1、第三章 电路的暂态分析,第一节 暂态分析的基本概念与换路定律 第二节 RC电路的暂态过程 第三节 RC电路对矩形脉冲的响应 第四节 一阶电路暂态分析的三要素法 第五节 RL电路的暂态过程,目录,习 题,返回,第一节 暂态分析的基本概念与 换路定律,暂态过程 产生暂态过程的原因 换路定律,一、暂态过程,返回,稳态：电路中的电流，电压稳定不变或者是时间上的周期函数，称为电路处于稳态。,当一个稳态电路的结构或元件参数发生改变时，电路原稳态被破坏而转变到另一种稳态所经历的过程，称为电路中的过渡过程。由于过渡过程经历的时间很短，所以又称为暂态过程或暂态。,若开关在t = 0 时接通，电路中的电流逐渐增加
2、，最终达到I=U/R,这是一种稳态。,+,t = 0,S,R,L,UL,US,UR,S打开时，电路中的电流等于零，这是一种稳态。,在图示的RL电路中,返回,二、产生暂态过程的原因,内因：电路中存在储能元件（C、L） 电容与电感上存储的能量不能跃变，所以，在含有C、L的电路中，从一种稳态到另一种稳态，要有一个过渡过程。,外因： 换路 换路是指电路的结构或参数发生变化。如开关的通断、短路、信号突然接入、电源电路参数的改变等。 换路时电路的状态会发生改变。,返回,三、换路定律 通常我们把换路瞬间作为计时起点。即在t0时换路。把换路前的终结时刻记为 t 0-，把换路后的初始时刻记为t0+。,在电感元件
3、中，储存的磁场能量为 WL=1/2 L iL2,电感中的能量不能跃变，表现为电感中的电流iL不能跃变。,在电容元件中，储存的电场能量为WC=1/2CuC2,电容中的能量不能跃变，表现为电容两端的电压uC不能跃变。,iL(0+)iL(0) uC(0+)uC(0),电感中的电流和电容两端的电压不能跃变称为换路定律，表示为：,返回,换路定律适用于换路瞬间，用它来确定暂态过程的初始值。,若iL(0+)= iL (0)=0，uC(0+)= uC(0)=0，换路瞬间，电容相当于短路，电感相当于断路。,若iL(0+)= iL(0)0，uC(0+)= uC(0) 0，换路瞬间，电容相当于恒压源，电感相当于恒流
4、源。,电路中其它电压电流在换路瞬间，用换路定律、KVL、KCL定律联合求解。,返回,元件,特征,C,L,iL(t),t = 0+,t = 0,t =,uC(t),uC(0+)=0,uC(0 ) =0,uC(0 ) =U0,uC(0+)=U0,+,-,开路,短路,iL(0+)=I0,iL(0) =I0,iL(0-)=0,iL(0+)=0,返回,例1、在图示电路中，已知R=1k US=10V，L=1H，换路前电路已处于稳态，求开关闭合后的初始值。,+,S,i,uL,R,US,解：,S闭合前，电路已 处于稳态。 iL(0 ) = 0,在S闭合的瞬间，根据换路定律有： iL(0+)iL(0) = 0,
5、uR(0+) = i(0+) R = 0 uR(0+) + uL(0+) =US uL(0+)=10V,返回,R1,US,S,C,i2,iC,uC,+,R2,例2、已知US=10V，R1=2k，R2=3k换路前电路已处于稳态，求:t0时，S断开后电压电流的初始值。,i1,请慎重作出选择：,换路瞬间C相当于短路,换路瞬间C相当于恒压源,换路瞬间i1i2,换路瞬间i1iC,返回,你的选择是错误的！,哼哼，地府又多了一个小鬼,题解,习题,通往天堂的班车已到站，恭喜你!,题解,习题,R1,US,S,C,i2,iC,uC,+,R2,i1,解：,t 0，电路稳态。 C 相当于开路， i1(0 )= i2(
6、0 )=US/(R1+R2) = 2mA uC(0 )= i2(0 ) R2= 6V,在S断开的瞬间，根据换路定律有： uC(0 )= uC(0+ )= 6V, 而 i2(0+ ) = 0 i1(0+ )= iC(0+ ) = US uC(0+ ) /R1 =2mA,返回,R1,US,S,C,iL,iC,uC,+,R2,解：,t = 0，电路稳态 C 开路，L短路, iL(0 ) =US/(R1+R2) uC(0 )= iL(0 ) R2,例3、换路前电路已处于稳态， t0时S断开,求uC(0+ )、uL(0+)、uR2(0+)、iC(0+ )、iL(0+ )。,L,uL,在S闭合的瞬间，根据
