1、Principle and Methods of Digital Principle and Methods of Digital MappingMapping第五章误差理论与数据处理3-1 观测误差及分类3-2 衡量精度的指标3-3 算数平均值及观测值的中误差3-4 误差传播定律3-5 加权平均值及其精度评定3-6 间接平差 3-1 观测误差及分类 前面几章讲述的数据采集，要用到各种仪器(经纬仪、水准仪、测距仪），要由人进行操作，要在某种环境中工作，这些因素都会使采集到的数据不准确，即数据中有误差。例如：1）距离测量误差 2）角度测量误差 3）高差测量误差理论上：理论上：D往=D返实测中：实
2、测中：D往 D返1）距离测量误差测量上一般要求:D往-D返/D1/K(K=2000,4000,.),测量成果才合格.A AB BC C理论上：A+B+C=180 实测中：A+B+C180理论上：L1+L2+L3+L4=360 实测中：L1+L2+L3+L4 360L2L3L4ABCDL12）角度测量误差 理论上：hAB+hBA=0 实测中：hAB+hBA 0P1P4P3P2h1Ah3h23）高差测量误差Bh4 理论上：h1+h2+h3+h4=0 实测中：h1+h2+h3+h4 0一、观测误差产生的原因E 观测条件二、观测误差的种类系统误差 偶然误差 粗差三、偶然误差的特性四、衡量精度的指标 一
3、、观测误差及其产生的原因一、观测误差及其产生的原因真值：代表观测值真值：代表观测值L L 真正大小的数值，用真正大小的数值，用 X X 表示。表示。真误差真误差:观测值观测值L L 与与 真值真值X X 之间的差值，用之间的差值，用 表示。表示。=L L X X1、观测误差：指被观测值(或其函数函数)与未知量的真实值(或函数的理论值函数的理论值)间的差值。观测观测误差误差=观测值观测值-真值真值 一般用符号表示。即：=L观 L理=L-X测量上真误差如何得到测量上真误差如何得到:=(D=(D往往-D-D返返)0)0 =(A+B+C)180 =(A+B+C)180 =(L=(L1 1+L+L2 2
4、+L+L3 3+L+L4 4)360)360 =(h=(hABAB+h+hBABA)0)0 =(h=(h1 1+h+h2 2+h h1 1+h+h2 2)0)0（1）测量仪器：仪器构造上无法达到理论上的要求；例如水准测量时,水准仪的视准轴不水平,会对水准测量结果影响等.（2）观 测 者：人的感官上的局限性、操作技能、工作态度；仪器的安置瞄准读数（3）外界条件：观测时所处的外界环境，如风力、温度、日照、湿度、气压、大气折光等。上述仪器、人和环境，总称为观测条件。2、产生的原因-观测条件观测成果的精确度称为“精度”。如果使用的仪器是同一个精密等级，操作人员有相同的工作经验和技能，工作环境的自然条件
5、（气温、风力、湿度等等）基本一致，则称为相同的观测条件。在相同的观测条件下，由于测量时产生偶然误差的因素大体相同，因此测量所得结果的精度也是相等的，故称此时的测量为同精度观测或等精度观测。测量误差根据性质不同,分为系统误差、偶然误差、粗差。1.系统误差：在相同观测条件下，对某一观测量进行多次观测，若各观测误差在大小、符号上表现出系统性，或者具有一定的规律性，或为一常数，这种误差就称为系统误差。例如：1）钢尺量距，钢尺的名义长度为30m，而鉴定后的实际长度为30.006m,测量时,每量一个整尺,就比实际长度小0.006m,这种误差的大小与所量的直线长度成正比,而且正负号始终一致.二、误差的种类二
6、、误差的种类2）定线误差:传统的距离测量中,距离较长,需要进行分段丈量.即当直线距离超过一个尺段时，需进行直线定线.ABLABLAB-SAB0iABSASBBAABSSibah)(11水准管轴视准轴b1bi3）水准仪i角对测量高差的影响-系统误差系统误差SA=SB时，hAB=0aa1 总结:系统误差具有积累性,可以利用其规律性对观测值进行改正或者采用一定的测量方法加以抵消或消弱.2.偶然误差：在相同观测条件下，对一观测量进行多次观测，若各观测误差在大小和符号上表现出偶然性，即单个误差而言，该误差的大小和符号没有规律性，但就大量的误差而言，具有一定的统计规律，这种误差就称为偶然误差。例如：1)距
