1、第四讲第四讲 无穷级数无穷级数一、一、数项级数数项级数 二、幂级数二、幂级数1.理解级数收敛、发散的概念。掌握级数收敛的理解级数收敛、发散的概念。掌握级数收敛的必要条件，了解级数的基本性质。必要条件，了解级数的基本性质。(1)数项级数的概念数项级数的概念定义定义1121nnnuuuu 为为数项级数数项级数,简称简称级数级数.112nnnkkSuuuu 设设 (实数集实数集),称称nuR 称第称第n项项 un为为一般项一般项或或通项通项.称前称前n项之和项之和为为级数级数的第的第n部分和部分和.(1)数项级数的概念数项级数的概念定义定义2,limnnSS 1nnSu 若级数第若级数第n部分和序列
2、部分和序列S1,S2,Sn,的极的极限存在限存在,即即 且且S称为此称为此级数级数的的和和.记作记作则称则称级数级数 收敛收敛.1nnu 若若 不存在不存在,limnnS则称此则称此级数级数发散发散.例例 1 判别级数判别级数11lnnnn 的收敛性的收敛性.例例 2 判断级数判断级数 11112nnn 的收敛性的收敛性.例例 3 判断级数判断级数 13nn 的收敛性的收敛性.结论结论:1211nnnaqaaqaqaq 的收敛性的收敛性.11.1nnaaqq (2)当当 时时,级数级数发散发散.1q (1)当当 时时,级数级数收敛收敛,且且1q 讨论等比讨论等比(几何几何)级数级数(公比为公比
3、为 q)例例 4 判断级数判断级数11nn 的收敛性的收敛性.调和级数调和级数11nn 发散发散.(2)级数的基本性质级数的基本性质1)若若 和和 都都收敛收敛,则对任意常数则对任意常数 k,l,1nnu 1nnv 3)一个一个级数级数添加或去掉添加或去掉有限项有限项,不改变其不改变其收敛性收敛性.1nnnlvku 也收敛也收敛.2)若若 发散发散,而而 收敛收敛,则对任意非零常数则对任意非零常数 k,l,1nnu 1nnv 1nnnlvku 发散发散.(2)级数的基本性质级数的基本性质1)若若 和和 都都收敛收敛,则对任意常数则对任意常数 k,l,1nnu 1nnv 1nnnlvku 也收敛
4、也收敛.2)若若 发散发散,而而 收敛收敛,则对任意非零常数则对任意非零常数 k,l,1nnu 1nnv 1nnnlvku 发散发散.例例:判断级数判断级数 和和 1212nnn 的收敛性的收敛性.343ln23ln3ln23(3)级数级数收敛收敛的的必要条件必要条件若若收敛收敛,则则1nnu ;lim0nnu 若若 ,则则 一定一定发散发散.1nnu lim0nnu 问问:则则 收敛吗收敛吗?1nnu 若若,lim0nnu 例例:级数级数 11,nn 调调和和级级数数11ln.nnn 例例:级数级数 111;1.1002nnnnnn 2.掌握正项级数的比值数别法。会用正项级数的比掌握正项级数
5、的比值数别法。会用正项级数的比较判别法。较判别法。定义定义每项都是非负数每项都是非负数 的的级数级数 称为称为正项级数正项级数.1nnu 0nu 1)比较判别法比较判别法 ,0,nnuvcc若两个若两个正项级数正项级数 和和 从某一项开始满足从某一项开始满足条件条件:1nnu 1nnv 则则:(1)当当级数级数 收敛收敛时时,也收敛也收敛;1nnu 1nnv (2)当当级数级数 发散发散时时,也发散也发散;1nnu 1nnv 结论结论:讨论讨论 p 级数级数11pnn 的收敛性的收敛性.(1)当当 p=1 时时,11nn 称称 为为调和级数调和级数,是发散的是发散的.(2)当当 p1 时时,1
6、1pnn 收敛收敛.例例:判定正项级数判定正项级数 和和 的收敛性的收敛性.31143nn 2113nnn 1)比较判别法比较判别法(极限极限形式形式)若两个若两个正项级数正项级数 和和 满足满足1nnu 1nnv ,limnnnuav(i)时时,和和都收敛都收敛或或都发散都发散;0a 1nnu 1nnv (ii)a=0 时时,若若 收敛收敛,则则 也收敛也收敛;1nnv 1nnu (iii)时时,若若 发散发散,则则 也发散也发散.1nnv 1nnu a 例例 5 判定下列级数的收敛性判定下列级数的收敛性 2111111111;2;13123;4sin;ln1125ln 1;61cos;nn
