1、第二节第二节 微积分基本公式微积分基本公式一、问题的提出一、问题的提出二、积分上限函数及其导数二、积分上限函数及其导数三、牛顿三、牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式四、小结四、小结 思考题思考题【从变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系看【从变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系看定积分公式应有的形式】定积分公式应有的形式】变速直线运动中路程为变速直线运动中路程为 21)(TTdttv另一方面这段路程可表示为另一方面这段路程可表示为)()(12TsTs 一、问题的提出一、问题的提出).()()(1221TsTsdttvTT ).()(tvts 其中其中【注】【注】上述结论在一定条件（连续）下
2、具有普遍性上述结论在一定条件（连续）下具有普遍性 xadxxf)(考察定积分考察定积分 xadttf)(记记.)()(xadttfx积分上限函数积分上限函数二、积分上限函数及其导数二、积分上限函数及其导数abxyo)(x x1.【定义】【定义】abxyo2.【积分上限函数的性质】【积分上限函数的性质】xx 【证】【证】dttfxxxxa )()()()(xxx dttfdttfxaxxa )()()(x x),(bax 设设dttfdttfdttfxaxxxxa )()()(,)(xxxdttf利用积分中值定理脱掉积分号利用积分中值定理脱掉积分号)()()(xfdttfdxdxxa )(bxa
3、 (1)xx ,0时时),(fx )(limlim00 fxxx .)()(limlim)(0 xffxxxx abxyoxx )(x x(2)()(0 ,afaxax 同理可得：同理可得：取取若若(3)()(0 ,bfbxbx 同理可得：同理可得：取取若若f 在在a,b连续，由积分中值定理得连续，由积分中值定理得xf )(,xxx 3.【推广】【推广】)()()()(xaxafxbxbf 【证】【证】dttfdttfxaxbxbxa)()()()3(0)()(0)()(dttfxb )(0)(,)()(0dttfxa )()()()(xaxafxbxbf )()()()3(xbxadttfd
4、xd)()()(可导，则可导，则、连续，连续，若若xbxaxf )()()1(xbadttfdxd bxadttfdxd)()()2()()()(xbxadttfdxd【证完】【证完】【思考】【思考】),(?)(为常数为常数badttfdxdba )()(xbxbf )()(xaxaf 【例【例1】求】求.lim21cos02xdtextx 【解】【解】1cos2xtdtedxd,cos12 xtdtedxd)(cos2cos xex,sin2cos xex 21cos02limxdtextx xexxx2sinlim2cos0 .21e【分析】【分析】这是这是 型不定式型不定式,应用洛必达法
5、则应用洛必达法则,求导去掉积分号求导去掉积分号.00但由于但由于 “积不出积不出”，故不能先求出，故不能先求出定积分定积分再求极再求极限限.dxex2【证】【证】xdtttfdxd0)(),(xxf xdttfdxd0)(),(xf 2000)()()()()()(xxxdttfdtttfxfdttfxxfxF,)()()()(200 xxdttfdttftxxf)0(,0)(xxf,0)(0 xdttf,0)()(tftx,0)()(0 xdttftx).0(0)(xxF也可用积分也可用积分中值定理判中值定理判.【证】【证】,1)(2)(0 dttfxxFx,0)(2)(xfxF,1)(xf
6、,01)0(F 10)(1)1(dttfF 10)(1 dttf,0 令令【注】也可用积分中值定理，脱掉积分号【注】也可用积分中值定理，脱掉积分号比较大小比较大小0,1上解存在上解存在4.【原函数存在定理原函数存在定理】【定理的重要意义】【定理的重要意义】(1)(1)肯定了连续函数的原函数是存在的肯定了连续函数的原函数是存在的.(2)(2)初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系系.【定理【定理2】【定理【定理 3】（微积分基本公式）（微积分基本公式）CxxF )()(,bax【证】【证】三、三、牛顿牛顿莱布尼茨莱布尼茨公式公式 ,)()(，上的一
