1、8教材知识探究建筑工人砌墙时为了保证墙面与地面垂直，常常在较高处固定一条端点系有铅锤的线，再沿着该线砌墙，如图，这样就能保证墙面与地面垂直.问题(1)由上述可知当直线与平面垂直时，过此直线可作无数个平面，那么这些平面与已知平面有何关系？(2)若要判断两平面是否垂直，根据上述问题能否得出一个方法？提示(1)垂直关系.(2)可以，只需在一平面内找一直线垂直于另一平面即可.1.二面角的概念(1)定义：从一条直线出发的两_所组成的图形.(2)相关概念：这条直线叫做二面角的_，这两个半平面叫做二面角的_.(3)画法：如图所示.两个半平面(4)记法：二面角l或AB或PlQ或PABQ.棱(5)二面角的平面角
2、平面角的大小和点O的选取无关若有O_l；OA_，OB_；OA_l，OB_l，则二面角l的平面角是_.(6)二面角的平面角的范围：0180.AOB2.面面垂直的定义平面与平面垂直的定义也是证明平面与平面垂直的方法(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是_，就说这两个平面互相垂直.平面与平面垂直，记作：_.(2)画法：如图，画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成_.直二面角垂直3.两平面垂直的判定如果一个平面过另一个平面的_，那么这两个平面垂直.垂线教材拓展补遗微判断1.平面和分别过两条互相垂直的直线，则.()2.若平面内的一条直线垂直于平面内两条平行线
3、，则.()3.应用面面垂直的判定定理的关键在于，在其中一个平面内找到或作出另一个平面的垂线，即实现面面垂直向线面垂直的转化.()提示1.不一定.反例斜四棱柱中的底面和侧面.2.不能保证直线和平面垂直，则就不一定成立.微训练1.已知l，则过l与垂直的平面()A.有1个 B.有2个C.有无数个 D.不存在解析由面面垂直的判定定理知，凡过l的平面都垂直于平面，这样的平面有无数个.答案C2.对于直线m，n和平面，能得出的一个条件是()A.mn，m，n B.mn，m，nC.mn，n，m D.mn，m，n解析n，mn，m，又m，由面面垂直的判定定理得.答案C微思考1.二面角与平面几何中的角有什么区别？提示
4、平面几何中的角是从一点出发的两条射线组成的图形；二面角是从一条直线出发的两个半平面所组成的图形.2.二面角的平面角的大小，与角的顶点在棱上的位置有关吗，为什么？提示无关.如图，根据等角定理可知，AOBAOB，即二面角的平面角的大小与角的顶点的位置无关，只与二面角的大小有关.题型一二面角及其平面角的概念的理解【例1】下列命题中：两个相交平面组成的图形叫做二面角；异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补；二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角的最小角；二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系.其中正确的是()A.B.C
5、.D.解析由二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，所以不对，实质上它共有四个二面角；由a，b分别垂直于两个面，则a，b都垂直于二面角的棱，故正确；中所作的射线不一定垂直于二面角的棱，故不对；由定义知正确.故选B.答案B规律方法1.要注意区别二面角与两相交平面所成的角并不一致.2.要注意二面角的平面角与顶点在棱上且角两边分别在二面角面内的角的联系与区别.3.可利用实物模型，作图帮助判断.【训练1】若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角()A.相等 B.互补C.相等或互补 D.关系无法确定解析如图所示，平面EFDG平面ABC，当平面H
6、DG绕DG转动时，平面HDG始终与平面BCD垂直，所以两个二面角的大小关系不确定，因为二面角HDGF的大小不确定.答案D题型二求二面角的大小【例2】四边形ABCD是正方形，PA平面ABCD，且PAAB.(1)求二面角APDC的平面角的度数；(2)求二面角BPAD的平面角的度数；(3)求二面角BPAC的平面角的度数；(4)求二面角BPCD的平面角的度数.解(1)PA平面ABCD，CD平面ABCD，PACD，又四边形ABCD为正方形，CDAD，又PAADA，PA，AD平面PAD，CD平面PAD，又CD平面PCD，平面PAD平面PCD.二面角APDC的平面角的度数为90.(2)PA平面ABCD，AB
7、，AD平面ABCD.ABPA，ADPA.BAD为二面角BPAD的平面角.又由题意知BAD90，二面角BPAD的平面角的度数为90.(3)PA平面ABCD，AB，AC平面ABCD.ABPA，ACPA.BAC为二面角BPAC的平面角.又四边形ABCD为正方形，BAC45，即二面角BPAC的平面角的度数为45.(4)作BEPC于E，连接DE，BD，且BD与AC交于点O，连接EO，如图.由题意知PBCPDC，则BPEDPE，从而PBEPDE.DEPBEP90，且BEDE.BED为二面角BPCD的平面角.PA平面ABCD，BC平面ABCD，PABC.又ABBC，PAABA，PA，AB平面PAB，BC平面
8、PAB，又PB平面PAB，BCPB.BED120.二面角BPCD的平面角的度数为120.规律方法确定二面角的平面角的方法：(1)定义法：在二面角的棱上找一特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.(2)垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角.(3)线面垂直法：该法就是利用线面垂直来寻找二面角的平面角，是最常用的也是最好用的一种方法.由一个半平面内异于棱上的点A向另一半平面作垂线，垂足为点B，由B点向二面角的棱作垂线，垂足为点O，连接AO，则AOB为二面角的平面角(或其补角).【训练2】如图所示，AB是O的直径，PA垂直于O