7、nnnnn nnnnnnnn 2)比值判别法比值判别法(极限极限形式形式)(i)当当 q1 或或 时时,级数级数 发散发散;1nnu 例例 6 判定下列级数的收敛性判定下列级数的收敛性 4112111331131;2;!4cos33tan;4;2215;633nnnnnnnnnnnnnnnnnnn 注注:若若un含含 ,通常用通常用比值判别法比值判别法;!,nnnna若若un为为n的有理分式的有理分式,无理分式时无理分式时,通常用通常用比较法比较法.3.了解级数绝对收敛与条件收敛的概念，会使用了解级数绝对收敛与条件收敛的概念，会使用莱布尼茨判别法。莱布尼茨判别法。(1)交错级数交错级数定义定义
8、 各项正负项相间的各项正负项相间的级数级数(un0)111234111nnnnnuuuuuu 称为称为交错级数交错级数.莱布尼兹莱布尼兹定理定理 11,10nnnnuu 若一个若一个交错级数交错级数满足如下条件满足如下条件:1,nnuu (1)从某项开始从某项开始即数列即数列un从某项开始单调递减从某项开始单调递减;lim0nnu(2)则则交错级数交错级数 收敛收敛.111nnnu 例例:级数级数 和和 1111nnn 1111.ln1nnn (2)绝对收敛绝对收敛与与条件收敛条件收敛定义定义若若 收敛收敛,则则 收敛收敛,且称且称 为为绝对收敛绝对收敛;1nnu 1nnu 1nnu 若若 发
9、散发散,但但 收敛收敛,则称则称 为为条件收敛条件收敛.1nnu 1nnu 1nnu 例例:判别下列级数的收敛性判别下列级数的收敛性 11211111;1.nnnnnn 1102321121sin121211cos131ln4npnnnnnnnnnnnnn 例例 7 判别下列级数是否收敛判别下列级数是否收敛,如果收敛如果收敛,是绝对收敛还是是绝对收敛还是条件收敛条件收敛?111npnn 绝对收敛,当p1时;绝对收敛,当p1时;：条件收敛,当0p1时;：条件收敛,当01时;绝对收敛,当p1时;：条件收敛,当0p1时;：条件收敛,当0p1时;发散,当p0时.发散,当p0时.结论结论:练练(2019
10、年高数二年高数二)对于幂级数对于幂级数 下列说法正确的是下列说法正确的是()111,npnn (A)当当p1时时,发散发散 (B)当当p1时时,条件收敛条件收敛 (D)当当p1时时,绝对收敛绝对收敛1,lim0_,nnnnuu 1.1.对于级数是它收敛的条件对于级数是它收敛的条件 题型一：数项级数性质、敛散性判定题型一：数项级数性质、敛散性判定._不是它收敛的条件。不是它收敛的条件。1_,nnu n n2 2.部部分分和和数数列列 S S 有有界界,是是正正项项级级数数收收敛敛的的条条件件11_;nnnnuu 3 3.若若级级数数绝绝对对收收敛敛,则则级级数数必必定定11_;nnnnuu 若若
11、级级数数条条件件收收敛敛,则则级级数数必必定定1,lim0_,nnnnuu 1.1.对于级数是它收敛的必要条件对于级数是它收敛的必要条件 题型一：数项级数性质、敛散性判定题型一：数项级数性质、敛散性判定._不是它收敛的 充分条件。不是它收敛的 充分条件。1_,nnu n n2 2.部部分分和和数数列列 S S 有有界界,是是正正项项级级数数收收敛敛的的 充充要要 条条件件11_;nnnnuu 3 3.若若级级数数绝绝对对收收敛敛,则则级级数数必必定定 收收敛敛11_;nnnnuu 若若级级数数条条件件收收敛敛,则则级级数数必必定定 发发散散练练(2019年高数二年高数二)级数级数 收敛的必要条
