1、3.2古典概型一、古典概型的概念【问题思考】1.填空:具有以下两个特征的试验称为古典概型:(1)有限性:在一次试验中,可能出现的结果只有有限个,即只有有限个不同的基本事件.(2)等可能性:每个基本事件发生的可能性是均等的.2.如何理解古典概型中每个基本事件的等可能性?提示就是试验的每种结果出现的可能性是均等的.例如先后抛掷两枚均匀的硬币,共出现“正、正”“正、反”“反、正”“反、反”这四种等可能的结果.如果认为只有“两个正面”“两个反面”“一正一反”这三种结果,那么显然这三种结果不是等可能的.3.做一做:下列对古典概型的说法,正确的是()试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;每个事件出现的可
2、能性相等;每个基本事件出现的可能性相等;基本事件总数为n,随机事件A中若包含k个基本事件,则P(A)=.A.B.C.D.解析:正确理解古典概型的特点,即基本事件的有限性与等可能性.答案:B2.如何从集合的角度理解古典概型的概率公式?提示如图所示,把一次试验中等可能出现的几个结果组成一个集合I,其中每一个结果就是I中的一个元素,把含m个结果的随机事件A看作含有m个元素的集合,则随机事件A是集合I的一个子集,则有3.古典概型的概率公式与频率计算公式有何区别?4.做一做:从不包括大小王的52张扑克牌中,随机抽出一张是A或K的概率为()解析:易知扑克牌中共有8张A或K,答案:A三、概率的一般加法公式(
3、选学)【问题思考】1.填空:我们把由事件A和B同时发生所构成的事件D称为事件A与B的交(或积),记作D=AB(或D=AB).概率的一般加法公式是P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB).2.在概率的一般加法公式中,事件A与事件B一定互斥吗?提示不一定.在概率的一般加法公式中,若事件A,B不互斥,则AB;若事件A,B互斥,则AB=,即互斥事件的概率加法公式是概率的一般加法公式的一种特殊情况.思考辨析思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”.(1)任意抛掷两枚骰子,所得点数之和作为基本事件,这属于古典概型.()(2)在区间0,100上任取一个数,这个数恰为2的概率为
4、1101,这个概率模型属于古典概型.()(3)若事件A,B满足P(AB)P(A)+P(B),则A,B这两个事件不是互斥事件.()(4)若事件A,B满足AB,则一定有P(AB)0.()答案:(1)(2)(3)(4)探究一探究二探究三探究四探究五易错辨析【例1】下列试验:在地球上,抛掷一个石子,观察它是否落地;从规格直径为40 mm0.5 mm的产品中,任意抽一根,测量其直径d;抛掷一枚骰子,观察其出现的点数;某人射击,中靶或不中靶;从装有大小和形状都相同的3个黑球、4个白球的不透明的口袋中任取两个球.其中是古典概型的有.解析:试验中,虽然基本事件都只有两个,但是两个基本事件发生的可能性不相同,故
5、不是古典概型;试验中,所有可能出现的基本事件有无数个,故不是古典概型.试验是古典概型.答案:探究一探究二探究三探究四探究五易错辨析反思感悟反思感悟判断一个试验是不是古典概型,关键看该试验是否具备古典概型的两大特征:(1)有限性.例如,从自然数集中任选一个数,把它和5比较大小.因为所有可能的结果有无限个,所以该试验不是古典概型.(2)等可能性.例如,在适宜的条件下种下一粒种子观察它是否发芽,这个试验的结果只有“发芽”和“不发芽”两种,但这两种结果出现的可能性一般不是均等的.所以该试验也不是古典概型.探究一探究二探究三探究四探究五易错辨析变式训练变式训练1下列试验是古典概型的是()A.在一个批次的
