1、n811多元函数的极限与连续28.1 多元函数多元函数的极限与连续的极限与连续平面点集平面点集多元函数的概念多元函数的概念多元函数的极限多元函数的极限多元函数的连续性多元函数的连续性小结小结 思考题思考题 作业作业 function of many variables一维数轴上的邻域一维数轴上的邻域:),(axxaUxa a a 回忆回忆一、平面点集一、平面点集4 设设),(000yxP是是xoy平平面面上上的的一一个个点点，是是某某一一正正数数，与与点点),(000yxP距距离离小小于于 的的点点),(yxP的的全全体体，称称为为点点0P的的 邻邻域域，记记为为),(0 PU，（1）邻域）邻
2、域0P),(0 PU|0PPP .)()(|),(2020 yyxxyx(Neighborhood)将邻域去掉中心称之为将邻域去掉中心称之为去心邻域去心邻域.5（2）区域）区域.)(的内点的内点为为则称则称，的某一邻域的某一邻域一个点如果存在点一个点如果存在点是平面上的是平面上的是平面上的一个点集，是平面上的一个点集，设设EPEPUPPE.EE 的内点属于的内点属于EP.为开集为开集则称则称的点都是内点，的点都是内点，如果点集如果点集EE6的边界点的边界点为为），则称），则称可以不属于可以不属于，也，也本身可以属于本身可以属于的点（点的点（点也有不属于也有不属于的点，的点，于于的任一个邻域内既
3、有属的任一个邻域内既有属如果点如果点EPEEPEEPEP 的边界的边界的边界点的全体称为的边界点的全体称为 EE是连通的是连通的开集开集，则称，则称且该折线上的点都属于且该折线上的点都属于连结起来，连结起来，任何两点，都可用折线任何两点，都可用折线内内是开集如果对于是开集如果对于设设DDDD 7连通的开集称为区域或开区域连通的开集称为区域或开区域.41|),(22 yxyx例如，例如，xyo开开区区域域连连同同它它的的边边界界一一起起称称为为闭闭区区域域.41|),(22 yxyx例如，例如，xyo80|),(yxyx有界闭区域；有界闭区域；无界开区域无界开区域xyo例如，例如，则称为无界点集
4、则称为无界点集为有界点集，否为有界点集，否成立，则称成立，则称对一切对一切即即，不超过不超过间的距离间的距离与某一定点与某一定点，使一切点，使一切点如果存在正数如果存在正数对于点集对于点集EEPKAPKAPAEPKE 41|),(22 yxyx9OxyOxyOxy Oxy有界开区域有界开区域有界半开半闭区域有界半开半闭区域有界闭区域有界闭区域无界闭区域无界闭区域10（3）聚点）聚点 设设 E 是是平平面面上上的的一一个个点点集集，P 是是平平面面上上的的一一个个点点，如如果果点点 P 的的任任何何一一个个邻邻域域内内总总有有无无限限多多个个点点属属于于点点集集 E，则则称称 P 为为 E 的的
5、聚聚点点.内点一定是聚点；内点一定是聚点；边界点可能是聚点；边界点可能是聚点；10|),(22 yxyx例例(0,0)既是既是边界点也是聚点边界点也是聚点11 点集点集E的聚点可以属于的聚点可以属于E，也可以不属于，也可以不属于E10|),(22 yxyx例如例如,(0,0)是聚点但不属于集合是聚点但不属于集合1|),(22 yxyx例如例如,边界上的点都是聚点也都属于集合边界上的点都是聚点也都属于集合12（4）n维空间维空间 设设n为为取取定定的的一一个个自自然然数数，我我们们称称n元元数数组组),(21nxxx的的全全体体为为n维维空空间间，而而每每个个n元元数数组组),(21nxxx称称
6、为为n维维空空间间中中的的一一个个点点，数数ix称称为为该该点点的的第第i个个坐坐标标.n维空间的记号为维空间的记号为;nR n维空间中两点间距离公式维空间中两点间距离公式 13),(21nxxxP),(21nyyyQ.)()()(|2222211nnxyxyxyPQ n维空间中邻域、区域等概念维空间中邻域、区域等概念 nRPPPPPU ,|),(00 特殊地当特殊地当 时，便为数轴、平面、时，便为数轴、平面、空间两点间的距离空间两点间的距离3,2,1 n内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义邻域：邻域：设两点为设两点为14 设设D是平面上的一个点集，如果
