1、8教材知识探究观察下面两个图形.问题(1)教室内的日光灯管所在直线与黑板的左右两侧所在的直线的位置关系是什么？(2)六角螺母中直线AB与CD的位置关系是什么？CD与BE的位置关系是什么？提示(1)是异面直线.(2)是异面直线；是平行直线.1.异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线aa，bb，我们把直线_所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).(2)空间两条直线所成角的取值范围：_.a与b0902.直线与直线垂直与平面内两直线垂直的概念是一致的、统一的，可以看作是平面内直线垂直的推广如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.
2、直线a与直线b互相垂直，记作_.ab教材拓展补遗微判断1.异面直线所成的角的大小与O点的位置有关，即O点位置不同时，这一角的大小也不同.()2.异面直线a与b所成角可以是0.()3.如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么另一条直线也与这条直线垂直.()提示1.异面直线所成的角的大小与O点的位置无关.2.当直线a与b所成角是0时，两直线平行，即共面.微训练如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，(1)AC和DD1所成的角是_；(2)AC和D1C1所成的角是_；(3)AC和B1D1所成的角是_；(4)AC和A1B所成的角是_.解析(1)根据正方体的性质可得AC和DD1所成的角是90.(2
3、)D1C1DC，所以ACD即为AC和D1C1所成的角，由正方体的性质得ACD45.(3)BDB1D1，BDAC，B1D1AC，即AC和B1D1所成的角是90.(4)A1BD1C，ACD1是等边三角形，所以AC和A1B所成的角是60.答案(1)90(2)45(3)90(4)60微思考1.两条直线垂直，一定相交吗？提示不一定.当两条异面直线所成的角为90时，两条异面直线垂直，不一定相交.2.两条异面直线所成角的范围是什么？提示(0，90.题型一 直线与直线垂直的证明 转化为同一平面内两直线垂直【例1】在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，求证：ACBC1.证明如图，连接A1B，设A1C1a，B
4、1C1b，AA1h，因为三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，所以BB1C1A1AB90，又因为ACA1C1，所以A1C1B就是直线AC与BC1所成的角，所以ACBC1.规律方法证明空间的两条直线垂直的方法：(1)定义法：利用两条直线所成的角为90证明两直线垂直.(2)平面几何图形性质法：利用勾股定理、菱形的对角线相互垂直、等腰三角形(等边三角形)底边的中线和底边垂直等.【训练1】如图，正方体ABCDA1B1C1D1，求证：ACB1D.证明如图，连接BD，交AC于O，设BB1的中点为E，连接OE，则OEDB1，所以OE与AC所成的角即为DB1与AC所成的角.连接AE，CE，易证AECE，又O是A
5、C的中点，所以ACOE，所以ACB1D.题型二异面直线所成的角 应用平移直线法找到异面直线所成的角是关键探究1求异面直线所成的角【例21】在空间四边形ABCD中，ABCD，且AB与CD所成锐角为30，E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成角的大小.解如图所示，取AC的中点G，连接EG，FG，由ABCD知EGFG，从而可知GEF为EF与AB所成的角，EGF或其补角为AB与CD所成的角.AB与CD所成角为30，EGF30或150，由EGFG知EFG为等腰三角形，当EGF30时，GEF75，当EGF150时，GEF15，故EF与AB所成角的大小为15或75.探究2由异面直线所成角的大小求线段
6、的长【例22】如图所示，四面体ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点.若BD，AC所成的角为60，且BDAC2.求EF的长度.解取BC的中点M，连接ME，MF，如图.则MEAC，MFBD，ME与MF所成的锐角(或直角)即为AC与BD所成的角，而AC，BD所成的角为60，EMF60或EMF120.当EMF120时，取EF的中点N，则MNEF，规律方法求两条异面直线所成的角的一般步骤(1)构造角：根据异面直线的定义，通过作平行线或平移平行线，作出异面直线夹角的相关角.(2)计算角：求角度，常利用三角形.(3)确定角：若求出的角是锐角或是直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的
7、补角就是所求异面直线所成的角.【训练2】如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中.(1)求A1C1与B1C所成角的大小；(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小.解(1)如图所示，连接AC，AB1.由六面体ABCDA1B1C1D1是正方体知，四边形AA1C1C为平行四边形，ACA1C1，从而B1C与AC所成的角就是A1C1与B1C所成的角.在AB1C中，由AB1ACB1C，可知B1CA60，即A1C1与B1C所成的角为60.(2)如图所示，连接BD.由(1)知ACA1C1，AC与EF所成的角就是A1C1与EF所成的角.EF是ABD的中位线，EFBD.又ACBD，A
8、CEF，EFA1C1，即A1C1与EF所成的角为90.一、素养落地1.通过异面直线所成角、线线垂直概念的学习，以及计算异面直线所成角的大小，重点培养数学抽象素养及提升数学运算素养、直观想象素养.2.在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角.将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径.需要强调的是，两条异面直线所成角为，且090，解题时经常结合这一点去求异面直线所成的角的大小.二、素养训练1.设a，b，c是直线，则()A.若ab，cb，则acB.若ab，cb，则acC.若ab，则a与c，b与c所成的角相等D.若a与b是异面直线，c
9、与b也是异面直线，则a与c是异面直线解析由异面直线所成角的定义可知C正确.答案C2.在正三棱柱ABCA1B1C1中，D是AB的中点，则在所有的棱中与直线CD和AA1都垂直的直线有_.解析由正三棱柱的性质可知与直线CD和AA1都垂直的直线有AB，A1B1.答案AB，A1B13.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线A1B与AD1所成的角大小为_.解析连接BC1，A1C1，BC1AD1，异面直线A1B与AD1所成的角即为直线A1B与BC1所成的角(或其补角).在A1BC1中，A1BBC1A1C1，A1BC160，故异面直线A1B与AD1所成的角为60.答案604.已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱BC和棱CC1的中点，求异面直线AC和EF所成的角.解连接BC1，A1C1，A1B，如图所示：根据正方体的结构特征，可得EFBC1，ACA1C1，则A1C1B即为异面直线AC和EF所成的角(或其补角).BC1A1C1A1B，A1C1B为等边三角形，故A1C1B60，即异面直线AC和EF所成的角为60.
