1、第四章 根轨迹法根轨迹法是一种图解法，它是根据系统的开环零极点分布，用作图的方法简便地确定闭环系统的特征根与系统参数的关系，进而对系统的特性进行定性分析和定量计算。根轨迹的基本条件，常规根轨迹绘制的基本规则，广义根轨迹的绘制，用根轨迹图确定闭环极点及系统性能指标。介绍了如何利用MATLAB绘制系统的根轨迹。内 容 提 要v线性时不变系统的动态性能主要取决于闭环系统特征方程的根（闭环极点），所以控制系统的动态设计，关键就是合理地配置闭环极点。调整开环增益是改变闭环极点的常用办法。v1948年伊凡思(W.R.Evans)提出了根轨迹法，它不直接求解特征方程,而用图解法来确定系统的闭环特征根。所谓根
2、轨迹，就是系统的某个参数连续变化时，闭环特征根在复平面上画出的轨迹。如果这个参数是开环增益，在根轨迹上就可以根据已知的开环增益找到相应的闭环特征根；也可以根据期望的闭环特征根确定开环增益。绘制根轨迹曾经是枯燥繁琐的工作，MATLAB的出现使这项工作变得轻松愉快，如今在计算机上一分钟就能绘制一张精确的根轨迹图。本章注意继承传统根轨迹法中的精华，也注意吸纳根轨迹法的最新进展。具体选材上，侧重根轨迹的相角条件和基本规则，主推MATLAB绘制根轨迹，突出如何有效地运用根轨迹法。v考虑图示负反馈控制系统，设其开环传递函数为：则该系统的闭环特征方程为：)2)(1()()(sssKsHsG02323 Kss
3、s4.1 根轨迹的基本概念当K从零到无穷大连续变化时，闭环极点在S平面(复平面)上画出的根轨迹如图所示。v当开环增益K从零到无穷大连续变化时，闭环极点在S平面(复平面)上移动画出的轨迹图即根轨迹图。从上述根轨迹图中可以看到：当0K0.385时有两个闭环极点成为共轭复数。只要0Km时，开始于n个开环极点的n支根轨迹，有m支终止于开环零点，有n-m支终止于无穷远处。因为，终点就是K的点，要K只有两种情况，一种是s=zl，另一种是s。这时，无穷远处也称为“无穷远零点”。当nm时，终止于m个开环零点m支根轨迹，有n支来自n个开环极点，有m-n支来自无穷远处。必需指出，实际系统极少有nm时，根轨迹一定有
4、nm支趋向无穷远；当nm时，根轨迹一定有mn支来自无穷远。可以证明：当nm时，根轨迹存在|nm|支渐近线，且渐近线与实轴的夹角为：所有渐近线交于实轴上的一点，其坐标为1|,2,1,0,180)12(0 mnkmnkk mnzpmllnii 11 规则3：渐近线实轴上的开环零点和开环极点将实轴分为若干段，对其中任一段，如果其右边实轴上的开环零、极点总数是奇数，那么该段就一定是根轨迹的一部分。规则4：实轴上的根轨迹v该规则用相角条件可以证明，设实轴上有一试验点s0。任一对共轭开环零点或共轭极点（如p2，p3），与其对应的相角（如2，3）之和均为360，也就是说任一对共轭开环零、极点不影响实轴上试验
5、点s0的相角条件。对于在试验点s0左边实轴上的任一开环零、极点，与其对应的相角（如4，3）均为0。而试验点s0右边实轴上任一开环零、极点，与其对应的相角（如1，1，2）均为180。所以要满足相角条件，s0右边实轴上的开环零、极点总数必须是奇数。v根轨迹与虚轴的交点是临界稳定点。将s=j代入闭环特征方程，令特征方程的实部和虚部分别等于零，可以解出0和K0。用劳斯（Roth）判据也可以求得K0。v当从K零变到无穷大时，根轨迹可能出现先会合后分离，这样的点称分离点。分离点对应重闭环极点。显然，位于实轴上的两个相邻的开环极点之间一定有分离点，因为任何一条根轨迹不可能开始于一个开环极点终止于另一个开环极
6、点。同理，位于实轴上的两个相邻的开环零点之间也一定有分离点。规则5：根轨迹与虚轴的交点v当从K零变到无穷大时，根轨迹可能出现先会合后分离，这样的点称分离点。分离点对应重闭环极点。显然，位于实轴上的两个相邻的开环极点之间一定有分离点，因为任何一条根轨迹不可能开始于一个开环极点终止于另一个开环极点。同理，位于实轴上的两个相邻的开环零点之间也一定有分离点。规则6：根轨迹的分离点 当然，分离点也可以是复数，两个相邻的开环复极点（或零点）之间可能有分离点。对实际系统，依据规则14基本就能确定有无分离点。基于分离点是重闭环极点的事实可以证明，分离点的座标，是下列代数方程的解：必须说明的是，方程只是必要条件