9、所在的平面，C是圆周上的一点，且PAAC，求二面角PBCA的大小.解PA平面ABC，BC平面ABC，PABC.AB是O的直径，且点C在圆周上，ACBC.又PAACA，PA，AC平面PAC，BC平面PAC.而PC平面PAC，PCBC.又BC是二面角PBCA的棱，PCA是二面角PBCA的平面角.由PAAC知，PAC是等腰直角三角形，PCA45，即二面角PBCA的大小是45.题型三 平面与平面垂直的证明线面面面探究1证明平面与平面垂直【例31】如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD1，AA12，M是棱CC1的中点.证明：平面ABM平面A1B1M.证明由长方体的性质可知A1B1平面BC
10、C1B1，又BM平面BCC1B1，所以A1B1BM.又CC12，M为CC1的中点，所以C1MCM1.又B1B2，所以B1M2BM2B1B2，从而BMB1M.又A1B1B1MB1，A1B1，B1M平面A1B1M，所以BM平面A1B1M，因为BM平面ABM，所以平面ABM平面A1B1M.探究2平面与平面垂直条件的探求【例32】如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，BAD60，侧面PAD为等边三角形.(1)求证：ADPB；(2)若E为BC边上的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF平面ABCD？并证明你的结论.(1)证明设G为AD的中点，连接PG，BG，如图.因为PAD为等边三角形，
11、所以PGAD.在菱形ABCD中，DAB60，G为AD的中点，所以BGAD.又因为BGPGG，BG，PG平面PGB，所以AD平面PGB.因为PB平面PGB，所以ADPB.(2)解当F为PC的中点时，满足平面DEF平面ABCD.如图，设F为PC的中点，连接DF，EF，DE，则在PBC中，EFPB.在菱形ABCD中，GBDE，而EF平面DEF，DE平面DEF，EFDEE，所以平面DEF平面PGB.由(1)，得AD平面PGB，而AD平面ABCD，所以平面PGB平面ABCD.所以平面DEF平面ABCD.规律方法证明两两垂直常用的方法：(1)定义法：即说明两个半平面所成的二面角是直二面角.(2)判定定理法
12、：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为线面垂直.(3)性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面.【训练3】过点S引三条线段SA，SB，SC，其中BSC90，ASCBSA60，且SASBSCa.求证：平面ABC平面BSC.证明如图，取BC的中点D，连接SD，AD，由于ASCBSA60，且SASBSCa，所以SAC，SAB为正三角形，所以三角形ABC为等腰直角三角形，所以SAD为直角三角形，SDA为直角，所以，平面ABC平面BSC.所以ADBC，又SDBC，所以ADS恰好为二面角SBCA的平面角.一、素养落地1.通过探究发现及应用平面与平面垂直的
13、判定定理，重点培养数学抽象素养及提升逻辑推理素养和直观想象素养.2.求二面角大小的步骤简称为“一作二证三求”.3.平面与平面垂直的判定定理的应用思路(1)本质：通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直，即线面垂直面面垂直.(2)证题思路：处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题来解决.二、素养训练1.已知P为ABC平面外一点，且PAAB，PAAC，ABAC，则下列关系中错误的是()A.平面PAB平面ABCB.平面PAC平面ABCC.平面PAB平面PACD.平面PBC平面ABC答案D2.已知直线m，n是异面直线，则过直线n与过直线m垂直的平面()A.有且只有一对 B.至
14、多一对C.有一个或无数对 D.不存在解析若异面直线m，n垂直，则符合要求的平面有一对，否则不存在.答案B3.在正方体ABCDA1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成的二面角A1BDA的正切值等于()答案C4.如图，在空间四边形ABCD中，ABBC，CDDA，E，F，G分别是CD，DA，AC的中点，求证：平面BEF平面BGD.证明ABBC，G为AC中点，所以ACBG.同理可证ACDG.又BGDGG，BG，DG平面BGD，AC平面BGD.E，F分别为CD，DA的中点，EFAC，EF平面BGD.又EF平面BEF，平面BEF平面BGD.三、审题答题示范(四)平面与平面垂直的证明及二面角的计算
15、【典型示例】(14分)如图，在三棱锥ABCD中，AB平面BCD，BDCD.(1)求证：平面ABD平面ACD；(2)若 ABBC2BD，求二面角BACD的正切值.联想解题看到想到直线AB垂直于平面BCD内的任一直线.看到想到结合其他条件证明线面垂直.看到想到利用面面垂直的判定定理，即在其中一个平面内找到一条垂直于另一个平面的直线.看到想到用求二面角的步骤计算，即“作证求”.满分示范(1)证明AB平面BCD，CD平面BCD，ABCD.又BDCD，且BDABB，BD，AB平面ABD，CD平面ABD.3分又CD平面ACD，平面ABD平面ACD.4分(2)解如图，过D作DEBC于E，又ABDE，DE平面ABC，DEAC.过E作EFAC于F，连接DF，AC平面DEF，则ACDF，DFE就是二面角BACD的平面角.6分设BDx，则ABBC2x.满分心得解本题(1)的关键是找到平面ABD的垂线CD，解(2)的关键是利用二面角的平面角的定义作出这个平面角，并在三角形中求解.