7、对于每个点是平面上的一个点集，如果对于每个点DyxP),(，变量，变量z按照一定的法则总有确定的按照一定的法则总有确定的值和它对应，则称值和它对应，则称z是变量是变量yx,的二元函数，记为的二元函数，记为),(yxfz （或记为（或记为)(Pfz ）.（5）二元函数的定义）二元函数的定义当当2 n时时，n元元函函数数统统称称为为多多元元函函数数.多元函数中同样有定义域、值域、自变量、多元函数中同样有定义域、值域、自变量、因变量等概念因变量等概念.类似地可定义三元及三元以上函数类似地可定义三元及三元以上函数15多元函数定义域多元函数定义域:定义域为定义域为符合实际意义符合实际意义的自变量取值的全
8、体的自变量取值的全体.实际问题中的函数实际问题中的函数:的自变量取值的全体的自变量取值的全体.纯数学问题的函数纯数学问题的函数:定义域为使定义域为使运算有意义运算有意义16例例1 1 求求 的定义域的定义域222)3arcsin(),(yxyxyxf 解解 013222yxyx 22242yxyx所求定义域为所求定义域为.,42|),(222yxyxyxD 17 1解解Oxy22222.1xxyzxy 练习练习1)1(22 yx定义域是定义域是122 yx且且有界半开半闭区域有界半开半闭区域18一元函数的图形一元函数的图形.)(),(),(的图形的图形函数函数称为称为点集点集xfyDxxfyy
9、xC oxy),(yxxyWD 一元函数的图形是平面上的一元函数的图形是平面上的一条曲线一条曲线)(xfy 回忆回忆19M xyPD),(yxfz xzyO 二元函数的图形是二元函数的图形是空间的空间的一张曲面一张曲面二元函数的图形二元函数的图形),(),(),(DyxyxfzzyxC 点集点集.),(的图形的图形称为二元函数称为二元函数yxfz z20 xyzO例例,422yxz ,22yxz 上半球面上半球面下半个圆锥面下半个圆锥面2yxzOD422 yx2),(Ryx 21xyzoxyzsin 例如例如,图形如右图图形如右图.2222azyx 例如例如,右图球面右图球面.),(222ay
10、xyxD 222yxaz .222yxaz 单值分支单值分支:22 的图形是双曲抛物面的图形是双曲抛物面(马鞍面马鞍面).又如又如,xyz xyzO它在它在xOy平面上的投影是全平面平面上的投影是全平面.23回忆回忆:一元函数的极限一元函数的极限 ),(yxfz 讨论二元函数讨论二元函数 .),(),(000时的极限时的极限即即yxPyxP,00yyxx当当二、多元函数的极限二、多元函数的极限.)(,0,0,00 Axfxx恒有恒有时时使当使当定 义定 义 1 1 设 函 数设 函 数),(yxfz 的 定 义 域 为的 定 义 域 为),(,000yxPD是其聚点，如果对于任意给定的是其聚点
11、，如果对于任意给定的正数正数，总存在正数，总存在正数，使得对于适合不等式，使得对于适合不等式 20200)()(|0yyxxPP的 一 切的 一 切点，都有点，都有|),(|Ayxf成立，则称成立，则称 A A 为函数为函数),(yxfz 当当0 xx，0yy 时的极限，时的极限，记为记为 Ayxfyyxx),(lim00 （或（或)0(),(Ayxf这里这里|0PP ）.,0 ,00 PP当当,0 有有 AyxfAPf),()(简写简写25Oxy路径又是多种多样的路径又是多种多样的.方向有任意多个方向有任意多个,),(00yx),(yx),(yx),(yx),(yx),(yx),(yx),(
12、00yx),(yx),(yx),(yxOxy说明：说明：（1）定义中）定义中 的方式是任意的；的方式是任意的；0PP 26（2）二元函数的极限也叫二重极限）二元函数的极限也叫二重极限);,(lim00yxfyyxx（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似）二元函数的极限运算法则与一元函数类似(double limit)27例例2 2 求证求证 证证01sin)(lim222200 yxyxyx22221()sinxyxy 22221sinyxyx 22yx 由夹逼准则，原结论成立由夹逼准则，原结论成立22222210()sin0 xyxyxy 28例例3 3 求极限求极限 .)sin(lim