7、换路定律有： uC(0 ) = uC(0+ ), iL(0 ) = iL(0+ ) 所以有等效电路：,返回,+,R2,uC(0+),iL(0+),uR2 (0+),iC(0+),iC(0+ )= iL(0+ )=US/(R1+R2) uR2(0+ ) = iL(0+) R2 uC(0+ ) uL(0+ )= uC(0+ ) uR2(0+ ) = 0,返回,第二节 RC电路的暂态过程,零输入响应 零状态响应 电路的全响应,返回,一、零输入响应,如果在换路瞬间储能元件原来就有能量储存，那么即使电路中并无外施电源存在，换路后电路中仍将有电压电流，这是因为储能元件要释放能量。 因此，将电路中无输入信号
8、作用时，由电路内部在初始时刻的储能所产生的响应称为零输入响应。,返回,1、换路后电路的微分方程,S在1位置 uC(0)= US (初始条件),S在2位置 uR(t)+uC(t) = 0 uR(t) = i(t)R i(t) = CduC(t)/dt 得到一阶常系数线性齐次微分方程,+,S,i,uC,R,US,1,2,uR,返回,2. 解微分方程,RCduC(t) dt+uC(t) = 0,特征方程 : RCP+1= 0,P =1/RC,uC(t)= Aet/RC, uC(0) = US,有 A = US,令它的通解形式为: uC=Ae pt,代入方程得: (RCP+1) Ae pt = 0,返
9、回,显然uC、i、uR 都是按同样的指数规律变化的，且都是按指数规律衰减，最后趋于零。,i(t)=C duC(t)/dt =C d(USet/RC) dt =(US/R) et/RC,uR(t) = i(t) R =US et/RC,令=RC，称为R、C串联电路的时间常数，单位s。,返回,变化曲线为:,u、i,t,返回,O,2.时间常数,从上面的变化规律可知,过渡过程的快慢与RC有关, =RC,值越小,暂态过程进行得越快； 值越大,暂态过程进行得越慢。,当t时： uC()=USe/ = USe1 =0.368US,也就是说，零输入响应的初始值经过一个 ，衰减为原来的36.8。,一般在t(35)
10、时 uC(t)的值已很小,可认为暂态结束。,返回,US,uC,0.368US,1,t,1 2 3,2,3,返回,O,二、零状态响应,与零输入相反，如果在换路前储能元件没有能量储存，这种状态称为零状态。 因此，将电路中输入信号作用时，所产生的响应称为零状态响应。,返回,1.换路后的微分方程,S在1位置 uR(t)+uC(t) = US,uR(t) = i(t)R,i(t) = CduC(t)dt,得到一阶常系数线性非齐次微分方程,+,S,i,uC,R,US,1,2,uR,S在2位置 uC(0)= 0 (初始条件),返回,2 . 解微分方程,RCduC(t)/dt+uC(t) = US,uC()
11、= US, uC(0) = 0,i(t)CduC(t)dt=(USR) et/,uR(t) i(t) R US et/,返回,显然i、uR 是按指数规律衰减，最后趋于零。uC随t不断增加，最后趋于US 。,u、i,US,t,反映RC电路充电的速度。一般，经过 （35)的时间，可认为暂态结束。,返回,O,u,US,0.632US,uC(t),t,uC(t)=US(1e 1)0.632US,当t = 时,返回,O,+,uC,R,US,例、已知R=103k，US=100V，C=10F, 换路前电路已处于稳态，求开关闭合后5s、10s、30s时的uC值，并画出uC曲线。,解：,uC(0)= 0 (初始
