1、第第3 3章章 两体问题两体问题一、中心势场中单粒子的运动：中心力：redrdVVF粒子的轨道方程：222)(2rmLrVEmdrt222)(2rLrVEmdrrLd体系能量守恒：角动量守恒：CrVrrmE)(21222CmrL2二、与距离r成反比的中心势场:(万有引力势和库仑静电势)：在万有引力作用下天体运动的轨迹问题也称为开普勒问题。此时GM，质点的轨道方程可写为cos1eprrrV)(其中：22221,mELemLp在库仑排斥势场中粒子的轨道方程：cos1epr2a2bcpyxrOEepa212EmLb222bac近日点：，远日点carmincarmax32amT周期：，椭圆面积：abs
2、cos1epr22221mELemLp三、开普勒行星三定律：(1)行星沿椭圆轨道绕太阳运行，太阳在椭圆的一个焦点上；(2)行星与太阳的联线扫过的面积与时间成正比，或者说相等时间内扫过的面积相等；(3)行星运动的周期的平方与它们的轨道半长轴的立方成正比。cos1epr宇宙速度：(1).第一宇宙速度v1,也称环绕速度，即环绕地球运动的最低发射速度)/(9.71skmgRv(2).第二宇宙速度v2,也称逃逸速度，即脱离地球运动而绕太阳运动的最低发射速度)/(2.1122skmgRv)/(5.16)(20223skmvvvv(3).第三宇宙速度v3,即飞离太阳系的最低发射速度其中v0为地球绕太阳的公转
3、速度，v为earthsunsunrGmv2msun为太阳的质量，rsun-earth为太阳-地球之间的距离。四、运动轨道的稳定性条件：0220202023ududFLumduduA比耐公式：FLmududu2222由微小扰动：0uu微小扰动满足方程：022Add轨道的稳定性条件为：0)(214232drdFrLmrFrLmA或：021224232drVdrLmdrdVrLmA五、弹性碰撞和散射截面：如果两个粒子在碰撞前后其内部状态都不发生改变，则这种碰撞称为弹性碰撞或弹性散射机械能守恒动量守恒有：微分散射截面：)(21cossintan12121mmm2sin2cos2210110201212
4、1222101mmvmvvmmmmmmvndNdbdbd2立体角：drdSdsin223.1 求质点在中心势场 中运动的微分方程的解。解：由公式 ，代入02rV令：2222rLrVEmdrrL02rV2222221)2(212rLmmErdLrLrEmdrrLru1mEuLmduL2)2(22讨论：(1)当 22,02LmmEcumEmLmLLumLmEdumLL22arccos222222222第第3 3章章 两体问题两体问题选适当，使c=0,得 2221cos221LmmLmEru(2)当 22,02LmmEcumELmarcshLmLLmmEuduLmL22222222222选适当，使c
5、=0,得 1222122LmshLmmEru(3)当 22,02LmmEcuEmLmarcchLmLLmEmuduLmL22222222222选适当，使c=0,得 1222122LmchLmEmru)(lim,)(limshch第（2），（3）中情况会出现r0，即质点被力心所俘获mLmLErmEt2221222 rrrLmmrmEEmmLmrmErdrmLrEmdrt02220222202222)2(4844882当 ，t值有限0,022ELm3.2 质量相同的两个质点，用一固有长度为l劲度系数为k，质量不计的弹性棒连接起来，用手握住其中一个质点，使另一个做水平圆周运动，其速度为V0，然后将手
6、放开，讨论这两个质点以后的运动情况。解：放手前，体系质心做圆周运动，放手后质心在离心力作用下做抛体运动。仅考虑体系的相对运动，体系势能 。两粒子相对运动可看成质量为折合质量mr的质点的运动，运动方程为：2)(21lrkV其中：轨道方程为：rrrrmLlrkEmdrt02222)(212lkmvrmmmmmmr2002121,21rrrrrrLlrkEmdrrLd002222)(2123.3 质点在一纬中心引力 的作用下，以速度为0，x=-a处开始运动，试求该质点到达力心o的时间。解：设无穷远处为势能零点，则代入粒子在中心势的运动方程：xFxdxxxvxln)(0222lnln2)(2axmdr
7、rmLxVEmdrt3.4 定性的讨论粒子在中心势 中的运动，式中k和为常数。解：当 1时，V0，此时近似做自由粒子的运动；当 1时，粒子近似做在势场 中的开普勒运动；当 1时，粒子近似做开普勒运动，但势场减弱为rekVrrrkVrkrrekVerk 1r3.6 求粒子在中心力 的作用下的轨道方程。解：粒子的中心势场可写为代入 32rcrkFrcrkV2222221)(221)(2rLmcrmkmErLdrLrVEmdrrLd令：，ru122222244222)(ABuAADBABudALmEumkuLmcLdumEDmkBmcLA2222222222cos)()(22LmcLmcLmcLmE