6、产品中任选一件产品,检验它是否合格B.在不透明的口袋里有2个白球和2个黑球,这4个球除颜色外完全相同,从中任取一球C.向一个圆面内随机地投一个点,该点落在圆内的位置D.射击运动员向一靶心进行射击,试验结果为命中10环,命中9环,命中0环解析:选项A,D中的试验每个基本事件发生的可能性是不相同的;选项C中的试验,基本事件有无限个.答案:B探究一探究二探究三探究四探究五易错辨析【例2】(1)从甲、乙等5名学生中随机选出2人,则甲被选中的概率为()(2)用三种不同的颜色给图中的3个矩形随机涂色,且每个矩形只涂一种颜色,求3个矩形颜色都相同的概率.探究一探究二探究三探究四探究五易错辨析(1)解析:把5
7、名同学依次编号为甲、乙、丙、丁、戊,基本事件空间=甲乙,甲丙,甲丁,甲戊,乙丙,乙丁,乙戊,丙丁,丙戊,丁戊,包含基本事件总数n=10.设A表示事件“甲被选中”,则A=甲乙,甲丙,甲丁,甲戊,包含基本事件数m=4.所以概率为答案:B探究一探究二探究三探究四探究五易错辨析(2)解:用三种不同的颜色给图中的3个矩形随机涂色,基本事件共有27个,如图所示.记“3个矩形颜色都相同”为事件A,由图可知,事件A的基本事件有3个,故探究一探究二探究三探究四探究五易错辨析反思感悟反思感悟1.利用古典概型的计算公式首先要判断试验是否为古典概型,其次求出公式 中m与n的值是关键;再者要将基本事件尽量全部列出,这样
8、避免重复和遗漏.2.若所求的事件是包含了两个或多个互斥的子事件,则要分别求出各个子事件的概率,再利用互斥事件概率的加法公式求所求事件的概率;若所求事件直接求情况比较多,则可以先求其对立事件的概率.探究一探究二探究三探究四探究五易错辨析变式训练变式训练2箱子里有3双不同的手套,随机拿出2只,记事件A表示“拿出的手套配不成对”;事件B表示“拿出的都是同一只手上的手套”;事件C表示“拿出的手套一只是左手的,一只是右手的,但配不成对”.(1)请列出所有的基本事件.(2)分别求事件A、事件B、事件C的概率.探究一探究二探究三探究四探究五易错辨析解:(1)分别设3双手套为a1a2,b1b2,c1c2,a1
9、,b1,c1分别代表左手手套,a2,b2,c2分别代表右手手套.从箱子里的3双不同的手套中,随机拿出2只,所有的基本事件是:(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,c1),(a1,c2),(a2,b1),(a2,b2),(a2,c1),(a2,c2),(b1,b2),(b1,c1),(b1,c2),(b2,c1),(b2,c2),(c1,c2),共15个基本事件.探究一探究二探究三探究四探究五易错辨析【例3】口袋内有红、白、黄大小完全相同的三个小球,求:(1)从中任意摸出两个小球,摸出的是红球和白球的概率.(2)从袋中摸出一个后放回,再摸出一个,两次摸出的球是一红一白的概率.解
10、:(1)任意摸出两个小球的基本事件空间为(红,白),(红,黄),(白,黄),所以,摸得红球和白球的概率为 .(2)有放回地取球.基本事件空间为(红,红),(红,白),(红,黄),(白,白),(白,红),(白,黄),(黄,红),(黄,黄),(黄,白).而摸出一红一白包括(红,白),(白,红)两个基本事件,所以概率为 .探究一探究二探究三探究四探究五易错辨析反思感悟反思感悟“放回”与“不放回”问题的区别对于某一次试验,若采用“放回”抽样,则同一个个体可以被重复抽取,而采用“不放回”抽样,则同一个个体不可能被重复抽取.探究一探究二探究三探究四探究五易错辨析1.将本例条件不变,求从袋中摸出一个后放回,
11、再摸出一个,第一次摸出红球,第二次摸出白球的概率.解:有放回地取球.基本事件空间为(红,红),(红,白),(红,黄),(白,白),(白,红),(白,黄),(黄,红),(黄,黄),(黄,白).第一次摸出红球,第二次摸出白球,只包含(红,白)一个基本事件,所以概率为 .2.将本例条件不变,求从袋中依次无放回地摸出两球,第一次摸出红球,第二次摸出白球的概率.解:基本事件空间为(红,白),(红,黄),(白,红),(白,黄),(黄,红),(黄,白),所以先摸出红球,再摸出白球的概率是 .探究一探究二探究三探究四探究五易错辨析【例4】(2017北京房山高三模拟)教育资源的不均衡是触发“择校热”的主要因素之
