1、函数的极值与导数(一)课件单调性与导数的关系：单调性与导数的关系：设函数设函数y=f(x)在在某个区间某个区间内可导，内可导，如果如果f(x)0，则，则f(x)为增函数；为增函数；如果如果f(x)0，则，则f(x)为减函数；为减函数；如果如果f(x)=0，则，则f(x)为常数函数；为常数函数；复习复习:跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t(单位：秒)存在函数关系h(t)=-4.9t 2+6.5t+10其图象如右.tho知识建构知识建构0)(ah0)(th单调递增0)(th单调递减h（x）先正后负）先正后负你能说出它的单调区间以及相应的导数的符号吗？你能说出它的单调区
2、间以及相应的导数的符号吗？yoxdbfcaehg 函数函数y=f(x)在在d,e两点的函数值与这两点附两点的函数值与这两点附近的函数值有什么关系近的函数值有什么关系?函数在函数在d,e两点的导数两点的导数值是多少？在值是多少？在d,e两点附近，两点附近，y=f(x)的导数的符的导数的符号有什么规律？号有什么规律？yoxdbfcaehg先负后正先负后正先正后负先正后负对于d点函数y=f(x)在点x=d的函数值f(d)比在其附近其他点的函数值都小，=0 。)(df 在点x=d 附近的左侧 0)(xf)(xf 我们把点d叫做函数y=f(x)的极小值点，f(d)叫做函数y=f(x)的极小值。在点 x=
3、e 附近的左侧 0在点 x=e 附近的右侧 0(x)0极值的定义极值的定义我们就说f(a)是函数y=f(x)的一个极大值.点a叫做极大值点af f(a)=0(a)=0，且在，且在 点点x=ax=a附近的左侧附近的左侧f(x)0f(x)0，右侧右侧f f(x)0(x)0f(x)0f(x)0f(x)0f f(b)=0(b)=0f f (x)0(x)0 xybf(x)0f(x)0f(x)0f(x)0f(x)=0 f(x)0极大值极大值减减f(x)0如何判断如何判断f(x0)是极大值或是极小值？是极大值或是极小值？左正右负为极大，右正左负为极小左正右负为极大，右正左负为极小导数为导数为0的点不一定是极
4、值点；的点不一定是极值点；若极值点处的导数存在，则一定为若极值点处的导数存在，则一定为0下图是函数下图是函数 定义在区间定义在区间a,b上的图象上的图象,指出哪指出哪些是极大值点些是极大值点,哪些是极小值点哪些是极小值点.)(xfy ybxx1Ox2x3x4x5x6)(xfy x0aybxx1Ox2x3x4x5x6)(xfy x0a1、x=a和x=b可以是极值点吗？2、在定义域内可导函数的极值点是唯一的吗？3、极大值一定大于极小值吗？ybxx1Ox2x3x4x5x6)(xfy x0a1、x=a和x=b可以是极值点吗？ybxx1Ox2x3x4x5x6)(xfy x0a1、x=a和x=b可以是极值
5、点吗？注意:1、函数在点a及其附近有定义；ybxx1Ox2x3x4x5x6)(xfy x0a2、在定义域内可导函数的极值点是唯一的吗？注意:2、极值是一个局部的性质，在整个 定义域内可能有多个极值点；ybxx1Ox2x3x4x5x6)(xfy x0a3、极大值一定大于极小值吗？注意:3、极大值与极小值没有必然关系，极大值可能比极小值还小.（3）极大值与极小值没有必然关系，极大值与极小值没有必然关系，极大值可能比极小值还小极大值可能比极小值还小.注意：注意：o oax1x2x3x4bxyP(x1,f(x1)y=f(x)Q(x2,f(x2)（1）极值是某一点附近的小区间而言极值是某一点附近的小区间
6、而言的的,是函数的局部性质是函数的局部性质,不是整体的最值不是整体的最值;（2）函数的极值不一定唯一函数的极值不一定唯一,在整个定义区间在整个定义区间内可能有多个极大值和极小值；内可能有多个极大值和极小值；导数值为0的点一定是函数的极值点吗？3)(xxf例如0)0(,3)(2fxxf从而可知但x=0不是函数的极值点导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是充分条件.例题选讲例题选讲:解解:).2)(2(42 xxxy令令 ,解得解得x1=-2,x2=2.0 y当当x变化时变化时,y的变化情况如下表的变化情况如下表:y x(-,-2)-2(-2,2)2(2,+)y +0 -0 +y 极大值极大
7、值28/3 极小值极小值-4/3 因此因此,当当x=-2时有极大值时有极大值,并且并且,y极大值极大值=28/3;而而,当当x=2时有极小值时有极小值,并且并且,y极小值极小值=-4/3.求函数求函数 的极值的极值 31443fxxx求函数极值（极大值，极小值）的一般步骤：求函数极值（极大值，极小值）的一般步骤：（1）确定定义域并求导；）确定定义域并求导；（2）令）令f(x)=0并求出方程的根；并求出方程的根；（3）用方程）用方程f(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格若干个开区间，并列成表格（4）由）由f(x)在方程在方程f(x)=0的根左
8、右的符号，来判断的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况在这个根处取极值的情况 +-x0-+x0求导求导求极点求极点列表列表求极值求极值左负右正为极小，左负右正为极小，左正右负为极大。左正右负为极大。即“峰顶”即“谷底”练习1：求函数f(x)=x3-12x+12的极值。解：=3x2-12=3(x-2)(x+2)(xf 令 =0)(xf 得x=2,或x=-2下面分两种情况讨论：(1)当 0即x2,或x-2时;)(xf(2)当 0即-2x0,得x1,所以f(x)的单调增区间为(-,-2)(1,+)(xf)(xf 由 0,得-2x1,所以f(x)的单调减区间为(-2,1)1极值的概念理解
9、极值的概念理解在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值请注意以的是自变量的值，极值指的是函数值请注意以下几点：下几点：(1)极值是一个局部概念由定义，极值只是某个极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个定义域内最大或小，并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小最小已知函数极值情况，逆向应用确定函数的解析式已知函数极值情况，逆向应用确定函数的解析式,进而研究函数性质时，注意两点：进而研究函数性质时，注意两点：(1)常根据极值点处导数为常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解程组，利用待定系数法求解(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性理性2.已知极值求参数已知极值求参数