7、离测量010D9.59.4 9.7 9.5 9.6 9.3 9.2 9.6 0.1 -0.2 0 -0.1 0.2 0.3 -0.1 1 2 3 4 5 6 7 N No o1.71.61.5 1591中丝读数：1592 1593例如例如:2:2）读数误差读数误差(水准测量水准测量)总结总结:偶然误差不可避免，通过多余观测，利用偶然误差不可避免，通过多余观测，利用数理统计理论处理，可以求得参数的最佳估值数理统计理论处理，可以求得参数的最佳估值.例如:3）照准误差例如:4）整平误差3.粗差（错误）：由于观测条件的不好，使得观测值中含有的误差较大或超过了规定的数值，这种误差就称为粗差。例如：往返高
8、差相差悬殊。通常，测量中需要进行多余观测。应当剔除观测值通常，测量中需要进行多余观测。应当剔除观测值中的粗差，利用系统误差的规律性将系统误差消除或减弱到可中的粗差，利用系统误差的规律性将系统误差消除或减弱到可以忽略不计，使观测值主要含有偶然误差，从而利用数理统计以忽略不计，使观测值主要含有偶然误差，从而利用数理统计方法求得观测值的最可靠值。方法求得观测值的最可靠值。总结：在测量工作中，一般需要进行多余总结：在测量工作中，一般需要进行多余观测，发现粗差，将其剔除或重测。观测，发现粗差，将其剔除或重测。【例】在相同的观测条件下，观测了217个三角形的全部内角。n三角形内角和真误差:A+B+C-18
9、0n i=1,2,3.217 三、偶然误差的特性三、偶然误差的特性 通过对大量的实验数据进行统计分析后，特别是当观测次数足够多时，可以得出偶然误差具有以下的规律性：1、在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值-超限数为零；有限性2、绝对值较小的偶然误差比绝对值大的出现的可能性要大 -小误差大概率：集中性 3、绝对值相等的正负偶然误差出现的可能性相等 -正负相等；对称性 4、当观测次数无穷增多时，偶然误差的算术平均值为零 -平均理论。抵偿性lim0nn niin121其中其中 -27-24-21-18-15-12-9 -6-3 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27(v
10、i/n)22221ef21(vi/n)/3每一误差区间上方的长方形面积，代表误差出现在该区间的相对个数直方图误差分布曲线3-2 衡量精度的指标精度指的是一组观测值误差分布的密集或分散的程度误差分布密集，误差就小，精度就高；反之，误差分布离散，误差就大，精度就低。测量上经常采用中误差中误差、相对误差相对误差和极限误差极限误差作为衡量精度的标准。22221 efn22lim参数的大小反映了一组观测值误差分布的密集和离散程度。n称为方差2 称为标准差（方根差或均方根差）1.1.标准差和中误差标准差和中误差1）标准差2 2）中误差）中误差:标准差的一个估值。在相同观测条件下进行一组观测，得出的每个观测
11、值都称为同精度的观测值。即每个观测值的真误差不同，但中误差是相同的。例：2002级的某班的3个小组，在相同观测条件下进行四等水准测量。第1个小组测得闭合差为+2mm,第2个小组测得闭合差为-6mm,第三个小组测得闭合差为0。试判断哪一组观测精度高？精度相同22212nnnm L小，精度高小，精度高大，精度低大，精度低()f2m2m1m2m1m2m观测条件观测条件误差分布误差分布观测值精度观测值精度 nm 中误差中误差2.2.相对误差相对误差 中误差和真误差都是绝对误差绝对误差，误差的大小与观测量的大小无关。然而，有些量如长度，绝对误差不能全面反映观测精度，因为长度丈量的误差与长度大小有关。例如
12、，分别丈量了两段不同长度的距离，一段为100m，另一段为200m，但中误差皆为0.02m。显然不能认为这两段距离观测成果的精度相同。为此，需要引入“相对误差”的概念，以便能更客观地反映实际测量精度。相对误差中误差绝对值与观测量之比。用分子为1的分数表示。分数值较小相对精度较高；分数值较大相对精度较低。例：用钢尺丈量两段距离分别得S1=100米,m1=0.02m；S2=200米,m2=0.03m。计算S1、S2的相对误差。解：K2K1，所以距离S2精度较高。500011000201mmK.660012000302mmK.3.3.容许误差（极限误差）容许误差（极限误差）根据误差分布的密度函数，误差
