1、 t t 检验可以判断两组数据平均数间的检验可以判断两组数据平均数间的差异显著性，差异显著性，而方差分析既可以判断两组又可以判断而方差分析既可以判断两组又可以判断多组数据平均数之间的差异显著性。多组数据平均数之间的差异显著性。第四章 方差分析方差分析方差分析(Analysis of variance，ANOVA)又叫变量分析，是英国著名统计学家又叫变量分析，是英国著名统计学家R.A.R.A.FisherFisher于于2020世纪提出的。它是用以检验世纪提出的。它是用以检验差异的假设检验方法。它是一类特定情况下差异的假设检验方法。它是一类特定情况下的统计假设检验，或者说是平均数差异显著性检验的
2、统计假设检验，或者说是平均数差异显著性检验的一种引伸。的一种引伸。观观测测值值不不同同的的原原因因处理效应处理效应(treatment effect)：处理不同引起处理不同引起试验误差：试验过程中偶然性试验误差：试验过程中偶然性因素的干扰和测量误差所致。因素的干扰和测量误差所致。方差：又叫均方，是标准差的平方，是表示变异的量。方差：又叫均方，是标准差的平方，是表示变异的量。在一个多处理试验中，可以得出一系列不同的观测值。在一个多处理试验中，可以得出一系列不同的观测值。方差分析的基本思想方差分析的基本思想总变异处处理理效效应应试试验验误误差差方差分析的目的方差分析的目的确定各种原因在总变异中所占
3、的重要程度。确定各种原因在总变异中所占的重要程度。处理效应处理效应试验误差试验误差相差不大，说明试验处理对指标影响不大。相差不大，说明试验处理对指标影响不大。相差较大，即处理效应比试验误差大得多，相差较大，即处理效应比试验误差大得多，说明试验处理影响是很大的，不可忽视。说明试验处理影响是很大的，不可忽视。方差分析的用途方差分析的用途1.1.用于多个样本平均数的比较用于多个样本平均数的比较2.2.分析多个因素间的交互作用分析多个因素间的交互作用3.3.回归方程的假设检验回归方程的假设检验4.4.方差的同质性检验方差的同质性检验1.1.用于多个样本平均数的比较用于多个样本平均数的比较2.2.分析多
4、个因素间的交互作用分析多个因素间的交互作用方差是离均差平方和除以自由度的商方差是离均差平方和除以自由度的商2(x-)2 N(x-x)2 s2 2=n-1要把一个试验的总变异依据要把一个试验的总变异依据分为相应分为相应的变异，首先要将总平方和和总的变异，首先要将总平方和和总dfdf分解为各个变异分解为各个变异来源的的相应部分。来源的的相应部分。方差分析的方差分析的引起观测值出现变异分解为处引起观测值出现变异分解为处理效应的变异和试验误差的变异。理效应的变异和试验误差的变异。平均平均T=xij TkTiT2T1总和总和xk1xk2xkjxknxi1xi2xijxinx21x22x2jx2nx11
5、x12 x1jx1n12jnki21处理处理重复重复x x1 x2 xi xk 处理间平均数的处理间平均数的差异是由处理效差异是由处理效应引起的：应引起的：处理内的变异是处理内的变异是由随机误差引起：由随机误差引起：(x-xi)(xi x)根据线性可加模型，则有：根据线性可加模型，则有：(xi x)(x-x)(x-xi)+(x-x)2 2(x-xi)+(xi x)(xi x)2(x-x)2 1 n 1 n(x-xi)2+(x-xi)(xi x)21 n+1 n 每一个处理每一个处理n n 个观测值离均差平方和累加：个观测值离均差平方和累加：(x-xi)2+2(x-xi)(xi x)+(xi x
6、)2 0(xi x)0(x-xi)21 n 0)()(21niixxxx平均平均T=xij TkTiT2T1总和总和xk1xk2xkjxknxi1xi2xijxinx21x22x2jx2nx11 x12 x1jx1n12jnki21处理处理重复重复x x1 x2 xi xk(xi x)(x-xi)由于由于 0，则：，则：21 n(x-x)2 (xi x)2(x-xi)2 n n 11+1 n(xi x)2(x-xi)2(x-x)2 1 n 1 k 1 n 1 k+n1 k 总平方和总平方和 SST 处理内或组处理内或组内平方和内平方和 SSe处理间或组处理间或组间平方和间平方和 SSt把把k
7、k 个处理的离均差平方在累加，得个处理的离均差平方在累加，得总平方和处理间平方和总平方和处理间平方和+处理内平方和处理内平方和SST SSt+SSeSST (x-x)21 n 1 k=x2-T2 kn(x)2 kn x2-SST x2-C令矫正数令矫正数C ，则：则：T2 knnxxxx222)()(SSt n1 k(xi x)2 k n(-2 +)1x xi i2 2 x xi ixx2=n n -+nknk1 k x xi i2 2 2n 1 k xx xi ix2=-2nk +n1 k x xi i2 2 x2 nkxnkx2 2 =-n1 k x xi i2 2 nkxnkx2 2 =
8、-n n1 k T Ti i2 2 n2 nkT T2 2(nk)2=T Ti i2 2 -Cn11 k x xi i=kxx xi i=T Ti in n=T TnknkxnkTTni221总平方和：总平方和：SST x2-C 处理间平方和：处理间平方和：SSt=T Ti i2 2 -Cn1处理内平方和：处理内平方和：SSe=SST -SSt总自由度也可分解为处理间自由度和处理内自由度：总自由度也可分解为处理间自由度和处理内自由度：dfT=dft+dfe总总 df处理间处理间df处理内处理内df自由度自由度dfT=nk-1nk-1dft=k-1k-1dfe=dfT-dft=nk-1-(k-1