7、个原函数上的一个原函数在区间在区间是连续函数是连续函数如果如果baxfxF令令ax ,)()(CaaF 0)()(dttfaaa,)(CaF),()()(aFdttfxFxa 即即),()()(aFxFdttfxa bx 令令).()()(aFbFdxxfba 牛牛莱公式莱公式)()()(aFbFdxxfba 则则)()()(aFbFdxxfba 【微积分基本公式表明】【微积分基本公式表明】baxF)(2.求定积分问题转化为求原函数的问题求定积分问题转化为求原函数的问题.【使用牛顿【使用牛顿莱布尼兹公式必须注意】莱布尼兹公式必须注意】（1）被积函数）被积函数f(x)在在 a,b 上上连续连续（
8、2）F(x)是是f(x)在在 a,b 上的原函数上的原函数.【例【例4】求求 .)1sincos2(20 dxxx原式原式 20 cossin2 xxx .23 【解】【解】【例【例5】215102)(xxxxf设设 20)(dxxf求求【分析】【分析】本例中函数存在跳跃型间断点，故不存在原函数，本例中函数存在跳跃型间断点，故不存在原函数，从而不能从而不能直接用直接用牛牛莱公式计算莱公式计算.该定积分可采用该定积分可采用积分区间的可加性积分区间的可加性，在各区间段上，在各区间段上用牛用牛莱公式莱公式分别积分分别积分（因各区间段上存在原函数）（因各区间段上存在原函数）.)1()22(【解】【解】
9、102120)()()(dxxfdxxfdxxf在在2,1 上上规规定定当当1 x时时，5)(xf,102152dxxdx原式原式.6 xyo125一般地，凡一般地，凡可积可积的分段函数都可以应用积分区间的可加的分段函数都可以应用积分区间的可加性，在各区间段上分别用性，在各区间段上分别用牛牛莱公式莱公式进行定积分进行定积分.【例【例6】求求 .,max222 dxxx【解】【解】由图形可知由图形可知,max)(2xxxf 21210022dxxxdxdxx原式原式.211 xyo2xy xy 122,21100222 xxxxxx【例【例7】以下解法是否正确，说明理由以下解法是否正确，说明理由
10、.【注】【注】该例说明牛该例说明牛莱公式中的莱公式中的F(x)必须是必须是f(x)在该积分区在该积分区间上的原函数间上的原函数.【解】【解】面积面积xyo 0sinxdxA 0cos x.2 22211)1(11)1arctan(xxxx 又又211)(arctan xx ;2arctan11)1(11112 xdxx;21arctan11)2(11112 xdxx;12arctan11)3(31312 xdxx.121arctan11)4(31312 xdxx则则【例【例9 9】，使使内内至至少少存存在在一一点点在在开开区区间间上上连连续续，证证明明：在在闭闭区区间间设设函函数数),(,)(
11、babaxf abfdxxfba )()()(ba 【证】【证】)(连续连续在在 a,bxf )()(xFxf存在原函数存在原函数由牛由牛莱公式，有莱公式，有)()()(aFbFdxxfba )(条件条件的的上满足拉氏中值定理上满足拉氏中值定理在在又又a,bxF则有则有)()()(abFaFbF )(ba 即即 abfdxxfba )()()(ba 【说明】【说明】本题结论是本题结论是积分中值定理积分中值定理的改进的改进.积分中值定理与微分中值定理的联系：积分中值定理与微分中值定理的联系：)(F)(f)(ba 微分中值定理微分中值定理积分中值定理积分中值定理原函数在微分中值原函数在微分中值定理中的定理中的等于导函等于导函数在积分中值定理数在积分中值定理中的中的.3.微积分基本公式微积分基本公式1.积分上限函数积分上限函数 xadttfx)()(2.积分上限函数的导数积分上限函数的导数)()(xfx )()()(aFbFdxxfba 四、小结牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系之间的关系【思考题】【思考题】【思考题解答】【思考题解答】dttfxa)(与与duufbx)(都是都是 x的函数的函数)()(xfdttfdxdxa )()(xfduufdxdbx