12、条件),开关闭合,=100(1e0.1t),t =5s uC = 39.4V t =10s uC = 63.2V t =30s uC = 95V,u/V,uC(t),t,100,返回,O,换路前,储能元件有储能,即非零状态, 这种状态下的电路与电源接通，储能元 件的初始储能与外加电源共同引起的响应 称为全响应。,三、电路的全响应,对于线性电路，全响应为零输入响应和零状态响应的叠加。,全响应=零输入响应+零状态响应,返回,1. 换路后的微分方程,t = 0, S闭合 uR(t)+ uC(t) = US,初始条件为 uC(0+)=uC(0) = U0,RCduC(t)dt+ uC(t)=US,+,
13、US,S,i,(t = 0),uR,uC,R,C,得到一阶常系数线性非齐次微分方程,返回,2. 解微分方程,通解形式为:,uC(t)=US+Aet/,uC(0)=U0,U0=US+A , A=U0US,所以RC电路的全响应为:,uC(t)=US +(U0US)et/,RCduC(t)dt+ uC(t)=US,返回,3.对全响应的讨论,(1),此时电容将放电，最后达到稳态值US。,全响应稳态解+暂态解,U0 US,U0 US,此时电容将充电， 最后达到稳态值US。,uC(t)=US +(U0US)et/,返回,U0,U0,US,U0US,U0US,放电,充电,变化曲线,t,uC,返回,O,全响应
14、=零输入响应+零状态响应,(2),uC(t)=US +(U0US)et/ = US USet/ + U0et/ =US (1et/ ) + U0et/,可分别求零输入响应（令电源为零）；零状态响应（令初始值为零），然后求叠加。,返回,+,US,S1,i,uR,uC,R1,C,例、已知R1=R2 =10，US=80V，C=10F, t=0开关S1闭合，0.1ms后，再将S2断开，求uC的变化规律。(C上初始能量为零),S2,解：,(1) 0 t 0.1ms,R2,uC(0+)=uC(0)=0,零状态响应,= 80(1e10000t )V,t1 = 0.1ms uC(t1)=50.56V,(2)
15、t 0.1ms,uC(t1+)=uC(t1 )=50.56V,全响应,uC(t)=US +(U0US)et/,= 80V+(50.5680) et/V =(R1+R2)C=2104s uC(t)=80V29.44e5000(tt1)V,返回,第三节 RC电路对矩形脉冲的响应,微分电路 积分电路,返回,1.矩形波脉冲,U,t,u,tP,T,宽度tP 幅度U 周期T,若在RC串联电路两端加矩形脉冲 在0t1 C 充电 在t1 t2 C 放电 在矩形脉冲作用下，RC电路不断充放电。,t2,t1,返回,O,一、微分电路,2.电路的构成 (1) tp（tp为脉 冲宽度） (2)从电阻两端取输出,C,ui
16、,uo,R,3.输入输出关系 由于tP ,C充放电时间很短。 uC: ui=U , C充电，很快 uC=U ui=0 , C放电，很快 uC=0 uo: uo= uR= uiuC,工作波形如图所示,返回,t,t,ui,uo,U,U,U,tp,t,uC,U,返回,O,O,O,微分电路的作用是将矩形波变成为尖脉冲 ui=uC+uouC uo= Ri = RC duC/dt = RC duidt uo与ui 之间是一种微分关系。,二、积分电路 1.电路的构成 tP(tP为脉冲宽 度) (2) 从电容两端输出,2. 输入输出关系,返回,由于tP,所以充放电很慢, uC: ui=U , C充电，充电时间
17、tP 。 ui=0 , C 放电，放电时间tP 。 uo: uo= uC= uiuR ui,工作波形如图,返回,O,O,积分电路可以将矩形波转换为三角波输出。,ui=uR+uouR ( uouR) = i R = RC duC/dt = RC duo/dt uo 1/RCuidt uo与ui 之间是一种积分关系。,返回,第四节 一阶电路暂态分析的 三要素法,一阶电路 求解一阶电路的三要素法 三要素公式说明 例题,返回,只含有一个（或者可以化为一个）储能元件的线性电路，无论是简单的，还是复杂的，它的微分方程都是一阶常系数微分方程,这种电路称为一阶电路。,一、一阶电路,对于一阶电路，它的时域响应是