8、kmmcLmkucos1cos)(211222222epLmcLkmmcLmEmkmcLr其中：22222)(21,1,kmmcLmEeLmcmkmcLp3.8 试求粒子在势场 中运动且E=0(抛物线轨道)时，坐标对时间的依赖关系。解：粒子在中心势场 中运动，代入运动方程：222222222)(2LrmmrdrrmLrmdrrmLxVEmdrtrVrV令 ，则2222LrmLmLLr222232)1(221232322323232222mLdmLdmLLdLmLmLLmt若 ，则mLp2)1(31223mpt)3()1(4)1(4sin)2()1(22)1(2)1(cos22222222222
9、2pppxrrypppmLprprx3.11 证明在椭圆轨道情况下，动能对时间的平均值等于势能对时间的平均值的一半(位力定理)。证明：在椭圆轨道情况下，。设 ，a，c分别是半长轴和焦距cos1eprrV有：，周期VrrmEaE)(21,2222可写为：，即arrrm2)(21222armrLrm22212232amTmLarrmrdtdr222122222)(armaLadrmgrdt势能：amamaarmaLadrmadrVcaca21arcsin4)(212220动能：aaadardrrT22)2(1)(21100222VT21证明2：令：rpsTrFrrmrFrprps2经过一个周期：T
10、rF20又：，在椭圆轨道rVF2)(rFrrV)(22rVrrrT3.13 运动粒子m1和静止粒子m2碰撞后，试在实验室系中用粒子的偏转角来表示粒子碰撞后的速度，即用 和 来表示 和解：设m1的初速度为可得：01V02V01V2sin2cos22101102012121222101mmVmVVmmmmmmV其中：coscos1cossintan21222121mmmmmm12222)(21代入上式得：011221222112110122101102sin1coscos2VmmmmmmmVmmVmV3.22 设一质量为m的质点在 的中心力场中运动，试求其在稳定平衡位置r0附近做径向小振动的频率。
11、解：由比耐公式，轨道微分方程为：其中xrF)(FLmududu2222drdvFru,1设势场有一微小扰动，使粒子轨道0uu代入上式，保留到的一级项，得满足方程：022Add得轨道稳定条件为：0121)(212222224232LrmLrmLrmdrdFrLmrFrLmA 轨道稳定 附近径向振动频率0rLrmLLrmLf221220222023.23 在地球表面A处，一发射角60和初速 发射一卫星，其中R为地球半径(自转可略)。(1)试求发射瞬间卫星轨道的曲率半径和切向加速度 ；(2)试求卫星离开地面的最大高度h及在此点的速率 ；(3)如果卫星在此最大高度突然分裂成相等的两半，其一半瞬时静止，
12、试问另一半的轨道形状。解：卫星处于重力势场 中，由重力Fmg,卫星的轨道方程可写为：gRv 0ta1vrVgRmRmRvLmgRrmvEmgRRr32sin,2121,0202cos243Rr32cos1epr其中：12121,43sin222202mELeRmgRmmRvmLp轨道方程为：，当 r=R时(1)受力分析得：RmgFmvn332sin20gamgFmattt21cosv0ARO(2)当 时，有2,23maxmaxRRrhRr由机械能守恒有：mgRRMmGmvEErMmGmv2121,2120max21即：gRvmgRRmgRmv332123211221(3)当一半瞬时静止，由动量
13、守恒有，12vv 0313122121max2mgRmgRrmGMvmE12222mELme即轨道形状为抛物线(2)当 时，有2,23maxmaxRRrhRr由机械能守恒有：mgRRMmGmvEErMmGmv2121,2120max21即：gRvmgRRmgRmv332123211221R/2R/2v0ARO例1.质量为m的质点，在方向指向焦点的牛顿引力 ，的作用下运动，(1)如果质点沿一半长轴为a的椭圆轨道运动，试导出公式 其中v为质点的速度，r为质点到力心的距离;(2)如果质点沿双曲线轨道运动，证明 ；(3)对抛物线轨道，证明2rmFarv122arv122rv22例1.质量为m的质点，在
14、方向指向焦点的牛顿引力 ，的作用下运动，(1)如果质点沿一半长轴为a的椭圆轨道运动，试导出公式 其中v为质点的速度，r为质点到力心的距离;(2)如果质点沿双曲线轨道运动，证明 ；(3)对抛物线轨道，证明2rmFarv122arv122rv22解:(1)椭圆轨道)1(cos1epr 半长轴为)1(122eapepa在有心力场中，系统角动量守恒，即)3(2hr)4(sincos1sin222peheperhddrrhdtdddrr由(3)和(4)得，)5()21()cos1(21)cos21()cos1(sinsin22222222222222222222222222rpepheepheephephpherhpherrv将(2)代入(5)得，ararphv121222(2)双曲线轨道 上面式(1),(3),(4),(5)均成立，但)1(2eap代入(5)得，ararphv121222(3)抛物线轨道 式(1),(3),(4),(5)均成立，但e=1代入(5)得，rrphv2222(2)双曲线轨道，系统机械能为，(3)抛物线轨道，系统机械能为，解法2:(1)椭圆轨道，系统机械能为，rmmvE221对椭圆轨道，机械能可表示为，amE2arv122即得rmmvE221机械能又可表示为，amE2rmmvE221抛物线轨道机械能为零，所以arv122即得rv22
