1、8教材知识探究木工要检查一根木棒是否和板面垂直，只需用曲尺在不同的方向(但不是相反的方向)检查两次，如右图.如果两次检查时，曲尺的两边都分别与木棒和板面密合，便可以判定木棒与板面垂直.问题(1)用“L”形木尺检查一次能判定木棒与板面垂直吗？(2)上述问题说明了直线与平面垂直的条件是什么？提示(1)不能.(2)直线垂直于平面内的两条相交直线.1.直线与平面垂直的定义任意一条定义如果直线l与平面内的_直线都垂直，我们就说直线l与平面互相垂直记法_有关概念直线l叫做平面的_，平面叫做直线l的_，它们唯一的公共点P叫做_l垂线垂面垂足画法画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂
2、直图示性质过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条垂线段与点面距过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离2.直线与平面垂直的判定定理定理中的条件“相交直线”很重要，切勿忽视文字语言如果一条直线与一个平面内的_垂直，那么该直线与此平面垂直符号语言la，lb，a，b，_Pl图形语言两条相交直线ab3.直线与平面所成的角有关概念斜线一条直线l与一个平面_，但不与这个平面_，这条直线叫做这个平面的斜线斜足斜线和平面的_叫做斜足射影过斜线上斜足以外的一点P向平面引_，过_和_的直线叫做斜线在这个平面上的射影相交垂直交点A垂线PO垂
3、足O斜足A直线与平面所成的角定义：平面的一条_和它在平面上的_所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是_；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是_ 取值范围_斜线射影090教材拓展补遗微判断1.若直线l与平面内的无数条直线垂直，则l.()2.若ab，b，则a.()3.若直线l与平面垂直，则直线l与平面的所有直线成的角均为90.()4.若直线l与平面所成的角为0，则直线l平面.()提示1.直线l垂直于平面内的无数条平行直线时，则l与不一定垂直.2.还有可能a.4.l或l.微训练1.若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于(
4、)A.平面OAB B.平面OACC.平面OBC D.平面ABC解析OAOB，OAOC，OBOCO，OB，OC平面OBC，OA平面OBC.答案C2.如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，能保证该直线与平面垂直的是_(填序号).三角形的两边；梯形的两边；圆的两条直径；正六边形的两条边.解析由线面垂直的判定定理知，直线垂直于图形所在的平面，对于图形中的两边不一定是相交直线，所以该直线与它们所在的平面不一定垂直.答案微思考1.直线与平面垂直定义中的关键词“任意一条直线”是否可以换成“所有直线”或“无数条直线”？提示定义中的“任意一条直线”与“所有直线”是等效的，但是不可说成“无数条直线”，因为一
5、条直线与某平面内无数条平行直线垂直，该直线与这个平面不一定垂直.2.若把定理中“两条相交直线”改为“两条直线”，直线与平面一定垂直吗？提示当这两条直线平行时，直线可与平面平行或相交，不一定垂直.3.如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面吗？提示垂直.题型一线面垂直概念的理解【例1】下列命题中，正确的序号是_.若直线l与平面内的无数条直线垂直，则l；若直线l与平面内的一条直线垂直，则l；若直线l不垂直于平面，则内没有与l垂直的直线；若直线l不垂直于平面，则内也可以有无数条直线与l垂直；过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条.解析当直线l与平面内的无数条平行直线垂直时，l
6、与不一定垂直，所以不正确；当l与内的一条直线垂直时，不能保证l与平面垂直，所以不正确；当l与不垂直时，l可能与内的无数条平行直线垂直，所以不正确，正确；过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以正确.故填.答案规律方法1.直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解.实际上，“任何一条”与“所有”表达相同的含义.当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线.由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直.2.由定义可得线面垂直线线垂直，即若a，b，则ab.【训练1】设l，m是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是()A.若