12、件为收敛的必要条件为_.1nnu 练练(2019年高数二年高数二)若级数若级数 收敛收敛,则则 的取值范围是的取值范围是_.3111nn 101214.11;2;30,0.lnnsnnnnaasnnn n判定下列级数的收敛性判定下列级数的收敛性1 1练练(2019年高数二年高数二)判别正项级数判别正项级数 的敛散性的敛散性.211ln 1nnn 练练(2019年高数二年高数二)级数级数 为为()0cos1nnn (A)绝对收敛绝对收敛 (B)条件收敛条件收敛 (C)发散发散 (D)无法判断无法判断练练(2019年高数二年高数二)确定级数确定级数 的收敛性的收敛性.31sin!nnnn 1011
13、5.;2;3.!nnnnnnxxnxnn 判定下列级数的收敛性判定下列级数的收敛性1 1练练(2019年高数二年高数二)设级数设级数 和和 都发散都发散,则级数则级数 是是()1nna 1nnb 1nnnab (A)发散发散 (B)条件收敛条件收敛 (C)绝对收敛绝对收敛 (D)无法判断无法判断二、幂级数二、幂级数1.幂级数的概念幂级数的概念2.幂级数的基本性质幂级数的基本性质3.将简单的初等函数展开为幂级数将简单的初等函数展开为幂级数1.了解幂级数的概念。了解幂级数的概念。定义定义 形如形如20120nnnnna xaa xa xa x 或或 200102000nnnnnaxxaaxxaxx
14、axx (ai为常数为常数)的的级数级数,称为称为幂级数幂级数.2.掌握求幂级数的收敛半径、收敛区间的方法。掌握求幂级数的收敛半径、收敛区间的方法。1limnnnaa 当当 时时,1x 级数级数绝对收敛绝对收敛;当当 时时,1x 级数级数发散发散.称为称为幂级数幂级数 的的收敛半径收敛半径.1R 0nnna x 当当 时时,0 ;R 当当 时时,0.R 1limnnnaa 当当 时时,1x 级数级数绝对收敛绝对收敛;当当 时时,1x 级数级数发散发散.称为称为幂级数幂级数 的的收敛半径收敛半径.1R 0nnna x 当当 时时,0 ;R 当当 时时,0.R 称为称为幂级数幂级数 的的收敛区间收
15、敛区间.,RR 0nnna x 1limnnnaa 称为称为幂级数幂级数 的的收敛半径收敛半径.1R 0nnna x 当当 时时,0 ;R 当当 时时,0.R 称为称为幂级数幂级数 的的收敛区间收敛区间.,RR 0nnna x 称为称为幂级数幂级数 的的收敛区间收敛区间.00,xR xR 00nnnaxx 1limnnnaa 称为称为幂级数幂级数 的的收敛半径收敛半径.1R 0nnna x 称为称为幂级数幂级数 的的收敛区间收敛区间.,RR 0nnna x 加上加上 中收敛的区间端点中收敛的区间端点,称为称为收敛域收敛域.,RR xR (2)在在收敛区间收敛区间内内,第第n部分和部分和Sn(x
16、)=a0+a1x+an-1xn-1的极限的极限称为称为幂级数幂级数的的和函数和函数.例例 1 求下列幂级数的收敛半径和收敛域求下列幂级数的收敛半径和收敛域.2111035123131nnnnnnnnnnxxnnxn 题型二：幂级数的收敛区间、和函数题型二：幂级数的收敛区间、和函数.练练(2019年高数二年高数二)确定幂级数确定幂级数 收敛半径及收敛域收敛半径及收敛域,其中其中a为正常数为正常数.111nnnxna 注注:幂级数幂级数 000,1,knknnnnna xaxxk且且都要用比值法求都要用比值法求收敛半径收敛半径.1limnnnuu 如果如果任意项任意项级数级数1limnnnulu
17、则则:当当 l1 时时,级数级数发散发散.定理定理121nnnuuuu 满足条件满足条件:注注:幂级数幂级数 000,1,knknnnnna xaxxk且且都要用比值法求都要用比值法求收敛半径收敛半径.如果如果任意项任意项级数级数1limnnnulu 则则:当当 l1 时时,级数级数发散发散.定理定理121nnnuuuu 满足条件满足条件:例例2.求下列幂级数的收敛半径和收敛区间求下列幂级数的收敛半径和收敛区间.2210011324nnnnnnxx 注注:幂级数幂级数 000,1,knknnnnna xaxxk且且都要用比值法求都要用比值法求收敛半径收敛半径.1limnnnuu 例例2.求下列
