1、第十一章立体几何初步第十一章立体几何初步数学文化了解数学文化的发展与应用几何原本几何原本由古希腊数学家欧几里德编著，大约成书于公元前300年，距今已有2000多年的历史.几何原本全面而系统地将远古人类创造的零散数学成果进行整理，以五大公设为基础、由简单到复杂，用严谨的逻辑思维进行层层推理、严格证明，先后论述了直边形、圆、比例论、相似形、数、立体几何，应用丰富的数学思想：分析法、综合法和归谬法进行层层推演，其惊艳的逻辑美伦美奂，令人陶醉.这是古代文明史上的一大壮举，远古人类第一次用“公理系统”构建起了古代的数学大厦，对近代和现代数学，产生了深远的影响.几何原本的内容与我们在中学阶段学习的大部分几
2、何知识基本等同，但是，真正宝贵的是蕴含于其中的“数学思想”.读图探新发现现象背后的知识法国国防部的“法国五角大楼”，从外部看犹如一座城堡.而它的内部围成中庭，呈六边形，与法国本土轮廓相似，因而也被称为“巴拉尔六角大楼”.大楼的外墙可以承受导弹攻击，指挥中枢位于地下，安全措施严密.国防部大楼也并非完全一座冷冰冰的军事堡垒，内部还建有庭院、美发室、图书馆、游泳池、体育设施和餐厅，甚至还有幼儿园.这壮观的大楼是由几何体组成的.问题1：建筑中有哪些几何体？几何体中的点、线、面之间又具备怎样的关系呢？问题2：多面体和旋转体的表面积及体积怎样计算？链接：建筑中的几何体有多面体和旋转体，主要包括柱体、锥体、
3、台体及球体，其中的线与线之间可能是平行、相交和异面；直线与平面之间有平行、相交，特别的有直线与平面垂直；平面与平面也有平行或相交.表面积是各面面积之和，各几何体的体积也有各自的计算公式.11.1空间几何体空间几何体11.1.1空间几何体与斜二测画法空间几何体与斜二测画法课标要求素养要求1.认识空间几何体.2.会用斜二测画法画出简单空间图形(长方体、球、圆锥、圆柱、棱柱等)的直观图.从实际物体中抽象出空间几何体，画出空间几何体的直观图，培养学生的直观想象素养.教材知识探究随处可见的建筑、公路、桥梁、工业生产中处处都有空间几何体.问题你能从中抽象出几何体吗？用什么方法画出来这些几何体的直观图？提示
4、由斜二测画法画出空间图形的直观图.1.空间几何体如果只考虑一个物体占有的_和_，而不考虑其他因素，则这个空间部分通常可抽象为一个_.2.斜二测画法(1)立体几何中，用来表示空间图形的平面图形，称为空间图形的_.(2)用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图，步骤如下：在平面图形上取_的x轴和y轴，作出与之相对应的x轴和y轴，使得它们正方向的夹角为_.空间形状大小几何体直观图互相垂直45(或135)平面图形中与x轴平行(或重合)的线段画成与x轴_的线段，且长度_；平面图形中与y轴平行(或重合)的线段画成与y轴平行(或重合)的线段，且长度_.连接有关线段，擦去作图过程中的辅助线.(3)用斜二测画法
5、作立体图形直观图的步骤如下：在立体图形中取水平平面，在其中取互相垂直的x轴与y轴，作出水平平面上图形的直观图(保留x轴和y轴).在立体图形中，过x轴与y轴的交点取z轴，并使z轴垂直于x轴与y轴.过x轴与y轴的交点作z轴对应的z轴，且z轴_x轴.图形中与z轴平行(或重合)的线段画成与z轴平行(或重合)的线段，且_.连接有关线段.擦去有关辅助线，并把被面遮挡住的线段改成_(或擦除).平行（或重合）不变为原来长度的一半垂直于长度不变虚线教材拓展补遗微判断1.平行四边形的直观图可能是梯形.()提示平行的线段在直观图中仍平行，故平行四边形的直观图仍是平行四边形.2.画与平面直角坐标系xOy对应的坐标系x
6、Oy时，xOy必须为45.()提示xOy是45或135.微训练1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法不正确的是()A.原来相交的仍相交 B.原来垂直的仍垂直C.原来平行的仍平行 D.原来共点的仍共点解析根据斜二测画法，原来垂直的未必垂直.答案B2.如图所示为一个平面图形的直观图(ADBC)，则它的实际形状四边形ABCD为()A.平行四边形 B.梯形C.菱形 D.矩形解析因为DAB45，由斜二测画法规则知DAB90，又因四边形ABCD为平行四边形，所以原四边形ABCD为矩形.答案D微思考1.在斜二测画法中，原图形中两条相等的线段，直观图中对应的线段还相等吗？提示如果两条相
