1、一维势阱势垒18-4 一维势阱一维势阱 势垒势垒一、一维无限深一、一维无限深势阱中的粒子势阱中的粒子质量为质量为m的粒子只能在的粒子只能在 0 xa 的区域内自由运动，的区域内自由运动，势能函数为：势能函数为：)0 x0 x()ax0(0)x(V或或88x=0 x=aV(x)定态薛定谔方程为：定态薛定谔方程为：)ax0(Edxdm2222 当当 x a 时，时，0)x(求解定态薛定谔方程求解定态薛定谔方程)ax0(0)x(mE2dx)x(d222 )ax0(Edxdm2222 令令mE2k 代入薛定谔方程得：代入薛定谔方程得：0)x(kdx)x(d222 此方程的通解为：此方程的通解为：kxc
2、osBkxsinA)x(由于由于阱壁阱壁无限高，所以无限高，所以0)0(0)a()1(0)0cos(B)0sin(A )2(0)acos(B)asin(A 由式（由式（1）得）得 B=0 波函数为：波函数为：)1(0)0cos(B)0sin(A )2(0)acos(B)asin(A kxsinA)x(由式（由式（2）得）得0kasinA 于是于是)3,2,1n(ank,nka anmE2k 即即:由此得到粒子的能量由此得到粒子的能量nE 3,2,1n,n)ma2(E2222n 3,2,1n,n)ma2(E2222n nE称为本问题中能量称为本问题中能量E 的的本征值本征值.势阱中的粒子其能量是
3、势阱中的粒子其能量是量子化量子化。当当 n=1,粒子具有最低能量粒子具有最低能量1E2221ma2E 12nEnE n叫作叫作量子数量子数称为称为基态能级基态能级22ma8h 1EE,1n oaxE势势阱阱中中粒粒子子能能级级图图2EE,2n 3EE,3n 4EE,4n 与与 E 相对应的本征函数，即本问题的解为：相对应的本征函数，即本问题的解为：式中常数可由归一化条件求得。式中常数可由归一化条件求得。最后得到薛定谔方程的解为：最后得到薛定谔方程的解为：)ax0()xansin(A)x(n dx)xan(sinAdx)x(a0222n 12aA2 a2A 得到得到)ax0()xansin(a2
4、)x(n 221ma8hE )xasin(a2)x(1 222ma8h4E )xa2sin(a2)x(2 223ma8h9E )xa3sin(a2)x(3 )xa4sin(a2)x(4 224ma8h16E 一一维维无无限限深深势势阱阱中中=1=2=3=4x粒粒子子的的波波函函数数0nnnna)x(x0a2)x(例题：在阱宽为例题：在阱宽为a a 的无限深势阱中的无限深势阱中,一个粒一个粒子的状态为子的状态为axaxxf 2sinsin)(多次测量其能量。问多次测量其能量。问每次可能测到的值和相应概率？每次可能测到的值和相应概率？能量的平均值？能量的平均值？解：已知无限深势阱中粒子的解：已知无
5、限深势阱中粒子的 ,3,2,1,sin2)(nxanaxn ,3,2,1,22222nnmaEn)()(xfCx 则则多次测量能量多次测量能量(可能测到的值可能测到的值)2222112maE 2222222,maE axaaxa 2sin2sin221能量的平均值能量的平均值222212252121maEEE 概率各概率各1/21/2)(21)(2121xx 势垒贯穿（隧道效应）势垒贯穿（隧道效应）在经典力学中在经典力学中,若若 ,粒子的粒子的动能为正动能为正,它只能在它只能在 I 区中运动。区中运动。即粒子运动到势垒左边缘就被即粒子运动到势垒左边缘就被反射回去，不能穿过势垒。反射回去，不能穿
6、过势垒。0VE 0VVOaIIIxIII在量子力学中在量子力学中,无论粒子能量是大于还是无论粒子能量是大于还是小于小于 都有一定的几率穿过势垒，也有都有一定的几率穿过势垒，也有一定的几率被反射。一定的几率被反射。0V0VE 我们下面只就我们下面只就 时，讨论薛定谔方程的解。时，讨论薛定谔方程的解。势垒的势场分布写为：势垒的势场分布写为：axxxV,0,0)(axVxV0,)(0在三个区间内波函数应遵从的在三个区间内波函数应遵从的薛定谔方程分别为：薛定谔方程分别为：0VVOaIIIxIII定态薛定谔方程定态薛定谔方程的解又如何呢？的解又如何呢？0),()(212122xxEdxxdmaxxExV