7、而非充分条件。也就是说，方程的解不一定是分离点，是否是分离点还要看其它规则。mllniizp1111 v根轨迹从某个开环极点出发时的切线与实轴的夹角称为出射角；根轨迹进入某个开环零点的切线与实轴的夹角称为入射角。用相角条件不难证明，根轨迹从开环极点pi出发的出射角为：根轨迹进入某个开环零点Zl的入射角为：)()(18011jinijjjimjpppzpi )()(18011jlnjjlmljjzpzzzl 规则7：根轨迹的出射角和入射角v上述规则对绘制根轨迹很有帮助，根据规则14就能很快地画出大致形状，再按规则5求出临界增益K0，这样的根轨迹图就很有用了，一般称其为概略图。除非系统阶次很低，否
8、则根据规则6，求解方程求分离点决非易事；根据规则7，计算出射角和入射角也不简单，并且出射角和入射角的意义并不大，因为它仅仅反映了开环极、零点处根轨迹的走向，稍远一点就不起作用了。所以，画根轨迹最有用的是规则15，如果想得到更精确的根轨迹图，只有使用Matlab。v仍然考虑前面举例的负反馈控制系统，按7个基本规则绘制根轨迹图。首先，系统有三个无穷远零点，有三个开环极点：p1=0，p2=-1，p3=-2 将它们标在复平面上，开环极点的位置用表示；开环零点的位置用o表示。根据规则1和规则2，根轨迹将有3条分支，分别开始于这三个开环极点，趋向无穷远。)2)(1()()(sssKsHsG3.绘图示例根据
9、规则3，根轨迹有3根渐近线，它们与实轴的夹角是：所有渐近线交于实轴上的一点，其坐标为：根据规则4，实轴上的-1，0段是根轨迹的一部分；实轴上的(-，-2段也是根轨迹的一部分。实际上后者就是从开环极点p3出发趋向无穷远的一支，与渐近线的分析一致，这一支已经是精确图形了。30018060210,3180)12(2100 ，kkk13210 根据规则5，可以确定根轨迹与虚轴的交点。先用劳斯判据，根据特征方程系数列出劳斯阵列为：使第一列中s1项等于零，可以求得K=6。通过求解由s2行得出的辅助方程 3s2+K=3s2+6=0，可以求得根轨迹与虚轴的交点为 ，交点处的频率为 。KsKsKss012336
10、321 2js 2 另一种确定与虚轴交点的方法是，令特征方程中的s=j得：令上式中的实部和虚部分别等于零，可以得到=0，K=0或 。因此根轨迹在 处与虚轴相交，交点处K=6。实轴上的根轨迹在=0处也与虚轴相交。根轨迹在实轴上的-1，0段有一个分离点，根据规则6，有 整理得：32+6+2=0 解得=-0.423，=1.577，显然只有-0.423在根轨迹上。0)2()3(2)(3)(3223 jKKjjj6,2 K 2 021111 根轨迹从p1，p2，p3出发的出射角已经很明确，为了验证规则7，还可计算一下：180180180180,01800180,18000180321ppp 以上根据基本
11、规则画出的根轨迹仍然是概略图，它在实轴上的根轨迹、渐近线、与虚轴的交点是准确的，其它部分就不准确了。要做到根轨迹图准确，按传统方法要用试验点的办法进行细化，很繁琐也不可能有高的精度；按现代方法用Matlab可以快而准地绘出高精度根轨迹图。显然，基本规则是具有指导意义的，但在一些特定的情况中，仅依靠基本规则可能方案不唯一，下面举例说明：如前面图示的负反馈控制系统，其开环传递函数为11,)(1()3()()(2 aasssssKsHsG(b)(a)如果按基本规则，图(a)和图(b)两种形状都有可能性，实际上用Matlab绘出是图6(a)，当a增加时根轨迹的中间部分在变化，当a=12时 Matlab
