1、相似矩阵及二次型04目录/Contents4.14.24.34.44.54.6方阵的特征值与特征向量相似矩阵实对称矩阵的相似对角化二次型及其标准形正定二次型与正定矩阵向量的内积、长度及正交性目录/Contents4.1向量的内积、长度及正交性一、向量的内积、长度二、正交向量组三、施密特正交化过程四、正交矩阵T1122,nnx yx yx y，x yx y2,.x yx xy y一、向量的内积、长度22212,nxxx，xx x 2,2,，xyxy xyx xx yy y,，x yx xy y一、向量的内积、长度证明 2222,2,2，xyx xx xy yy yxxyyxy.xyxy一、向量的
2、内积、长度二、正交向量组定理 11122mm 0，T01,2,iiiim，二、正交向量组T1T2111121，A 12311101210 xxx ，111111101121030010，A二、正交向量组解122rr，TT1,iiiiiir，T,1,.iiiir 二、正交向量组三、施密特正交化过程1122331231151111111,3,131442124，三、施密特正交化过程解1230 xxx，2221322221111,111,011,220102 ，三、施密特正交化过程解例3T1T,即 ET1212100010,001TnTn，1,1,2,0,Tijijiji jnij当，当 四、正交矩
3、阵证明123T1T2Tn，T1TT212T100010,001nn，1,1,2,0,Tijijiji jnij当，当 四、正交矩阵四、正交矩阵证明例4目录/Contents4.14.24.34.44.54.6向量的内积、长度及正交性相似矩阵实对称矩阵的相似对角化二次型及其标准形正定二次型与正定矩阵方阵的特征值与特征向量目录/Contents4.2方阵的特征值与特征向量一、方阵的特征值与特征向量的 概念及其求法二、方阵的特征值与特征向量的性质定 义设 是 阶矩阵,如果数 和 维非零列向量 使关系式AnnA 那么数 称为矩阵 的特征值，非零向量 称为 的对应于特征值 的特征向量.A A例如，矩阵1
4、20030211A，121 ，则有120131030263 2211131 A 所以数3是矩阵 的特征值，是 的对应于特征值3的特征向量.AA 成立，一、方阵的特征值与特征向量的概念及其求法 0，AE 可见，是 个未知数 个方程的齐次线性方程组 的非零解.nn 0AE x0AE假设矩阵 有特征值 ，对应于特征值 的特征向量为 ，则有 .A A 一个任意给定的 阶矩阵 会有多少个特征值？对应的特征向量又该如何求呢？nA而方程组有非零解的充分必要条件是系数行列式等于零，即将 改写成A 一、方阵的特征值与特征向量的概念及其求法记 11121212221112nnnnaaaaaafaaa，AE 则 是
5、 的 次多项式，称为矩阵 的特征多项式.从而公式 可以写成 ，这是以 为未知数的一元 次方程，称为 的特征方程，而 的特征值就是特征方程的根.我们知道，一元 次方程在复数范围内恒有 个根(重根按重数计算).因此，阶矩阵 在复数范围内有 个特征值，通过解矩阵 的特征方程就可以得到这 个特征值.fnA0AE 0fnAAnnnAnAn一、方阵的特征值与特征向量的概念及其求法那么 便是 的对应于特征值 的特征向量.Ai i若 为复数，则 可取复向量.）i i例 1求矩阵100020003A的特征值和特征向量.可求得非零解 ，设 为矩阵 的一个特征值，则由方程 iAi 0AE xix ii（若 为实数，
6、则 可取实向量；一、方阵的特征值与特征向量的概念及其求法解矩阵 的特征多项式为A100020123,003AE所以 的全部特征值为A11,22,33.由此例可知，对角矩阵的全部特征值就是它的对角线上的元素.一、方阵的特征值与特征向量的概念及其求法当 时，解方程 ，11 0AE x得基础解系1100 于是 是对应于特征值 的全部特征向量.10kk 11000010010001002000rAE由当 时，解方程 ，222 0AE x得基础解系2010 1001002000001001000r AE由于是 是对应于特征值 的全部特征向量.20kk 22一、方阵的特征值与特征向量的概念及其求法当 时，