13、出现在微分区间d内的概率为：误差出现在K倍中误差区间内的概率为：将K=1、2、3分别代入上式，可得到偶然误差分别出现在一倍、二倍、三倍中误差区间内的概率：demdfPm22221)()(kmkmmdemkmP22221)(K=1、2、3分别代入上式，可得：P(|1m)=0.683=68.3；P(|2m)=0.954=95.4 P(|3m)=0.997=99.7 测量中，一般取两倍中误差(2m)作为容许误差，也称为限差：|容|=3|m|或|容|=2|m限差是偶然误差的限制值，用作观测成果取舍的标准。如果观测值的偶然误差超过限差，则认为该观测值不合格，应舍去不用。一、算术平均值在相同的观测条件下对
14、某未知量进行了一组等精度观测，其观测值分别为l、l、ln，将这些观测值取算术平均值 ，作为该量的最可靠的数值，称为“最或是值”；3-3 算术平均值及其中误差 x nlnlllxn21观测值的真值为X，则观测值的真误差为：l1,l2,nl n，将等式两边取和并除以观测次数n,得：xXnlXn验证：根据偶然误差的第四特性，当观测次数n无限增大时，式中/n趋于零。于是有：。Xx 观测值的改正数：算数平均值与观测值之差。各观测值的改正数：将上式两边求和，有:因 ，所以v=0。此式可作为改正数计算正确性的检查。二、观测值的改正数nnlxvlxvlxv2211 lxnv nlx 改正数为 根据误差理论的推
15、导，可得白塞尔公式：上式求得的为一次观测值的中误差。),2,1(1ninvvmii),.2,1(;nilxvii三、按观测值的改正数计算中误差nnlxvlxvlxv2211lnxvnlxnv0v推导过程如下：nnlXlXlX2211)()()(2211xXvxXvxXvnnnnlxvlxvlxv2211)(2)(2vxXxXnvv2)(xXnvv2)(xXnvvn2)(xXnvvn22222)(1)(lnXnnlXxXnnnn131212222122221()(nnnn131212222nnvvnnmnvvm221nvvm/26503663602221nlx/6.25341nvvm观测次序观测
16、值改正数/（）vv计算/（）/（）/（）1365030-4162365026003365028-244365024+245365025+116365023+39合计l=2210236v=0vv=343-4 3-4 误差传播定律误差传播定律 *问题的提出：问题的提出：*在上节讨论了如何根据同精度的观测值的真误差来评定观测值精度的问题。许多未知量是不能直接观测得到的。这些未知量是观测值的函数，那么如何根据观测值的中误差而去求观测值函数的中误差呢？例如，在水准测量中，两点间的高差h=a-b，则h是直接观测值a和b的函数；在三角高程测量的计算公式中，如果觇标高v等于仪器高i，则h=ltan，这时，高差
17、h就是观测值l和的函数，等等。本节所要讨论的就是在观测值中误差为已知的情况下，如何求观测值函数中误差的问题。阐述观测值中误差与函数中误差之间数学关系的定律，称为误差误差传播定律传播定律。1 1、倍数的函数、倍数的函数 设有函数z=kx z:观测值的函数，x为观测值，k为常数?zxmm已知xzk )2,1(nikiixz (1)真误差的关系式为：若对x观测了n次则：(2)将上式平方得：)2,1(222nikiixz (3)求和，并除以n )2,1(222ninknxz 222,zxzxmk mmkm即(4)转换为中误差关系式结论：观测值与常数乘积的中误差，等于观测值中误差乘以常数。【例例】在1：
18、500的地形图上测量两点间的距离，图上的距离d42.3mm，在地形图上量距误差md0.2mm，求实地距离及mD。解：m15.21mm21150mm3.42500500 dDmmmmmmmdD1.01002.05005002 2、和或差的函数、和或差的函数 设有函数z=xy z:观测值的函数，x、y为独立观测值独立观测值?zyxmmm、已知yxz )2,1(niiiiyxz (1)真误差的关系式为：若对x、y观测了n次则：(2)将上式平方得：)2,1(2222niiiiiiyxyxz (3)求和，并除以n )2,1(2222ninnnnyxyxz 222yxzmmm (4)转换为中误差关系式结论