12、一,“择校热”也是教育行政部门一直着力解决的问题.某社会调查机构为了调查学生家长对解决“择校热”方案的满意程度,从A,B,C,D四个不同区域内分别选择一部分学生家长进行调查,每个区域选出的人数如条形图所示.为了了解学生家长的满意程度,对每位家长都进行了问卷调查,然后用分层抽样的方法从调查问卷中抽取20份进行统计,统计结果如下表所示.探究一探究二探究三探究四探究五易错辨析(1)若家长甲来自A区域,求家长甲的调查问卷被选中的概率;(2)若想从调查问卷被选中且填写不满意的家长中再选出两人进行面谈,求这两人中至少有一人来自D区域的概率.探究一探究二探究三探究四探究五易错辨析解:(1)由条形图可得,来自
13、A,B,C,D四个区域的家长共有200人,其中来自A区域的家长有40人,由分层抽样可得从A区域家长的调查问卷中抽取了设事件M表示“家长甲的调查问卷被选中”,(2)易知来自A,B,C,D四个区域的家长的调查问卷被选中且填写不满意的人数分别为1,1,0,2.记来自A区域填写不满意的家长是a;来自B区域填写不满意的家长是b;来自D区域填写不满意的家长分别是c,d.设事件N表示“从填写不满意的家长中选出两人,至少有一人来自D区域”,从填写不满意的家长中选出两人有:(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d),共6个基本事件,而事件N包含(a,c),(a,d),(b,c),(b
14、,d),(c,d)5个基本事件,故P(N)=.探究一探究二探究三探究四探究五易错辨析反思感悟反思感悟对于古典概型与统计的综合问题,一般先处理统计问题(如抽样、频率分布、数字特征等),做好铺垫后就化归为古典概型问题了.因此知识点的逐步转化是解决此类问题的关键.探究一探究二探究三探究四探究五易错辨析变式训练变式训练3海关对同时从A,B,C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测,从各地区进口此种商品的数量(单位:件)如下表所示.工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.(1)求这6件样品中来自A,B,C各地区商品的数量;(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测,求
15、这2件商品来自相同地区的概率.探究一探究二探究三探究四探究五易错辨析所以A,B,C三个地区的商品被选取的件数分别为1,3,2.(2)设6件来自A,B,C三个地区的样品分别为A;B1,B2,B3;C1,C2.则抽取2件商品构成的所有基本事件为A,B1,A,B2,A,B3,A,C1,A,C2,B1,B2,B1,B3,B1,C1,B1,C2,B2,B3,B2,C1,B2,C2,B3,C1,B3,C2,C1,C2,共15个.每件样品被抽到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的.记事件D:“抽取的这2件商品来自相同地区”,则事件D包含的基本事件有B1,B2,B1,B3,B2,B3,C1,C2,共4
16、个.所以P(D)=,即这2件商品来自相同地区的概率为 .探究一探究二探究三探究四探究五易错辨析【例5】从1,2,3,10中任选一个数,求下列事件的概率.(1)它是偶数;(2)它能被3整除;(3)它是偶数且能被3整除;(4)它是偶数或能被3整除.思路分析解答本题可先由古典概型求得(1)(2)(3)问,再由概率的一般加法公式解决第(4)问.探究一探究二探究三探究四探究五易错辨析探究一探究二探究三探究四探究五易错辨析反思感悟反思感悟概率的一般加法公式同概率的加法公式在限制条件上的区别:(1)在公式P(AB)=P(A)+P(B)中,事件A,B是互斥事件.(2)在公式P(AB)=P(A)+P(B)-P(