7、dxxdm0),()()(22202222axxEdxxdm),()(2323220,0)()(12212xxkdxxdaxxkdxxd0,0)()(221222axxkdxxd,0)()(322322021)(2EVmk222mEk 令：定态解的含时部分：定态解的含时部分：)exp()(tEiAtf 三个区间的薛定谔方程化为：三个区间的薛定谔方程化为：0,Re)(1xAexikxikx若考虑粒子是从若考虑粒子是从 I 区入射，在区入射，在 I 区中有入射波区中有入射波反射波；粒子从反射波；粒子从I区经过区经过II区穿过势垒到区穿过势垒到III 区，区，在在III区只有透射波。粒子在处的几率要
8、大区只有透射波。粒子在处的几率要大于在处出现的几率。于在处出现的几率。0 xax其解为：axTexxk0,)(12axCexikx,)(3根据边界条件根据边界条件：)0()0(21)()(32aa0201|)(|)(xxdxxddxxdaxaxdxxddxxd|)(|)(32时、空异号时、空异号为右行波为右行波求出解的形式画于图中。求出解的形式画于图中。定义粒子穿过势垒的贯穿系数定义粒子穿过势垒的贯穿系数：2123|)0(|)(|aP)02exp()2exp(|)0(|)(|112222kTakTaP)(22exp()2exp(01EVmaak0VVaoxIIIIII隧道效应隧道效应当当 时，
9、势垒的宽度约时，势垒的宽度约50nm 以上时，以上时，贯穿系数会小六个数量级以上。隧道效应在贯穿系数会小六个数量级以上。隧道效应在实际上已经没有意义了。量子概念过渡到经典了。实际上已经没有意义了。量子概念过渡到经典了。eVEV50 隧道效应和扫描隧道显微镜隧道效应和扫描隧道显微镜STM由于电子的隧道效应，金属中的电子并不完全局限于由于电子的隧道效应，金属中的电子并不完全局限于表面边界之内，电子密度并不在表面边界处突变为零，表面边界之内，电子密度并不在表面边界处突变为零，而是在表面以外呈指数形式衰减，衰减长度越为而是在表面以外呈指数形式衰减，衰减长度越为1nm。只要将原子线度的极细探针只要将原子
10、线度的极细探针以及被研究物质的表面作为以及被研究物质的表面作为两个电极，当样品与针尖的两个电极，当样品与针尖的距离非常接近时，它们的表距离非常接近时，它们的表面电子云就可能重叠。面电子云就可能重叠。若在样品与针尖若在样品与针尖之间加一微小电之间加一微小电压压Ub电子就会穿电子就会穿过电极间的势垒过电极间的势垒形成隧道电流。形成隧道电流。隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。若控制隧道电隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。若控制隧道电流不变，则探针在垂直于样品方向上的高度变化就能反映样流不变，则探针在垂直于样品方向上的高度变化就能反映样品表面的起伏。品表面的起伏。Scanning tunnel
11、ing microscopy 因为隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。若控制针尖因为隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。若控制针尖高度不变，通过隧道电流的变化可得到表面电子态密度的分布；高度不变，通过隧道电流的变化可得到表面电子态密度的分布；使人类第一次能够实时地观使人类第一次能够实时地观测到单个原子在物质表面上的排测到单个原子在物质表面上的排列状态以及与表面电子行为有关列状态以及与表面电子行为有关的性质。在表面科学、材料科学的性质。在表面科学、材料科学和生命科学等领域中有着重大的和生命科学等领域中有着重大的意义和广阔的应用前景。意义和广阔的应用前景。空气隙空气隙STM工作示意图工作示意图
12、样品样品探针探针 利用利用STM可以分辨表面上可以分辨表面上原子的台阶、平台和原子原子的台阶、平台和原子阵列。可以直接绘出表面阵列。可以直接绘出表面的三维图象的三维图象SAUeI 4 84 8 个个 Fe原 子 形 成原 子 形 成“量子围栏量子围栏”，围，围栏中的电子形成驻栏中的电子形成驻波波.隧道电流隧道电流I与样品和与样品和针尖间距离针尖间距离S的关系的关系利用光学中的受抑全反射理论，研制利用光学中的受抑全反射理论，研制成功光子扫描隧道显微镜（成功光子扫描隧道显微镜（PSTM)。1989年提出成象技术。年提出成象技术。它可用于不导电样品的观察。它可用于不导电样品的观察。STM样品必须具有一定程度的导电性；样品必须具有一定程度的导电性；在恒流工作模式下有时对表面某些沟在恒流工作模式下有时对表面某些沟槽不能准确探测。任何一种技术都有槽不能准确探测。任何一种技术都有其局限性。其局限性。