12、绘出根轨迹如图(b)。v有时系统需要调整的不是开环增益K，而是其它参数。在这些情况下，如果能够将闭环特征方程变形，得到与典型根轨迹方程相似的形式，就可以套用其绘制方法了。v有时控制系统增加开环零点以改善动态性能，图(a)所示系统就是一个例子，其中参数T到底选多大？可以借助根轨迹来确定。4.3 特殊根轨迹图该系统的闭环特征方程为：上式两边同除 s(1+5s)+5 就得到：将式中的T作为参量，它就是典型的根轨迹方程形式，055)51(Tsss01)2.0(1 ssTs因为 所以等价为典型根轨迹方程后，相当于 n=2，m=1，z1=0，p1,2=-0.1j0.95 v注意：这里的z1，p1，p2并不
13、是图(a)所示系统的开环零、极点，而是等价为典型根轨迹方程后，等价系统的开环零、极点，这是与典型根轨迹的主要区别。)995.01.0)(995.01.0(1)2.0(sjsss这样，用基本规则就可绘出其根轨迹，如图(b)所示。它明确表示了图(a)系统中，T 对闭环极点的影响。v有时控制系统需增加开环极点，图(a)所示系统就是一个引入滤波器而增加了开环极点的例子。该系统的闭环特征方程为：两边除 s(s+1)+K 得0)1()1()1)(1(2 sTsKssKTsss0)1()1(12 KsssTs(2)开环极点为参量的根轨迹 将上式中的K取固定常数，T作为参量，它就是典型根轨迹方程的形式，相当于
14、n=2，m=3，n0)：这时特征方程变成：对应的相角条件变成：).()().()()()(2121nmpspspszszszsKsHsG 0).()().()(12121 nmpspspszszszsK2,1,0,360)()(11 kkpszsinilml2.正反馈系统的根轨迹v这种情况主要发生在系统闭环为正反馈等特殊情况，比如有的多环控制系统将某个内环设计为正反馈。由于相角条件的改变，导致基本规则3、4和7必须修改。规则3：渐近线与实轴的夹角为规则4：实轴上的某一段如果其右边实轴上的开环零、极点总数是偶数，那么该段就一定是根轨迹的一部分。规则7：根轨迹的出射角和入射角公式中的180，均改为
15、360。1|,2,1,0,3600 mnkmnkk 考虑前面图示的反馈控制系统，设其开环传递函数为用Matlab绘出根轨迹如图，它印证了上述三点改动。)3)(2()1()()(ssssKsHsGv考虑含有延迟环节的系统：其闭环特征方程为：当K给定时它有无穷多个根，所以根轨迹有无穷多支。方程就是 所以对应的相角条件为：01)()(sKesHsGTs011 sKeTs11 sKeTs,2,1,0,180)12()1(10 kksesKeTsTs3.延迟环节的根轨迹 由于 e Ts=e jT=-T(弧度)=-T 57.3所以相角条件变成：(s+1)=(2k+1)180-T 57.3 当k=0时相角条
16、件为：(s+1)=180-T 57.3 如果复平面上任一点满足，条件就在根轨迹上，否则就不在根轨迹上。条件还与大小有关，若=0，实轴上满足(s+1)=180的点就在根轨迹上，显然实轴上(，1段上的点均在根轨迹上；再如=1直线上的点，如果试验点s1满足(s+1)=180条件，就在根轨迹上，否则就不在根轨迹上。这样，可以作出k=0时的根轨迹如图所示。当k=1，2，时，相角条件各不相同，取T=1，根据各自的相角条件可以绘出k=1，2，时的根轨迹图。这样的根轨迹分支有无穷个。由图可以看出，当k=0时，临界增益K0=2，当k=1时，临界增益K0=8，当k=2时，临界增益K0=14，即k 越大临界增益K0
17、也越大。这是必然结果，因为临界增益对应根轨迹上s=j的点，从相角条件知道s=j时k越大越大，再从幅值条件：知道越大K也越大。所以在分析稳定性时，只需看k=0的根轨迹图就行了。|1|1|jejKj 用Matlab绘制根轨迹图十分准确、快捷。现在用一个例子来说明用法。考虑本章开始所举例的闭环负反馈控制系统，设用Matlab绘制根轨迹只要知道开环传递函数分子分母的系数，并分别填入分子向量num和分母向量den中，然后调用绘制根轨迹的专用函数rlocus就行了。)14.1)(6)(4()42()()(22 sssssssKsHsG4.4 用MATLAB绘制根轨迹图对于本例，最简单的程序就是：在Matl
