1、2.1.1椭圆及其标准方程第二章 2.1椭圆学习目标XUEXIMUBIAO1.了解椭圆的实际背景,经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形.NEIRONGSUOYIN内容索引自主学习题型探究达标检测1自主学习PART ONE知识点一椭圆的定义平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于 的点的轨迹叫做椭圆,这两个 F1,F2叫做椭圆的焦点,|F1F2|叫做椭圆的焦距.定长(大于|F1F2|)定点两焦点的距离知识点二椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程图形焦点坐标_a,b,c的关系_F1(c,0),F2(c,0)F1(0,c),
2、F2(0,c)c2a2b21.平面内与两定点F1,F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.()2.椭圆上一点P与两焦点F1,F2构成PF1F2的周长为定值.()3.已知长、短轴长,椭圆的标准方程有两个,因为焦点在不同的坐标轴上,其标准方程不同.()思考辨析 判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWUSIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU2题型探究PART TWO题型一椭圆定义的应用例1点P(3,0)是圆C:x2y26x550内一定点,动圆M与已知圆相内切且过P点,判断圆心M的轨迹.解方程x2y26x550化成标准形式为(x3)2y264,圆心为(3,0),半径r8.
3、因为动圆M与已知圆相内切且过P点,所以|MC|MP|r8,根据椭圆的定义,动点M到两定点C,P的距离之和为定值86|CP|,所以动点M的轨迹是椭圆.反思感悟椭圆是在平面内定义的,所以“平面内”这一条件不能忽视.定义中到两定点的距离之和是常数,而不能是变量.常数(2a)必须大于两定点间的距离,否则轨迹不是椭圆,这是判断曲线是否为椭圆的限制条件.解析 b0,知不合题意,故舍去;方法二设椭圆的方程为mx2ny21(m0,n0,mn).所以所求椭圆的方程为5x24y21,反思感悟求椭圆标准方程的方法(1)定义法:根据椭圆定义,确定a2,b2的值,结合焦点位置写出椭圆方程.(2)待定系数法:先判断焦点位
4、置,设出标准方程形式,最后由条件确定待定系数即可.即“先定位,后定量”.当所求椭圆的焦点位置不能确定时,应按焦点在x轴上和焦点在y轴上进行分类讨论,但要注意ab0这一条件.(3)当已知椭圆经过两点,求椭圆的标准方程时,把椭圆的方程设成mx2ny21(m0,n0且mn)的形式有两个优点:列出的方程组中分母不含字母;不用讨论焦点所在的位置,从而简化求解过程.跟踪训练2求适合下列条件的椭圆的标准方程.(1)椭圆的两个焦点坐标分别为F1(4,0),F2(4,0),椭圆上一点P到两焦点的距离之和等于10;则2a10,c4,故b2a2c29,(2)椭圆过点(3,2),(5,1);解设椭圆的一般方程为Ax2
5、By21(A0,B0,AB),(3)椭圆的焦点在x轴上,且经过点(2,0)和点(0,1).题型三椭圆中焦点三角形问题例3(1)已知P是椭圆 上的一点,F1,F2是椭圆的两个焦点,且F1PF230,求F1PF2的面积;解由椭圆的标准方程,知a ,b2,在F1PF2中,由余弦定理得|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cosF1PF2,即4(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|2|PF1|PF2|cos 30,12F PFS(2)已知椭圆 的焦点为F1,F2,点P在椭圆上.若|PF1|4,求F1PF2的大小.|PF2|2a|PF1|2,又0F1PF2180,F1PF212
6、0.反思感悟在椭圆中,当椭圆上的点不是椭圆与焦点所在轴的交点时,这个点与椭圆的两个焦点可以构成一个三角形,这个三角形就是焦点三角形.这个三角形中一条边长等于焦距,另两条边长之和等于椭圆定义中的常数.在处理椭圆中的焦点三角形问题时,可结合椭圆的定义|MF1|MF2|2a及三角形中的有关定理和公式(如正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等)来求解.跟踪训练3已知两定点F1(1,0),F2(1,0),动点P满足|PF1|PF2|2|F1F2|.(1)求点P的轨迹方程;解依题意知|F1F2|2,|PF1|PF2|2|F1F2|42|F1F2|,点P的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆,(2)若F1PF260
7、,求PF1F2的面积.解设m|PF1|,n|PF2|,则mn2a4.在PF1F2中,由余弦定理,得|F1F2|2m2n22mncosF1PF2,4(mn)22mn(1cos 60),解得mn4.1 2PF FS核心素养之数学运算HEXINSUYANGZHISHUXUEYUNSUANHEXINSUYANGZHISHUXUEYUNSUAN待定系数法求椭圆的标准方程则a2b0矛盾,舍去.方法二设椭圆的一般方程为Ax2By21(A0,B0,AB).素养评析通过两种解法的对比,采用第二种设椭圆方程的方法能优化解题过程,减少数学运算,提高解题效率.这也正是数学运算策略升级的有力佐证.3达标检测PART T
8、HREE1.已知F1,F2是定点,|F1F2|8,动点M满足|MF1|MF2|8,则动点M的轨迹是A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段12345解析|MF1|MF2|8|F1F2|,点M的轨迹是线段F1F2.123452.椭圆4x29y21的焦点坐标是12345解析焦点在y轴上,cos sin,1234525解析由椭圆的定义知,372a,得a5,则ma225.解设椭圆的标准方程为mx2ny21(m0,n0且mn),12345课堂小结KETANGXIAOJIEKETANGXIAOJIE1.平面内到两定点F1,F2的距离之和为常数,即|MF1|MF2|2a,当2a|F1F2|时,轨迹是椭圆;当2a
9、|F1F2|时,轨迹是线段F1F2;当2a0,B0,AB)求解,避免了分类讨论,达到了简化运算的目的.dsfdbsy384y982ythb3oibt4oy39y409705923y09y53b2lkboi2y58wy0ehtoibwoify98wy049ywh4b3oiut89u983yf9ivh98y98sv98hv98ys9f698y9v698yv98x98tb98fyd98gyd98h98ds98nt98d8genklgb4klebtlkb5k tkeirh893y89ey698vhkrne lkhgi8eyokbnkdhf98hodf hxvy78fd678t9fdu90gys98y9
10、shihixyv78dfhvifndovhf9f8yv9onvkobkw kjfegiudsfdbsy384y982ythb3oibt4oy39y409705923y09y53b2lkboi2y58wy0ehtoibwoify98wy049ywh4b3oiut89u983yf9ivh98y98sv98hv98ys9f698y9v698yv98x98tb98fyd98gyd98h98ds98nt98d8genklgb4klebtlkb5k tkeirh893y89ey698vhkrne lkhgi8eyokbnkdhf98hodf hxvy78fd678t9fdu90gys98y9shihixy
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