表格 Excel3.数学软件数学软件 Matlab4.程序语言程序语言C+5.计算机网络计算机网络6.Lindo、Lingo等等论文的写作能力：要论文的写作能力：要求参赛的三名选手中求参赛的三名选手中至少有一名同学具有至少有一名同学具有较强的论文写作能力。较强的论文写作能力。v 全国统一竞赛题目，采取通讯竞赛方式，以相对集全国统一竞赛题目，采取通讯竞赛方式，以相对集中的形式进行。中
25、的形式进行。v 竞赛以队的形式参加，竞赛以队的形式参加，每个参赛队由三名具有正式学每个参赛队由三名具有正式学籍的在校本科或专科学生组成籍的在校本科或专科学生组成，研究生不得参加（自，研究生不得参加（自20052005年，新增研究数学建模竞赛）。报名参加年，新增研究数学建模竞赛）。报名参加“甲甲组组”或或“乙乙组组”的竞赛，本科院校理工科学生只能参加甲组竞赛，其的竞赛，本科院校理工科学生只能参加甲组竞赛，其他学生可参加甲组或乙组竞赛。而每组由两道题组成，他学生可参加甲组或乙组竞赛。而每组由两道题组成，“甲甲组组”由由A A、B B题组成，题组成，“乙组乙组”由由C C、D D题组成题组成，每个参
26、，每个参赛队根据自己的实际情况情况从相应两个考题中任意选作赛队根据自己的实际情况情况从相应两个考题中任意选作一个题。一个题。v 每队可设一名每队可设一名指导教师（或教师组）指导教师（或教师组），从事赛前辅导和，从事赛前辅导和参赛的组织工作，但在竞赛期间必须回避参赛队员，不得进参赛的组织工作，但在竞赛期间必须回避参赛队员，不得进行指导或参与讨论，否则按违反纪律处分，也就是教师不得行指导或参与讨论，否则按违反纪律处分，也就是教师不得参赛。每次的考题都来自的实际问题或有强烈实际背景的问参赛。每次的考题都来自的实际问题或有强烈实际背景的问题，没有固定的范围，可能涉及各个非常不同的学科，领域。题，没有固
27、定的范围，可能涉及各个非常不同的学科，领域。v “全国大学生数模竞赛全国大学生数模竞赛”的时间的时间通常安排在通常安排在9 9月份的下月份的下旬，历时三天三夜。旬，历时三天三夜。v 竞赛期间员可以使用各种图书资料、计算机和软件，竞赛期间员可以使用各种图书资料、计算机和软件，在互联网上浏览，但不得与队外任何人在互联网上浏览，但不得与队外任何人(包括在网上包括在网上)讨论。讨论。v 首先在各省进行评选，专家们不是对论文给出分数，也不首先在各省进行评选，专家们不是对论文给出分数，也不采用采用“通过通过”、“失败失败”这种记分，而只是将论文分成一些等级：这种记分，而只是将论文分成一些等级：一等奖，二等
28、奖，成功参赛奖等，各省一等奖参加答辩，通过一等奖，二等奖，成功参赛奖等，各省一等奖参加答辩，通过答辩者可参加国家奖的评选答辩者可参加国家奖的评选。v 在参加国家评选时，参加国家评选时，评审专家也是将论文分为几个等级：评审专家也是将论文分为几个等级：Outstanding(Outstanding(特等奖特等奖)、Meritorious(Meritorious(一等奖一等奖)、Honorable Honorable Mention(Mention(二等奖二等奖)等等 。v 评卷的标准并不是看答案对不对，而主要看论文的思想方评卷的标准并不是看答案对不对，而主要看论文的思想方法好不好，以及论述是否清晰
29、。法好不好，以及论述是否清晰。Outstanding Outstanding 的论文作为优秀的论文作为优秀论文在专业杂志上发表。论文在专业杂志上发表。而所有参赛的队员和教练都能得到一而所有参赛的队员和教练都能得到一张奖状。张奖状。v 全国与各赛区的一、二等奖均颁发获奖证书。竞赛成绩全国与各赛区的一、二等奖均颁发获奖证书。竞赛成绩记入学生档案，对成绩优秀的参赛学生，各院校在评优秀生、记入学生档案，对成绩优秀的参赛学生，各院校在评优秀生、奖学金及报考（或免试直升）研究生时应予以适当考虑。奖学金及报考（或免试直升）研究生时应予以适当考虑。1997A零件的参数设计零件的参数设计B截断切割截断切割199
30、8A投资的收益和风险投资的收益和风险B灾情巡视路线灾情巡视路线1999A自动化车床管理自动化车床管理 B钻进布局钻进布局 2000ADNA序列分类序列分类 B钢管订购和运输钢管订购和运输2001A血管的三维重建血管的三维重建 B公交车调度公交车调度2002C车灯线光源的计算车灯线光源的计算 D赛程安排赛程安排2003CSARS的传播的传播 D抢渡长江抢渡长江 2004C饮酒驾车饮酒驾车 D公务员招聘公务员招聘 2005C雨量预报方法的评价雨量预报方法的评价 DDVD在线租赁在线租赁 2006C煤矿安全检测煤矿安全检测D易拉罐的设计易拉罐的设计2007C手机资费问题手机资费问题D体育测试问题体育测试问题2008C地面搜索问题地面搜索问题DNBA赛程问题赛程问题2009C卫星和飞船的跟踪测控卫星和飞船的跟踪测控 D会议筹备会议筹备 Thanks!End!