13、22200yxyxyx 解解22200)sin(limyxyxyx,)sin(lim2222200yxyxyxyxyx 其中其中yxyxyx2200)sin(limuuusinlim0,1 2220 x yxy x21,00 x.0)sin(lim22200 yxyxyxyxu2 29例例4 4 证明证明 不存在不存在 证证26300limyxyxyx 取取,3kxy 26300limyxyxyx 6263303limxkxkxxkxyx ,12kk 其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，故极限不存在故极限不存在30（1）令令),(yxP沿沿kxy 趋趋向向于于),(000yxP，若若极极
14、限限值值与与k有有关关，则则可可断断言言极极限限不不存存在在；（2）找两种不同趋近方式，使找两种不同趋近方式，使),(lim00yxfyyxx存在，存在，但两者不相等，此时也可断言但两者不相等，此时也可断言),(yxf在点在点),(000yxP处极限不存在处极限不存在确定极限确定极限不存在不存在的方法：的方法：31极限极限 是否存在？是否存在？24200limyxyxyx 取取,xy 解解242yxyx ),(lim0yxfxyx12243 xxxxx01lim20 xxxyx 极限不存在极限不存在.取取,2xy 242yxyx 444xxx2132定定义义 2 2 设设n元元函函数数)(Pf
15、的的定定义义域域为为点点集集0,PD是是其其聚聚点点，如如果果对对于于任任意意给给定定的的正正数数，总总 存存 在在 正正 数数，使使 得得 对对 于于 适适 合合 不不 等等 式式|00PP的的 一一 切切 点点DP ，都都 有有|)(|APf成成立立，则则称称 A A 为为n元元函函数数)(Pf当当0PP 时时的的极极限限，记记为为 APfPP)(lim0.关于二元函数的极限概念可相应地推广关于二元函数的极限概念可相应地推广到到n元函数上去元函数上去.33 设设n元函数元函数)(Pf的定义域为点集的定义域为点集0,PD是其聚点且是其聚点且DP 0，如果，如果)()(lim00PfPfPP
16、则称则称n元函数元函数)(Pf在点在点0P处连续处连续.三、多元函数的连续性三、多元函数的连续性定义定义3 334例例6 6 讨论函数讨论函数 0,00,),(222222yxyxyxxyyxf在在(0,0)的连续性的连续性解解取取kxy 2200limyxxyyx 22220limxkxkxkxyx 21kk 其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，极限不存在极限不存在故函数在故函数在(0,0)处不连续处不连续35闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，在上的多元连续函数，在D D上一定有最大值和最小值上一定有最大值和最小值 f(P)f
17、(P)是有界闭区域是有界闭区域D D上的多元连续函数，则上的多元连续函数，则f(P)f(P)在在D D上可取得介于任意上可取得介于任意两个不同函数值两个不同函数值之之间的任何值间的任何值（1）最大值和最小值定理）最大值和最小值定理（2）介值定理）介值定理36多元初等函数多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数多元初等函数一切多元初等函数在其定义区域内是连续的一切多元初等函数在其定义区域内是连续的定义区域定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域是指包含在定义域内的区域或闭区域37例例001lim.11xyxy求求解解原式原式111lim00 xyyx.21).()(lim)()()()(lim00000PfPfPPfPfPPfPfPPPP 处连续，于是处连续，于是点点在在的定义域的内点，则的定义域的内点，则是是数，且数，且是初等函是初等函时，如果时，如果一般地，求一般地，求38作业作业习题习题8.1(8.1(第第313313页页)