18、从初始值开始，按着指数规律变化，最终进入新的稳态值。过渡过程的长短取决于时间常数。,因此将初始值、稳态值、时间常数 称为一阶电路的三要素。,返回,二、求解一阶电路的三要素法 用f (t)表示电路中的某一元件的电压或电流, f ()表示稳态值, f (0+)表示初始值，为时间常数。,全响应= 稳态分量+暂态分量,f (t)=f ()+Aet,f (t)=f () + f (0+) f ()e t,只要求出f(0+),f()和 值,即可直接写出暂态过程中电压,或电流的表达式。,返回,f (0+) ：uC(0+)和iL(0+)可用换路定律在换路 前的电路求，其它电压和电流要在 换路后的电路中求得。
19、f () ：进入稳态后电容相当于开路，电感 相当于短路，可应用电路的分析 方法计算电压或电流的稳态值。,三、三要素公式说明,时间常数：在换路后的电路中求得,=R0C,R0是换路后的电路中，从C两端看进去的 将恒压源短路，恒流源开路后的等效电阻。,返回,例1、图示电路中,IS=6mA, C=0.1F, R1=6k, R2=1k, R3=2k，换路前处于稳态，在t = 0时将S闭合, 试求uC(t)，画出曲线。,S,R2,R3,R1,IS,解:,uC(0+)=uC(0),C,= (R1+R2) / R3 C =0.155103s,uC(t)=uC()+uC(0+) uC()et/ = 8V+(36
20、8)e6430t V =8V28e6430t V,36,返回,O,例2、图示电路中，IS=8mA，C=4F, R1=2k，R2=3k，R3=1k，R=5k ，E=10V，换路前处于稳态，在t = 0时将S由1打向2，试求uC(t)，画出曲线。,S,R,R2,R3,R1,IS,E,解:,uC(0+)=uC(0),C,= (R1/R2)+R3 C=8.8103s,uC(t)=uC()+uC(0+) uC()et/ = 6V+(126)e114t V =6V+6 e114t V,1,2,12,返回,O,r,US,C,iK,iC,uC,+,R,ir,例3、图中电路原已稳定，求开关闭合后的 uC 和 i
21、K 。,解：,iC uC(t)R (USR) et/RC,ir= US / r,uC(0+)=uC(0) = US,uC()= 0, = RC,返回,例4、图示电路中U=20V,R=50k,C=4F, 在t=0时闭合S1,在T=0.1s时闭合S2,试求S2闭合后的uC(t),并画出曲线,设S1闭合前uC=0。,U,S1,S2,C,uC(t),R,R,解:S1闭合后:,uC(0+)=uC(0)=0 uC()= U = 20V 1= RC = 0.2s,uC(t)=uC()+uC(0+)uC()et/ =20(1e5t)V,返回,当t0.1s时 uC(0.1)=20(1e5t)V 7.87V,2=
22、 (R/R) C =2.51044106 s= 0.1s uC(t)=uC()+uC (0+) uC()et/ = 20V12.13e10(t0.1)V,U,C,uC(t),R,R,S2闭合后: uC(0+)=7.87V uC()=U=20V,返回,S1,S2,变化曲线如图,uC,20V,7.87V,O,0.1s,t,10.2s,20.1s,返回,例5、已知，U=10V,R1=10k,R=15k, C=50F,换路前处于稳态，在t=0时打开S1, 经过1s后打开S2,试求uC(t)，并画出曲线。,U,S1,S2,C,uC(t),R1,R,解:,uC(0+)=uC(0-)=U/2 =5V uC(
23、)= 0 1= RC = 0.75s,uC(t)=uC()+uC(0+)-uC()et/ =5e1.3t V,R,返回,U,S1,S2,C,uC(t),R1,R,R,当t =1s 时 uC(1)=5e1.3V 1.36V,S2打开: uC(0+)=1.36V uC() =0V,2= (R+R1) C =2.510450106 s= 1.25s uC(t)=uC()+uC(0+) uC()et/ = 1.36e0.8(t1)V,返回,变化曲线如图,uC,5V,1.36V,O,1s,t,1=0.75s,2=1.25s,返回,例6、已知，U=90V，R=60 ，r =30, C=10F,换路前处于稳