18、幂级数的收敛半径和收敛区间求下列幂级数的收敛半径和收敛区间.2210011324nnnnnnxx 例例3.求求 的收敛半径和收敛区间的收敛半径和收敛区间.0112nnnxn 例例4.幂级数幂级数 的收敛半径为的收敛半径为_.202nnxn 3.了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和、了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和、差、逐项求导与逐项积分）。差、逐项求导与逐项积分）。1)若若 的的收敛半径收敛半径分别为分别为R1和和R2,则则00,nnnnnna xb x 的的收敛半径收敛半径 R=minR1,R2.0nnnnabx 2)若若幂级数幂级数 则其则其和函数和函数 f(x)在收敛在收敛区间内
19、区间内连续连续.0,nnna xf x 11nnnfxna xRxR 3)幂级数幂级数 在收敛区间在收敛区间 内可内可逐项求导逐项求导,且且 0nnna xf x ,RR 4)幂级数幂级数 在收敛区间在收敛区间 内可内可逐项求积分逐项求积分,0nnna xf x ,RR 即任意即任意 ,xRR 有有 10011xnnnf t dta xn 例例 5 (1)求求 的和函数的和函数;11nnnx (2)求求 的和函数的和函数.11nnnxn 练练 求求 的和函数的和函数.41141nnxn 200000!2!0!nnnnnffxffxxnfxn 形如形如为为 f(x)的的麦克劳林级数麦克劳林级数.
20、4.会运用会运用ex，sinx，cosx，ln（1+x），1/（1-x）的麦克劳林（的麦克劳林（Maclaurin）级数，将一些简单的）级数，将一些简单的初等函数展开为初等函数展开为x或或x-x0的幂级数。的幂级数。200000!2!0!nnnnnffxffxf xxnfxn 如果在收敛区间内如果在收敛区间内,称为称为 f(x)的的麦克劳林展开式麦克劳林展开式.200000!2!0!nnnnnffxffxxnfxn 则则几个函数的几个函数的麦克劳林展开公式麦克劳林展开公式0210010(1)()!(2)sin(1)()(21)!1(3)(11)1(4)ln(1)(1)(11)1nxnnnnnn
21、nnnxexnxxxnxxxxxxn 2102120000(5)cos(sin)(1)(21)!(1)(1)()(21)!2!11(6)()(1)(11)11()nnnnnnnnnnnnnnxxxnxxxnnxxxxx 例例 9 求求 的麦克劳林展开式的麦克劳林展开式.22xe 例例 10 求求 的麦克劳林展开式的麦克劳林展开式.221xx 例例 11 将将 lnx 展成展成 x-2 的幂级数的幂级数(即即x0=2的级数的级数).例例 12 将将 展成展成 x+3 的幂级数的幂级数(即即x0=-3的级数的级数).1x 题型三：幂级数的展开式题型三：幂级数的展开式.练练(2019年高数二年高数二
22、)将函数将函数 y=lnx 展成展成(x-1)的幂级数并指出收敛区间的幂级数并指出收敛区间.练练(2019年高数二年高数二)将函数将函数 展成展成(x-1)的幂级数并指出收敛区间的幂级数并指出收敛区间.11yx 练练 (2019年高数一年高数一)将函数将函数 在点在点 x0=1 处展开成幂级数处展开成幂级数,并并指出收敛区间指出收敛区间(端点不考虑端点不考虑).13xfxx 练练 (2019年高数一年高数一)将函数将函数 展开成展开成 x 的幂级数的幂级数,并指出收敛半径并指出收敛半径.2ln32fxxx练练 (2019年高数二年高数二)将函数将函数 展开成展开成 x 的幂级数的幂级数.2ln 1fxxx练练(2019年高数二年高数二)将函数将函数 y=arctanx 展开为麦克劳林级数展开为麦克劳林级数.