7、解方程 ，333 0AE x得基础解系3001 于是 是对应于特征值 的全部特征向量.30kk 332001003010010000000rAE由一、方阵的特征值与特征向量的概念及其求法例 2求矩阵120030211B的特征值和特征向量的特征多项式为B 212003013,211 BE所以 的全部特征值为B1231,3.解一、方阵的特征值与特征向量的概念及其求法当 时，解方程 ，121+0B E x得基础解系1001 对应于 的全部特征向量为 （常数 ）.121 1k 0k 020100+040010210000rB E由当 时，解方程 ，333 0BE x得基础解系2121 42010130
8、00012214000rBE由对应于 的全部特征向量为 （常数 ）.332k 0k 一、方阵的特征值与特征向量的概念及其求法 22102030134 331201，CE一、方阵的特征值与特征向量的概念及其求法例3解1010 ，2101 ，3101，一、方阵的特征值与特征向量的概念及其求法设 阶矩阵 的特征值为 ，则nijaA12,n(i)121122,nnnaaa(ii)12.n A由此可见，阶方阵 可逆的充分必要条件是 的特征值全不为零.nAA性质1二、方阵的特征值与特征向量的性质若 是方阵 的特征值，为对应于特征值 的特征向量，则A 性质2若矩阵 的多项式是 ，则方 阵 的特征值是 （其中
9、 是关于 的多项式），对应于特征值 的特征向量是 .A 10mmaaaAAAE A 10mmaaa 04OPTION 是方阵 的特征值（为非负整数），对应于特征值 的特征向量是 ；kkAkk 01OPTION 是方阵 的特征值（为任意常数），对应于特征值 的特征向量是 ；kkAkk 02OPTION当 可逆时,是方阵 的特征值，对应于特征值 的特征向量是 ；A11A1 03OPTION二、方阵的特征值与特征向量的性质证所以 是方阵 的特征值，对应于特征值 的特征向量是 .kkAk 因 是方阵 的特征值，为对应于特征值 的特征向量，故有 .于是A A 所以 是方阵 的特征值，对应于特征值 的特征
10、向量是 .kkAk 111222,kkkkkkkAAAAAAAA(i),kkkkAA (ii)二、方阵的特征值与特征向量的性质(iii)当 可逆时，特征值均不为零，于是A所以 是方阵 的特征值，对应于特征值 的特征向量是 .11A1由(i)可知，1010,mmmmaaaaaa 所以方阵 的特征值是 ，对应于特征值 的特征向量是 .A 11111,A AEAAEAA (iii)1010mmmmaaaaaaAAAEAAE二、方阵的特征值与特征向量的性质设3阶矩阵的特征值为 ，求 的特征值.1,2,3*232AAE因 的特征值全不为0，知 可逆，AA故 .*1AA A*132632.AAAEAAE
11、6616325,23 221,33 325,23 这里，虽不是矩阵多项式，但也具有矩阵多项式的特性，从而可利用性质2(iv)来A由 得 的特征值为 1632 A例 4解而 ，1236 A记计算 的特征值.A二、方阵的特征值与特征向量的性质如果 与 是方阵 的同一特征值 所对应的特征向量，则 (、不同时为零)也是特征值 所对应的特征向量.1 2 A1122kk1k2k由11 A，22A得112211221122kkkkkk AAAAA所以 (、不同时为零)也是特征值 所对应的特征向量.1122kk1k2k性质3证明11221122,kkkk 二、方阵的特征值与特征向量的性质设 是方阵 的 个互不
