1、9.2 两条直线的位置关系两条直线的位置关系9.2.1 两条直线的平行两条直线的平行1.在平面上两条直线的位置关系有哪几种？在平面上两条直线的位置关系有哪几种？问题2.在平面直角坐标系中，怎样根据两条直线的方程在平面直角坐标系中，怎样根据两条直线的方程判断这两条直线的位置关系？判断这两条直线的位置关系？OxyL2L1n2n1下面来讨论两条直线平行的充要条件，下面来讨论两条直线平行的充要条件，设两条直线分别为设两条直线分别为L1：A1x+B1y+C1=0L2：A2x+B2y+C2=0如图所示，直线如图所示，直线L1的一个法向量可取的一个法向量可取为为n 1=(A1，B1)，直线直线L2的一个法向
2、量的一个法向量可取为可取为n2=(A2,B2)。因此如果因此如果L1/L2,则则n1/n2,即存在一个非即存在一个非零实数零实数，使，使n1=n2,且且C1C2.上述结上述结论也可用直线方程的系数表示为论也可用直线方程的系数表示为 A1=A2 B1=B2 (为非零实数）为非零实数）C1 C2特别，如果特别，如果L1与与L2的方程中的的方程中的x和和y的的系数及常数项都不为零，则有系数及常数项都不为零，则有 L1/L2212121CCBBAA例例1 已知直线已知直线L1:2x-4y+7=0,L2:x-2y+5=0.求证：求证：L1/L2.证明：直线证明：直线L1的一个法向量可取为的一个法向量可取
3、为n1=(2,-4),L2的一个法向量可取为的一个法向量可取为n2=(1,-2).因为因为n1=2n2,且且725.所以所以L1/L2.例例2 求证直线求证直线L1：Ax+By+C1=0 与直线与直线L2：Ax+By+C2=0(C1C2)平行平行.证明：直线证明：直线L1的一个法向量可取为的一个法向量可取为n1=(A,B),L2的一个法向量可取为的一个法向量可取为n2=(A,B).因为因为n1=1n2,而而C1C2.所以所以L1与与L2平行平行.一般地，与直线一般地，与直线Ax+By+C=0平行的直线都可以表平行的直线都可以表示成示成Ax+By+D=0（DC）.例例3 求过点（求过点（1，-4
4、），且与直线），且与直线2x+3y+5=0平行的直线方程。平行的直线方程。解：设所求直线方程为解：设所求直线方程为2x+3y+D=0，由于所，由于所求直线过点（求直线过点（1，-4），将其带入方程，得），将其带入方程，得D=10，因此，所求直线方程为，因此，所求直线方程为2x+3y+10=0例已知四边形的四条边所在的例已知四边形的四条边所在的直线方程分别是直线方程分别是：求证四边形是平行四边形。求证四边形是平行四边形。证明：因为直线的一个法向量可取为(2,-3)直线的一个法向量可取为(4,-6)显然，且，所以/又因为直线的一个法向量可取为(3,6)，直线的一个法向量可取为(1,2)因为，且-1
5、13(-4)，所以/因此四边形是平行四边形。21211、已知直线的一个方向向量、已知直线的一个方向向量v=(v1,v2),则直线的斜率则直线的斜率k=.已知斜率已知斜率k，则直线的一个方向向量则直线的一个方向向量 v=.2、点斜式方程、点斜式方程 .3、斜截式方程、斜截式方程 .温故知新温故知新)0(112vvv(1,k)(00 xxkyyy=kx+b任何一条直线都可以由其上的一点和它任何一条直线都可以由其上的一点和它的一个法向量写出它的点法式方程，直的一个法向量写出它的点法式方程，直线的点法式方程是一个二元一次方程。线的点法式方程是一个二元一次方程。因此可以说因此可以说每一条直线的方程都是关