17、AB)中,事件A,B可以是互斥事件,也可以不是互斥事件.探究一探究二探究三探究四探究五易错辨析因没弄清问题是否与顺序有关而致误【典例】甲、乙两人参加普法知识竞赛,共有5道不同的题目,其中选择题3道,填空题2道,甲、乙两人依次各抽取一道题,求甲抽到选择题,乙抽到填空题的概率.错解设这3道选择题分别为A,B,C,2道填空题分别为D,E,甲、乙两人依次各抽取一道题的情况有(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E),共10种.甲抽到选择题,乙抽到填空题的情况有(A,D),(A,E),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E
18、)6种,故所求概率为 .探究一探究二探究三探究四探究五易错辨析正解设3道选择题分别为A,B,C,2道填空题分别为D,E,甲、乙两人依次各抽取一道题的情况有(A,B),(B,A),(A,C),(C,A),(A,D),(D,A),(A,E),(E,A),(B,C),(C,B),(B,D),(D,B),(B,E),(E,B),(C,D),(D,C),(C,E),(E,C),(D,E),(E,D)20种,甲抽到选择题,乙抽到填空题的情况有(A,D),(A,E),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),共6种,故所求概率为防范措施1.解决此类问题的关键是弄清问题是否与顺序有关,正确地写出基本事件
19、空间.2.错解产生的根本原因是把“甲、乙两人依次各抽取一道题”理解为了“甲、乙共抽两道题”,要注意前者与顺序有关,后者与顺序无关,因此解决此类问题要注意审清题意,并正确写出所有基本事件.探究一探究二探究三探究四探究五易错辨析变式训练变式训练有1号、2号、3号3个信箱和A,B,C,D 4封信,若4封信可以任意投入信箱,投完为止,其中A信恰好投入1号或2号信箱的概率是多少?解由于每封信可以任意投入信箱,对于A信投入各个信箱的可能性是相等的,一共有3种不同的结果.投入1号信箱或2号信箱出现了2种结果,所以所求概率为 .123451.不透明的袋中有2个红球,2个白球,2个黑球,从里面任意摸两个小球,其
20、中不是基本事件的是()A.P1=正好2个红球B.P2=正好2个黑球C.P3=正好2个白球D.P4=至少1个红球解析:注意事件和基本事件的区别,基本事件可以理解为基本事件空间不能再分解的最小元素,而一个事件可以由若干个基本事件组成.答案:D123452.新学期开始,数学老师要从甲、乙、丙三位同学中任选两人作为课代表,甲未被选中的概率为()答案:B123453.已知集合A=2,3,4,5,6,7,B=2,3,6,9,在集合AB中任取一个元素,则它是集合AB中的元素的概率是()解析:AB=2,3,4,5,6,7,9,AB=2,3,6,所以由古典概型的概率公式得,所求的概率是 .答案:C123454.
21、一个电路板上装有甲、乙两根熔丝,甲熔断的概率为0.85,乙熔断的概率为0.74,两根同时熔断的概率为0.63,则至少有一根熔断的概率是.解析:P=0.85+0.74-0.63=0.96.答案:0.96123455.掷一颗骰子,观察掷出的点数.(1)求掷得点数为3的倍数的概率.(2)求掷得点数不大于4的概率.dsfdbsy384y982ythb3oibt4oy39y409705923y09y53b2lkboi2y58wy0ehtoibwoify98wy049ywh4b3oiut89u983yf9ivh98y98sv98hv98ys9f698y9v698yv98x98tb98fyd98gyd98h
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