19、：两观测值代数和的中误差，等于两观测值中误差的平方和。由于x,y为独立观测值，因此n趋近无穷时，xy/n=0的中误差？站。求观测高差两点观测了、，的中误差相等为测站的观测高差例：在水准测量中设每站ABhnBAm水准测量中观测高差的中误差，与距离S的平方根成正比。的中误差？公里。求观测高差两点观测了、，的中误差相等为公里的观测高差例：在水准测量中设每ABkmhSBAm水准测量中观测高差的中误差，与测站数n的平方根成正比。站mnmABh kmhmSmAB 3 3、线性函数、线性函数 为常数、为独立观测值、式中nnnnkkkxxxxkxkxkz21212211设有线性函数：22222221212nn
20、zmkmkmkm 应用倍数函数、和差函数的误差传播定律可得【例例】设有线性函数321737271xxxz式中，x1、x2、x3、为不等精度观测，其中误差分别为m1=3mm、m2=2mm、m3=1mm。试求Z的中误差。解：2332222112)()()(mkmkmkmZ69.0)171()272()371(222得 mZ=0.8mm4 4、一般函数（非线性函数）、一般函数（非线性函数）设有函数z=f()独立观测值?zxmmi已知nxnxxzxfxfxf 2121(1)求偏导真误差的关系式为：(2)转换为中误差关系式：nxxx,21,ix222222212)()()(21nxnxxzmxfmxfm
21、xfm 上式是误差传播定律的一般形式，其他形式的函数都是它的特例，所以该式具有普遍意义。m2z=()2m21+（）2m2n_ x1 xn例例1 1：设有函数：设有函数z=Ssinz=Ssin?6.20004511905.011.150:zSmmmmmS求已知 cossinSzszsszcmmSmmsz4.4)()cos()(sin2 2222 解：注意单位的统一例例2 2：如图，测得如图，测得ABAB的垂直角为的垂直角为3030000000003030，平距，平距ACAC为为D D200.00m200.00m0.05 m0.05 m，求，求A A、B B两点间高差两点间高差h h及其中误及其中
22、误差差m mh h。ABChD200m30m47.11530tanm00.200tan Dh577.030tantan Dhm670.266)30(secm200sec22 Dh解 A、B两点间高差为对函数式求其偏导数得 m048.052062603m)670.266(m05.0577.02222 2222 mhmDhmDh根据误差传播定律，得高差的中误差为总结总结 应用误差传播定律求观测值函数的中误差时，应用误差传播定律求观测值函数的中误差时，可归纳以下几步：可归纳以下几步：1、列出函数式2、对函数式全微分，得出函数的真误差和观测值真误差的关系式4、写出函数的中误差观测值中误差之间的的关系式
23、3、独立性的判断注意单位的统一函数名称函数名称函数式函数式函数的中误差函数的中误差倍数函数倍数函数和差函数和差函数线性函数线性函数一般函数一般函数nxxxz21nnxkxkxkz2211),(21nxxxfZ kxz xzkmm22221nzmmmm2222222121nnzmkmkmkm2222222121)()()(nnZmxfmxfmxfm 算术平均值的中误差为观测值的中误差的 倍n1算术平均值及其中误差算术平均值及其中误差 nlnlnlnnlx11121利用误差传播定律，得nmmnmnmnmx22222222111nmmnmnmnmx222222111一广义算术平均值如果对某个未知量进
24、行n次同精度观测，则其最或然值即为n次观测量的算术平均值：niinllllnnX1211)(13-5 3-5 加权平均值及其精度评定加权平均值及其精度评定h3Dh4ABCh1h2E在相同条件下对某段长度进行两组丈量：lll4,2,1 第一组 第二组lll10,6,5 算术平均值分别为LL21,41421141)(41iillllL1051065261)(61jjllllL,21mmLL其中误差分别为：2214Lmm2226Lmm41mmL62mmL全部同精度观测值的最或然值为：101010541jjiilllX646421LLmmmmLmmLmmLLLL22222221222121ppLpLp