12、相同的特征值，是依次与之对应的特征向量，则 线性无关.12,m Am12,m 12,m 设 和 是矩阵 的两个不同的特征值，和 是分别对应于 和 的线性无关的特征向量，则12A12,s 12,t 12线性无关.1212,st 性质4性质5二、方阵的特征值与特征向量的性质1212.A121122，A121122，11220.二、方阵的特征值与特征向量的性质证明目录/Contents4.14.24.34.44.54.6向量的内积、长度及正交性方阵的特征值与特征向量实对称矩阵的相似对角化二次型及其标准形正定二次型与正定矩阵相似矩阵目录/Contents4.3相似矩阵一、方阵相似的定义与性质二、方阵的
13、相似对角化一、方阵相似的定义与性质定理 1一、方阵相似的定义与性质证明一、方阵相似的定义与性质一、方阵相似的定义与性质把矩阵 列分块为P12,nPppp由 ，得 ，即1PAP APP 1212121122,.nnnnnA p ppp ppppp于是有1,2,.iiiinApp可见 为 的特征值，而 的列向量 就是 对应于特征值 的特征向量.iAPipAi二、方阵的相似对角化 反之，如果 阶矩阵 恰好有 个特征向量，则这 个特征向量即可构成矩阵 ,AnP 由上面的讨论即有：推论定理2n并且这 个特征向量必定是线性无关的，从而 可逆，因此有 .P1P AP nn使得 .APP 阶矩阵 与对角阵相似
14、(即 能对角化)的充分必要条件是 有 个线性无关的特征向量.AnnAA 如果 阶矩阵 的 个特征值互不相等，则 与对角阵相似.AAnn二、方阵的相似对角化例 1解设0011100 xyA有三个线性无关的特征向量，求 与 应满足的条件.xy因为矩阵 是3阶矩阵，又有三个线性无关的特征向量，A 20111111,110 xy AE所以 可以相似对角化.A由二、方阵的相似对角化故对应重根 应有2个对应单根 ，可求得线性无关的特征向量恰好有1 个，31 121 由101101000101000rxyxyAE 可知，要使系数矩阵 的秩 ，必须 .AE1RAE0 x y 得到 的特征值为A1231,1.线
15、性无关的特征向量，AE亦即系数矩阵的秩 .1RAE 0AE x有 2个线性无关的解，即方程 二、方阵的相似对角化目录/Contents4.14.24.34.44.54.6向量的内积、长度及正交性方阵的特征值与特征向量相似矩阵二次型及其标准形正定二次型与正定矩阵实对称矩阵的相似对角化目录/Contents4.4实对称矩阵的相似对角化一、实对称矩阵的特征值和 特征向量的性质二、实对称矩阵的相似对角化一、实对称矩阵的特征值和特征向量的性质性质1一、实对称矩阵的特征值和特征向量的性质一、实对称矩阵的特征值和特征向量的性质二、实对称矩阵的相似对角化二、实对称矩阵的相似对角化二、实对称矩阵的相似对角化例1
16、解二、实对称矩阵的相似对角化二、实对称矩阵的相似对角化例2解二、实对称矩阵的相似对角化二、实对称矩阵的相似对角化二、实对称矩阵的相似对角化目录/Contents4.14.24.34.44.54.6向量的内积、长度及正交性方阵的特征值与特征向量相似矩阵实对称矩阵的相似对角化正定二次型与正定矩阵二次型及其标准形目录/Contents4.5二次型及其标准形一、二次型及其标准形的定义二、用正交变换化二次型为标准形三、用配方法化二次型为标准形一、二次型及其标准形的定义一、二次型及其标准形的定义一、二次型及其标准形的定义一、二次型及其标准形的定义二、用正交变换化二次型为标准形二、用正交变换化二次型为标准形
17、二、用正交变换化二次型为标准形二、用正交变换化二次型为标准形二、用正交变换化二次型为标准形例1解二、用正交变换化二次型为标准形二、用正交变换化二次型为标准形三、用配方法化二次型为标准形三、用配方法化二次型为标准形三、用配方法化二次型为标准形三、用配方法化二次型为标准形三、用配方法化二次型为标准形目录/Contents4.14.24.34.44.54.6向量的内积、长度及正交性方阵的特征值与特征向量相似矩阵实对称矩阵的相似对角化二次型及其标准形正定二次型与正定矩阵目录/Contents4.6正定二次型与正定矩阵一、惯性定理二、正定二次型与正定阵一、惯性定理定理1二、正定二次型与正定阵二、正定二次型与正定阵二、正定二次型与正定阵二、正定二次型与正定阵例1解二、正定二次型与正定阵例2证明谢谢观看