18、ab的命令窗（Command Window）中执行这个程序，运行后就自动绘出根轨迹图。从根轨迹图可以看出：当0K14或64Knum=1 2 4;den=1 11.6 39 43.6 24 0;rlocus(num,den)v在MATLAB窗中，进入FileExport，可将绘出的根轨迹图存为需要的图形文件，比如命名为Exam2.pcx，这个图形文件可以插入Word文挡。与绘制根轨迹有关的函数还有：pzmap绘制根轨迹的开环零、极点。rlocfind计算给定点的K值。sgrid在连续系统根轨迹图上绘制阻尼系数和自然频率栅格。zgrid在离散系统根轨迹图上绘制阻尼系数和自然频率栅格。例如，在上列程
19、序之后增加语句：执行后用光标左单击根轨迹上的任一点，会同时在每支根轨迹上出现红十字标出n个闭环极点的位置，命令窗中出现这n个闭环极点的座标该点和它们对应的K值。也可以在MATLAB窗中进入FilesNew，打开编辑器，在编辑器窗口编写上述程序，并创建一个M文件，比如命名为ROT2.m，然后在命令窗中运行文件名（ROT2）。k,p=rlocfind(num,den)v用根轨迹图分析控制系统的稳定性，比仅仅知道一组闭环极点要深刻得多。比如，当K在(0，)间取值时，如果n支根轨迹全部位于虚轴的左边，就意味着不管K取任何值，闭环系统都是稳定的。反之，根轨迹只要有一支全部位于虚轴的右边，就意味着不管K取
20、何值，闭环系统都不可能稳定。这种情况下，要使系统稳定，就必须增加开环零、极点，即改变系统的结构，而不仅仅是改变系统的参数。4.5 控制系统的根轨迹分析如果根轨迹没有任何一支全部位于虚轴右侧，而是有一支或多支根轨迹，由s平面的一侧穿越虚轴进入s平面的另一侧，就说明闭环系统的稳定是有条件的。知道了根轨迹与虚轴交点处的K值，就可以确定稳定条件，进而确定合适的K值。初学者容易把开环极点和闭环极点混淆，因为画根轨迹图时首先标在图上的是开环零极点，根轨迹的起点又是开环极但，因此误认为根轨迹上的点都是开环极点，这是不对的。根轨迹图上除了起点和终点外，其它点都是闭环极点的可能取值。但是开、闭环又具有相对性，在
21、下图示多环系统中，对于内环，G1(s)H1(s)是开环传递函数，其极点是开环极点；而闭环传递函数是1(s)=G1(s)/1+G1(s)H1(s)，其极点是闭环极点。对于外环，1(s)G2(s)H2(s)是开环传递函数，其极点是外环的开环极点，1(s)的极点只是外环开环极点的一部分。可见，多环系统也可以用根轨迹进行分析。一般，首先依据G(s)H(s)的零、极点，绘制内环的根轨迹图，选择合适的K1使内环稳定；再依据1(s)G2(s)H2(s)的零、极点，绘制外环的根 轨迹图，选择合适的K2使外环稳定。类似的问题还有开环稳定性和闭环稳定性，开环稳定的充要条件是开环极点都位于S平面的左半平面。开环稳定
22、不意味着闭环稳定，开环不稳定也不意味着闭环不稳定，但是开环极点确实对闭环稳定有着重要影响，因为开环零、极点对根轨迹图有重要影响。v对于下图所描述的系统，影响系统稳定性有三大因素：开环增益、开环极点、开环零点。开环增益的影响上面已经讨论，现在讨论开环零、极点的影响。下面图(a)(f)给出了对应系统的根轨迹图。图(a)、图(b)所对应系统的开环传递函数分别为：)2)(1()3()()(:)2)(1()()(:sssKsHsGbssKsHsGa图图2.开环零极点对系统的影响)2)(1()()(:ssKsHsGa图)2)(1()3()()(:sssKsHsGb图 以图(a)所示系统为参照，在它基础上增