24、态，在t0时闭合S，试求uC(t) ,经过0.4ms后又打开S，试求uC(t)。,U,S,R,R,r,r,C,解:S闭合前:,uC(0+)=uC(0)=UR/(R+r) =60V,=60V30V=30V,返回,U,S,R,R,r,r,C,uC(t)=uC()+uC(0+)uC()et/ = 30 V+ 30e2500t V,当t1 =0.4ms 时 uC(t1)= 30V+30e2500t1 V 41V,uC()=UR/(R+r) =60V,uC(t)= 60 +(4160)e(tt1)/V = 60V19e2000(tt1)V,返回,第五节 RL电路的暂态过程,一阶RL电路的三要素法 例题,
25、返回,求解RL电路的暂态过程与求解RC电路的暂态过程的步骤相同，所不同的是RL电路的时间常数为=L/R L单位为H，R单位为时，单位为s。 用列微分方程，解微分方程来求解暂态过程的方法称为经典法，通过经典法可归纳出求解一阶电路的三要素法。,返回,例1、在图示电路中，已知L=1mH，R=10,电压表内电阻RV=1.5k,电源电压U=10V，在t =0时开关S断开，S断开前电路已处于稳态，求S断开后电压表两端电压的初始值及变化规律。,V,RV,S,a,b,L,R,iL,t=0,U,解： iL(0)=U/R=1A iL(0+)=iL(0)=1A S断开的瞬间 uab(0+)=iL(0+)RV =15
26、00V,返回,uab()=0 = L/(R+RV) =10.001/(10+1500)s =0.6610 8 s uab(t)=uab()+uab(0+) uab()et / = 1500e1. 51 1000000t V,返回,说明:换路的瞬间,电压表两端出现了1500V的高压,尽管暂态时间很短也可能使电压表击穿。通常在切断电感电路时,在线圈两端反并联一个二极管,以限制断开时的电压，保证电路中电气设备和操作人员的安全,电路如图所示。,返回,例2、换路前处于稳态，t = 0，断开S，求iL(t)。,6V,10mH,10,iL,解: iL(0+)= iL(0) =0.24A,S,5,5,5, =
27、 10103H10/(5+5)+5 103s,iL(t)= iL()+iL(0+)iL()et/ =0.3A0.06e1000tA,返回,例3、已知R1=R2=2 ，R=4 ，L=6mH， US1= US2= 12V，t0，先闭合S1，经过 t1=1ms，再闭合S2，求uab。,US1,L,R1,R2,R,iL,解: (1) 0 t t1 iL(0+)= iL(0)=0 iL()=US1/(R+R1) =2A = L/(R+R1) = 103s,US2,S1,S2,a,b,iL(t)= iL()+iL(0+)iL()et/ =2(1e1000t)A,返回,iL(t1+)= iL(t1) = 2
28、(1e1)A=1.26A iL()=US1/(R+R1/2) =2.4A = L/(R+R1/2) =1. 2103s,uab=US1R1 iL=12V4(1e1000t)V = 8V+4e1000t V,US1,L,R1,R2,R,iL,US2,S1,S2,a,b,(2) t t1,iL(t) =2.4A+(1.262.4)e833(t t1)A,uab=US1iLR1/2=(122.4)V+1.14e833(t t1)V = 9.6V+1.14e 833(t t1)V,返回,iL,解: iL(0+)= iL(0)=0 1= L/R1=5103s iL()=US/R1=1A,S,iL(t)=1Ae200tA iC(t)=0.5e250tA,例4、已知R1=100 ，R2=200 ，L=0.5H， US1= 100，C=20F，t0，闭合S，求i(t)。,C,iC,i,US,R1,R2,uC(0+)= uC (0)=100V iC(0+) = uC(0+)/R1=0.5A iC()=0 2= R2C=4103s,i(t)= iL(t)iC(t) =(1e200t0.5e250t)A,返回,