25、X2122111122121XpLLppp中比重的大小，中比重的大小，pi在在piLiXLi值的大小体现了值的大小体现了称称为为的的权权。令令iiLLimmmp2222若有不同精度观测值,21LLLn其权分别为,11pppn该量的最或然值可扩充为：ppLXpppLpLpLpnnn212211称之为广义算术平均值。称之为广义算术平均值。当各观测值精度相同时当各观测值精度相同时ppppn21nppXniinLLLL121)111()(mmmmn21二、权定权的基本公式定权的基本公式：mpii22称为中误差，为单位权观测值，当观测值Limi1pi称为单位权，Li单位权中误差。可见，用中误差衡量精度是
26、绝对的，而用权衡量精度是相对的，即权是衡量精度的相对标准。mmmpppn22221n211:1:1:权的特性权的特性mmmmmmpppnnn2222122222212211:1:1:1 反映了观测值的相互精度关系。3 不在乎权本身数值的大小，而在于相互的比例关系。值的大小，对X值毫无影响。24 若Li同类量的观测值，此时，权无单位。若Li是不同类量的观测值，权是否有单位不能一概而论，而视具体情况而定。边角网中有两类不同量纲的观测值：方向（或角度）和边长。边角网中有两类不同量纲的观测值：方向（或角度）和边长。设方向观测值设方向观测值 的方差为的方差为 （），），边长观测值边长观测值 的方差为的方
27、差为（、或或 ）取：取：则方向观测值则方向观测值 的权的权 ：（无单位）。（无单位）。边长观测值边长观测值 的权的权,.)2,1(iLi22秒,.)2,1(jSj22)(jSbSaj2毫米2厘米2分米220iL1ipjS22)(jjbSap22毫米秒例：已知L1,L2,L3,的中误差分别为：mmmmmmmmm5,4,3321mmm31解：设解：设133222121mp16943222222mp25953222323mp2516,1,916321 p pPmmm42设设36.0:56.0:1:321321ppppppmnmiihncnmmnpiiii222结论：当各测站观测高差的精度相同时，水准
28、路线观测高差的权与测站数成反比成反比。（按测站数）四条水准路线分别观测了3,4,6,5 测站：mc221 水准路线观测高差的权常用定权公式h3Dh4ABCh1h2E4322npc令令c=3,13311npc6333npc5344npcm223令令c=4,341/1npc442/2npc643/3npc544/4npcm22460.0:50.0:75.0:1:/4/3/2/14321ppppppppmmnnnppp11:1:2121 水准路线的长分别为ssss4321,设每公里水准测量观测的中误差为mkmmsmkmihiiiisckmkmismmsp222ckmm2mkmc22结论：当每公里水准
29、测量的精度相同时，水准路线观测的权与路线长度成反比成反比。（按公里数）41011spc21022spc21033spc31044spc10c令：当水准路线的长度S1、S2、S3、S4分别为4、2、2、3km时：则：mmSSSppp11:1:2121当当,10,1csscpS=C=10公里的水准路线的观测高差为单位权观测。m10公里单位权中误差。mmkm1010公里mmmckmkm公里1010nicpi每测站观测高差精度相同时：sicpi每公里观测高差精度相同时：例 对某角作三组同精度观测：第一组测4测回，算术平均值为 1 第二组测6测回，算术平均值为 第三组测8测回，算术平均值为23nmmii
30、222 不同个数的同精度观测值求得的算术平均值的权。222222mnnmmpiiii,22cmcmcnpii结论：由不同个数的同精度观测值求得的算术平均值，其权与观测值个数成正比成正比。4 c令1441p5.1462p2483pppppppX321332211cnpiiv 水准测量中，当每测站高差中误差相同时，则各条水准路线高差观测值的权与测站成反比。)2,1(Nniicpiv 水准测量中，当每公里高差中误差相同时，则 各条水准路线高差观测值的权与路线长度成反比。)2,1(niScpii总结总结v角度测量中，当每测回角度观测中误差相同时，各角度观测值的权与其测回数成正比。CNpii内容总结 广义算术平均值：ppLXpppLpLpLpnnn212211 定权的基本公式：mpii22 权 权的特点 常用定权公式：spiiccnpiinpiic感谢下感谢下载载