7、等线段平行，则直观图中仍平行且长度相等，若不平行则对应的线段长度不确定.2.矩形的直观图的面积与原图形面积有怎样的关系？题型一画水平放置的平面图形的直观图【例1】画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图.解画法：(1)如图所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立平面直角坐标系，画对应的坐标系xOy，使xOy45.(3)连接BC，DA，所得的四边形ABCD就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图.规律方法画水平放置的平面图形的直观图的技巧：(1)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点.(2)在直观图中，确定坐标轴上
8、的对应点以及与坐标轴平行的线段端点的对应点都比较容易，但是如果原图中的点不在坐标轴上或不在与坐标轴平行的线段上，就需要我们经过这些点作与坐标轴平行的线段，将其转化到与坐标轴平行的线段上来确定.(3)同一个图形选取坐标系的角度不同，得到的直观图可能不同.【训练1】用斜二测画法画边长为4 cm的水平放置的正三角形(如图)的直观图.解(1)如图所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系.题型二空间几何体的直观图【例2】用斜二测画法画出正六棱锥的直观图.解(1)画六棱锥P-ABCDEF的底面的直观图.在正六边形ABCDEF中，取对角线AD所在直线为x轴，取
9、与AD垂直的对称轴MN为y轴，两轴相交于点O，建立直角坐标系(如图(1)所示).画相应的x轴和y轴，两轴交于点O，使xOy45.以O为AD及MN的中点，在x轴上取ADAD，以点N为中点画BC平行于x轴，并且等于BC，再以点M为中点画EF平行于x轴，并且等于EF.连接AB，CD，DE，FA，则得到水平放置的正六边形ABCDEF的直观图ABCDEF.(2)在直观图中画六棱锥的顶点.连接OP，以OP所在直线为z轴.过O作与z轴对应的z轴，在Oz上取点P，使OPOP.连接PA，PB，PC，PD，PE，PF(如图(2)所示).(3)擦去x轴、y轴、z轴，被面遮挡住的线段AF，EF，PF改成虚线，便得到正
10、六棱锥P-ABCDEF的直观图P-ABCDEF(如图(3)所示).规律方法1.画空间图形的直观图，一般先用斜二测画法画出水平放置的平面图形，再画z轴，并确定竖直方向上的相关的点，最后连点成图便可.2.直观图画法口诀可以总结为：“一斜、二半、三不变.”【训练2】画出底面是边长为2的正方形，侧棱均相等且高为3的四棱锥的直观图.解画法：(1)画轴.画x轴、y轴、z轴，xOy45(或135)，xOz90，如图(1).(2)画底面.以O为中心在xOy平面内，画出边长为2的正方形水平放置的直观图ABCD.(3)画顶点：在z轴上截取OP，使OP3.(4)成图：顺次连接PA，PB，PC，PD，并擦去辅助线，被
11、面遮挡住的线段AD，PD，CD改成虚线，得四棱锥的直观图如图(2).题型三直观图的还原与计算【例3】如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面图形的面积为()答案B【训练3】已知ABC的平面直观图ABC是边长为a的正三角形，那么原ABC的面积为()答案C一、素养落地1.通过从实际物体中抽象出空间几何体，画出空间几何体的直观图，培养学生的直观想象素养.2.用斜二测画法画直观图的关键是确定直观图中的顶点或其他关键点，因此应尽量把顶点或其他关键点放在坐标轴上或与坐标轴平行的直线上.3.将水平放置的平面图形的直观图还原成实际图形的过程，是画直观图的逆过程，即平行于x轴的线段
12、长度不变，平行于y轴的线段长度变为原来的2倍.二、素养训练1.关于用斜二测画法得直观图，下列说法正确的是()A.等腰三角形的直观图仍为等腰三角形B.正方形的直观图为平行四边形C.梯形的直观图可能不是梯形D.正三角形的直观图一定为等腰三角形解析用斜二测画法时保持平行性不变，但线段的长度、角度不确定.答案B解析原梯形上、下两底长度与直观图中上、下两底的长度分别对应相等，但高不同.答案D3.如图，平行四边形OPQR是四边形OPQR的直观图，若OP3，OR1，则原四边形OPQR的周长为_.解析由四边形OPQR的直观图可知原四边形OPQR是矩形，且OP3，OR2，所以原四边形OPQR的周长为2(32)10.答案104.如图所示的直观图AOB，其平面图形的面积为_.解析由直观图可知其对应的平面图形AOB中，AOB90，OB3，OA4，答案6