7、lm，m，则lB.若l，lm，则mC.若l，m，则lmD.若l，m，则lm解析对于A，直线lm，m并不代表平面内任意一条直线，所以不能判定线面垂直；对于B，因l，则l垂直内任意一条直线，又lm，由异面直线所成角的定义知，m与平面内任意一条直线所成的角都是90，即m，故B正确；对于C，也有可能是l，m异面；对于D，l，m还可能相交或异面.答案B题型二直线与平面所成的角 找垂线找射影得线面角【例2】如图所示，在RtBMC中，斜边BM5，它在平面ABC上的射影AB长为4，MBC60，求MC与平面CAB所成角的正弦值.解由题意知A是M在平面ABC上的射影，MA平面ABC，MC在平面CAB上的射影为AC
8、.MCA即为直线MC与平面CAB所成的角.又在RtMBC中，BM5，MBC60，规律方法求斜线与平面所成角的步骤(1)作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算.(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角.(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算.【训练2】在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AA1，A1D1的中点，求：(1)D1B与平面ABCD所成角的余弦值；(2)EF与平面A1B1C1D1所成的角.解(1)如图所示，连接DB，D1D平面A
9、BCD，DB是D1B在平面ABCD内的射影，则D1BD即为D1B与平面ABCD所成的角.(2)E是A1A的中点，A1A平面A1B1C1D1，EFA1是EF与平面A1B1C1D1所成的角.在RtEA1F中，F是A1D1的中点，EFA145，即EF与平面A1B1C1D1所成的角为45.题型三直线与平面垂直的判定定理的应用 线线线面探究1直线与平面垂直的证明【例31】如图所示，RtABC所在平面外有一点S，且SASBSC，点D为斜边AC的中点.(1)求证：SD平面ABC；(2)若ABBC，求证：BD平面SAC.证明(1)SASC，D为AC的中点，SDAC.在RtABC中，ADDCBD，又SASB，A
10、DSBDS.SDBD.又ACBDD，AC，BD平面ABC，SD平面ABC.(2)BABC，D为AC的中点，BDAC.又由(1)知SDBD，于是BD垂直于平面SAC内的两条相交直线.BD平面SAC.探究2线面垂直的应用【例32】在矩形ABCD中，AB1，BCa，PA平面ABCD，且PA1，边BC上是否存在点Q，使得PQQD？为什么？解PA平面ABCD，QD平面ABCD，PAQD.若边BC上存在一点Q，使得QDAQ，又PAAQA，则有QD平面PAQ，又PQ平面PAQ，从而QDPQ.在矩形ABCD中，当ADa2时，直线BC与以AD为直径的圆相离，故不存在点Q，使AQDQ.当a2时，才存在点Q，使得P
11、QQD.规律方法1.线线垂直和线面垂直的相互转化2.证明线面垂直的方法(1)线面垂直的定义.(2)线面垂直的判定定理.(3)如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.(4)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面.证明由已知得：ACBD，ADCD，于是DH2OH2321210DO2，故DHOH.又DHEF，而OHEFH，OH，EF平面ABCD，所以DH平面ABCD.一、素养落地1.通过学习线面角、线面垂直的判定定理及应用，重点培养学生的数学抽象素养，以及提升逻辑推理素养和直观想象素养.2.直线和平面垂直的判定方法：(1)利用线面垂直
12、的定义；(2)利用线面垂直的判定定理；(3)利用下面两个结论：若ab，a，则b；若，a，则a.3.求线面角的常用方法：(1)直接法(一作(或找)二证三计算)；(2)转移法(找过点与面平行的线或面).二、素养训练1.空间中直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，则这条直线和三角形的第三边AB的位置关系是()A.平行 B.垂直 C.相交 D.不确定解析由于直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，而这两边相交于点C，所以直线l和三角形所在的平面垂直，又因三角形的第三边AB在这个平面内，所以lAB.答案B2.直线l平面，直线m，则l与m不可能()A.平行 B.相交 C.异面 D.垂直解析若lm，又l，m，l，这与已知l矛盾.所以直线l与m不可能平行.答案A答案30证明取CD的中点G，连接EG，FG.EGFG，BDAC.BDC90，BDCD.又ACCDC，AC，CD平面ACD，BD平面ACD.