23、加开环零、极点，研究它们对系统的影响。当K0时，图(a)，(b)代表的系统始终是稳定的 但图(b)代表的系统，可以选择到一对比图(a)离虚轴更远的闭环极点，这说明增加合适的位于虚轴左侧的开环零点，既可以增加稳定裕度又可以提高快速性。图(c)、(d)所对应的系统开环传递函数分别为：)2)(1()3()()(:sssKsHsGc图)3)(2)(1()()(:sssKsHsGd图 图(c)增加的是位于虚轴右侧的零点，显然，这时系统只有在K0.67时才是稳定的，这说明增加位于虚轴右侧的开环零点，一般使稳定性下降。)2)(1()3()()(:sssKsHsGc图如果系统具有位于虚轴右侧的零点(不管是固有
24、的还是加入的)，就称之为非最小相角系统。从本例可以看出：非最小相角系统的动态性能需要认真对付。)2)(1()3()()(:sssKsHsGc图图(d)增加的是位于虚轴左侧的极点，显然，这时系统只有在K60时才是稳定的。与图(a)相比说明：给开环系统增加位于虚轴左侧的极点，一般也会使稳定性下降。)3)(2)(1()()(:sssKsHsGd图图(e)是在图(d)基础上,再增加一个位于虚轴左侧的零点，闭环系统的稳定性又大大提高。图(f)是在图(a)基础上增加位于虚轴右侧的极点，这时从该极点出发的一支根轨迹全部位于虚轴的右边，这意味着不管K取何值，闭环系统都不可能稳定，所以增加位于虚轴右侧的极点是不
25、可取的。但是如果再增加一个合适的位于虚轴左侧的零点，该系统会变成条件稳定。v在设计控制系统时，为了使系统阶次降低或者为了抵消大的惯性环节，有时用控制器的零(极)点去抵消被控对象的极(零)点，这在大多数情况下是有利的，但也有例外。图(a)是下列三阶系统的根轨迹：附加一个零点z1=-1去低消系统的一个稳定p1=-1极点，这样系统的传递函数变成：1,)1)()()(121 psspsKsHsG1)1)()1()()(221 ssKsspssKsHsG3.零、极点相消问题 其根轨迹如图(b)所示，可见系统的稳定性大大提高了。现在考虑建模误差的影响，如果开环传递函数参数不准确，假设实际系统p1=-0.8
26、我们却按p1=-1建模，这样零极点不能正好抵消，根轨迹变成图(c)。现在考虑建模误差的影响，如果开环传递函数参数不准确，假设实际系统p1=-1.2我们却按p1=-1建模，这样零极点不能正好抵消，根轨迹变成图(d)。(c)(d)1,)1)()()(121 psspsKsHsG根轨迹图清楚地表示：尽管存在建模误差，附加零点仍然提高了系统的稳定性。但是，情况不都是这么乐观，考察下列三阶系统：如果用零点z1=1抵消系统的不稳定极点p1=1，系统开环传递函数变成：根轨迹如图(e)，零、极点正好相消，系统的稳定性大大提高。考虑建模误差的影响，假设实际系统p1=0.8，不宜用零、极点相消的办法抵消系统的不稳
27、定极点或零点。)1)()1()()(21 sspssKsHsG(f)(e)如前所述，闭环系统的稳定性完全取决于闭环极点，实际上时间响应的暂态分量也主要取决于闭环极点。每一个闭环极点si对应时间响应中的一个因子exp(sit)，称为系统的一个模态(Mode)，si在s平面上的位置决定了它对应的暂态分量的运动形式。4.闭环零极点与时间响应v系统的动态性能最终体现在时间响应上，影响时间响应的因素有两个：闭环传递函数和输入函数。前面已经分析，时间响应的暂态分量主要取决于闭环零、极点；时间响应的稳态分量主要取决于输入函数和系统的型别。4.闭环零极点与时间响应v下面图中表示了si分布于s平面上不同位置所对
28、应的暂态分量。vs平面上si分布所对应的暂态分量，规律可以总结为：1)左右分布决定终值。即，si位于虚轴左边时暂态分量最终衰减到零，si 位于虚轴右边时暂态分量一定发散，si正好位于虚轴（除原点）时暂态分量为等幅振荡。vs平面上si分布所对应的暂态分量，规律可以总结为：2)虚实分布决定振型。就是，si位于实轴上时暂态分量为非周期运动，si位于虚轴上时暂态分量为周期运动。vs平面上si分布所对应的暂态分量，规律可以总结为：3)远近分布决定快慢。具体讲就是，si位于虚轴左边时离虚轴愈远过渡过程衰减得愈快。所以离虚轴最近的闭环极点“主宰”系统响应的时间最长，被称为主导极点。vs平面上si分布所对应的