6、于每一条直线的方程都是关于x,y的二元一次方程的二元一次方程。那么是否每个二元一次方程那么是否每个二元一次方程的图像都是直线呢？的图像都是直线呢？若关于若关于x,y的二元一次方程为：的二元一次方程为：Ax+By+C=0 （A,B不全为零）不全为零）设（设（x0,y0)是此方程的一个解，即是此方程的一个解，即 Ax0+By0+C=0 由由-得得 A(x-x0)+B(y-y0)=0 这是一条过点这是一条过点p0(x0,y0)，法向量为，法向量为n=(A,B)的直线的直线的点法式方程。的点法式方程。任何关于任何关于x,y的二元一次方程的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不全为零不全为零)的图象都
7、是一条直线。的图象都是一条直线。我们把方程我们把方程Ax+By+C=0(A,B不全为零不全为零)叫做直线的叫做直线的一般式方程。一般式方程。如果如果n=(A,B)是直线的一个法向量，是直线的一个法向量，则直线的一个方向向量则直线的一个方向向量v=.如果如果v=(A,B)是直线的一个方向向量，是直线的一个方向向量，则直线的一个法向量则直线的一个法向量n=。(B,-A)或（或（-B,A)(B,-A)或（或（-B,A)向量向量n=(A,B)为直线为直线Ax+By+C=0的一个的一个法向量，向量法向量，向量v=(B,-A)和和(-B,A)都是这都是这条直线的一个方向向量。条直线的一个方向向量。例例10
8、.写出下列直线的一个法向量和一个方写出下列直线的一个法向量和一个方向向量：向向量：(1)3x-4y-1=0(2)2x-3=0(9)3y-2=0n=(3,-4)v=(-4,-3)n=(2,0)v=(0,-2)n=(0,3)v=(3,0)例例11 求直线求直线x+2y+6=0的斜率和在的斜率和在y轴上的截距轴上的截距解：由方程解：由方程x+2y+6=0解出解出y，得此直线的，得此直线的斜截式方程斜截式方程所以，直线的斜率是所以，直线的斜率是 ，在，在y轴上的截距轴上的截距是是-3。321xy21跟踪练习跟踪练习 求直线7x+8y+9=0斜率和在y轴上的截距。例例1 12 2 求直线求直线l:4x-
9、3y-12=0l:4x-3y-12=0与与x x轴，轴，y y轴的交点轴的交点坐标，并画出直线坐标，并画出直线L L。解：令解：令y=0,y=0,得得x=3;x=3;令令x=0,x=0,得得y=-4y=-4所以，直线与所以，直线与x x轴，轴，y y轴的交轴的交点分别为：点分别为：A(3,0),B(0,-4)A(3,0),B(0,-4)过点过点A A，B B的直线就是直线的直线就是直线l l，-4-1-2-3-1-2-3-4xy0lA(3,0)B(0,-4)跟踪练习 求直线2x-3y+6=0与x轴和y轴的交点坐标，并画出直线.与与x轴交点（轴交点（-3，0）与与y轴交点（轴交点（0，2）课堂练
10、习课堂练习1、求下列直线的一个法向量，一个方向向量和斜率k（如果斜率存在的话）(1)x-3y+5=0(2)y=3x+7(3)2x+5=0(4)4y+1=03),3,1(),1,3(kvn不存在kvn),2,0(),0,2(0),0,4(),4,0(kvnn=(1,-3)v=(-3,-1)k=31根据下列条件写出直线的一般式方程：根据下列条件写出直线的一般式方程：(1)过点过点(2,-3)，一个方向向量是，一个方向向量是v=(-3,4)(2)过点过点(3,2),一个法向量是一个法向量是n=(3,-4)(3)过点过点(1,4)，斜率，斜率k=414x+3y+1=03x-4y-1=02x+y-6=0课堂练习课堂练习任何关于任何关于x,y的二元一次方程的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不全为零不全为零)的图象都是一条直线。的图象都是一条直线。一般式方程：一般式方程：Ax+By+C=0(A,B不全为零不全为零)向量向量n=(A,B)为直线为直线Ax+By+C=0的一个的一个法向量，向量法向量，向量v=(B,-A)和和(-B,A)都是这都是这条直线的一个方向向量。条直线的一个方向向量。作业：作业：课后练习9-4，第2题（2）、第3题