29、暂态分量，规律可以总结为：1)左右分布决定终值。即，si位于虚轴左边时暂态分量最终衰减到零，si 位于虚轴右边时暂态分量一定发散，si正好位于虚轴（除原点）时暂态分量为等幅振荡。2)虚实分布决定振型。就是，si位于实轴上时暂态分量为非周期运动，si位于虚轴上时暂态分量为周期运动。3)远近分布决定快慢。具体讲就是，si位于虚轴左边时离虚轴愈远过渡过程衰减得愈快。所以离虚轴最近的闭环极点“主宰”系统响应的时间最长，被称为主导极点。v设计系统时合理配置闭环极点是十分重要的，根据上述规律，一般先配置主导极点，然后配置非主导极点。非主导极点与虚轴的距离，应当是主导极点与虚轴距离的25倍，这样系统的时间响
30、应就主要取决于主导极点。主导极点一般安排为一对共轭复数极点，位于虚轴左边的60扇形区内，且离虚轴有一定的距离，其理由在于：v设计系统时合理配置闭环极点是十分重要的，根据上述规律，一般先配置主导极点，然后配置非主导极点。非主导极点与虚轴的距离，应当是主导极点与虚轴距离的25倍，这样系统的时间响应就主要取决于主导极点。主导极点一般安排为一对共轭复数极点，位于虚轴左边的60扇形区内，且离虚轴有一定的距离，其理由在于：闭环主导极点为共轭复数，使闭环系统的动态性能与一个二阶欠阻尼系统相似。二阶系统的动态性能是分析得最透彻的，欠阻尼系统则具有较快的反应速度。阻尼系数太大，太小都不合适，60的扇形区域意味着
31、阻尼系数不小于cos60=0.5，一般认为最佳阻尼系数是0.707。离虚轴一定的距离保证了足够的稳定裕度。稳定裕度太小，在实际应用时可能系统不稳定，因为数学模型的参数不会绝对准确，也就是说实际的主导极点位置与理论分析的位置有偏差。但也不是越远越好，因为系统总存在建模误差，离虚轴很远的极点对应很小的时间常数，如果主导极点与建模时忽略的小时间常数相当，那么主导极点就不“主导”，设计的根基就动摇了。v由于理论分析与工程实际总是有差距的，一个控制系统的设计，需要充分考虑工程实际中的非理想因素。比如，建模误差、参数不准、外部干扰等。因此，这里提出一个重要的设计理念，鲁棒性设计。v建模误差即建立系统数学模
32、型时，忽略的一些非线性、小时间常数等因素；参数不准是由于对实际系统参数的测量或估计不可能百分之百准确，并且在系统运行中参数也会发生变化；外部干扰更是五花八门，未建模的干扰会使运动偏离理论轨迹。所以，要使理论上设计的系统能真正用于实际，必须保证在非理想因素下，设计目标仍能达到或基本达到，这样的控制系统称为具有鲁棒性的系统。v再来看系统的闭环零点，应该说闭环零点对系统的稳定性没有影响，对系统的时间响应没有实质影响，但对时间响应的具体形状是有影响的。考虑下面三个闭环传递函数：它们有完全相同的闭环极点，但闭环零点不同，它们的阶跃响应分别如图(a)，(b)，(c)。222)()(:222)()(:222
33、)()(:222 ssssUsYcssssUsYbsssUsYa图图图图图图图(a)，(b)都是最小相角系统，但图(b)代表的系统多了一个左半平面的零点，它加快了响应速度(有利)，也加大了超调量(不利)；图(c)代表的是一个非最小相角系统，右半平面零点导致了特殊的“反调节”现象，这对系统的动态性能是不利的，水轮机调速系统就存在这种现象。（a）（b）（c）根轨迹是系统的某个参数连续变化时，闭环特征根在复平面上画出的轨迹。绘制根轨迹可以总结为三句话：依据的是开环零极点分布，遵循的是不变的相角条件，画出的是闭环极点的轨迹。应重点掌握，如何利用基本规则1规则5绘制概略图和用Matlab软件绘制精确图。借助于Matlab，控制系统的根轨迹分析变得更加灵活、透彻、高效。小 结对于特殊根轨迹，可以将闭环特征方程进行变形，得到一个与典型根轨迹方程相似的形式，然后套用典型根轨迹的方法来绘图。含有延迟环节的系统，根轨迹有无穷多组，最重要的是坐标原点附近的一组。根轨迹图揭示了稳定性、阻尼系数、振型等动态性能与系统参数的关系，用根轨迹图设计控制系统的关键是配置合适的闭环主导极点。要使理论设计符合工程实际，必须注意控制系统的鲁棒性。感谢下感谢下载载