9、)=nk-k=k(n-1)平均平均T=xij TkTiT2T1总和总和xk1xk2xkjxknxi1xi2xijxinx21x22x2jx2nx11 x12 x1jx1n12jnki21处理处理重复重复x x1 x2 xi xk 根据各变异部分的平方和和自由度，可求得根据各变异部分的平方和和自由度，可求得处理间方差处理间方差（st2）和和处理内方差处理内方差（se2 ）：）：st2=SStdftSSedfese2=平方和平方和自由度自由度方差方差处理间处理间处理内处理内总变异总变异nkTC2CxSST2tTeSSSSSSCTnSSit211 nkdfT1 kdft)1(nkdfeeeedfSS
10、s2tttdfSSs2统计假设的显著性检验统计假设的显著性检验 F F 检验检验确定各种原因（确定各种原因（、）在总变异）在总变异中所占的重要程度。中所占的重要程度。的方差（的方差（）可以作为）可以作为方差的估计量方差的估计量的方差（的方差（）可以作为）可以作为差异的估计量差异的估计量处理效应处理效应试验误差试验误差方差分析的目的方差分析的目的:22etss二者相比，如果相差不大，说明不同处理的变异在总二者相比，如果相差不大，说明不同处理的变异在总变异中所占的位置不重要，也就是不同试验处理对结果影变异中所占的位置不重要，也就是不同试验处理对结果影响不大。响不大。如果相差较大，也就是处理效应比试
11、验误差大得多，如果相差较大，也就是处理效应比试验误差大得多，说明试验处理的变异在总变异中占有重要的位置，不同处说明试验处理的变异在总变异中占有重要的位置，不同处理对结果的影响很大，不可忽视。理对结果的影响很大，不可忽视。处理效应处理效应试验误差试验误差22etssF检验检验 在进行不同处理差异显著性的在进行不同处理差异显著性的F F 检验时，一般是把检验时，一般是把作为分子，称为大方差，作为分子，称为大方差，作为分母，称作为分母，称为小方差。为小方差。无效假设是把各个处理的变量无效假设是把各个处理的变量来自同一总体，即来自同一总体，即处理间方差处理间方差，只有误差的影响，因而处理，只有误差的影
12、响，因而处理间的样本方差间的样本方差t t2 2 与误差的样本方差与误差的样本方差e e2 2 相等：相等：Ho：t2 e2HA：t2 e222etssF F F0.05 P0.05 处理间差异不显著处理间差异不显著F F0.05 P0.05 处理间差异显著处理间差异显著F F0.01 P0.01 处理间差异极显著处理间差异极显著否定否定H Ho o否定否定H Ho o接受接受H Ho o 我们确定显著标准水平我们确定显著标准水平后，从后，从F F 值表中查出在值表中查出在dfdft t和和dfdfe e下的下的F F值值综上所述，可归纳成方差分析表综上所述，可归纳成方差分析表(analysi
13、s of(analysis of variance table)variance table)s se e2 2k(n-1)k(n-1)SSSSe e误差或处理内误差或处理内nk-1nk-1SSSST T总和总和s st t2 2k-1k-1SSSSt t处理间处理间F F均方均方自由度自由度平方和平方和变异来源变异来源F Fs st t2 2s se e2 2F检验检验多重比较 要明确不同处理平均数两两间差异的显著性，要明确不同处理平均数两两间差异的显著性，每个处理的平均数都要与其他的处理进行比较，每个处理的平均数都要与其他的处理进行比较，这种差异显著性的检验就叫多重比较。这种差异显著性的检
14、验就叫多重比较。统计上把多个平均数两两间的相互比较称为多重比较。统计上把多个平均数两两间的相互比较称为多重比较。概念概念多重比较多重比较常用方法常用方法least significant difference LSD法法least significant ranges LSR法法LSDLSD法的实质是两个平均数相比较的法的实质是两个平均数相比较的t t检验法。检验法。LSRLSR法克服了法克服了LSDLSD法的局限性，采用不同平均数法的局限性，采用不同平均数间用不同的显著差数标准进行比较，它可用于平均间用不同的显著差数标准进行比较，它可用于平均数间的所有相互比较。数间的所有相互比较。(一一)最
15、小显著差数法（最小显著差数法（LSD法）法）1.检验的方法检验的方法(1)(1)先计算出达到差异显著的最小差先计算出达到差异显著的最小差 数，记为数，记为LSDLSD (2)(2)用两个处理平均数的差值绝对值用两个处理平均数的差值绝对值 与与LSDLSD比较：比较：x x1 1x x2 2-(一一)最小显著差数法（最小显著差数法（LSD法）法）1.检验的方法检验的方法(1)(1)先计算出达到差异显著的最小差数，记为先计算出达到差异显著的最小差数，记为LSDLSD 由由t=得得LSD0.05=t0.05 LSD0.01=t0.01 x x1 1x x2 2-S=1n2se2(+)当当n1=n2时
16、：时：x x1 1x x2 2-S=2se2 n平均数差数标准误的计算公式：平均数差数标准误的计算公式：处理内方差处理内方差t x x1 1x x2 2-Sx x1 1x x2 2-x x1 1x x2 2-Sx x1 1x x2 2-x x1 1x x2 2-Sx x1 1x x2 2-S 1n11.检验的方法检验的方法(2)(2)再用两个处理平均数的差值绝对值再用两个处理平均数的差值绝对值 与与LSDLSD比较：比较：x x1 1x x2 2-x x1 1x x2 2-LSD，即即 和和 在给定的在给定的水平上差异不显著水平上差异不显著 x x1 1x x2 2拒绝拒绝H Ho o接受接受
17、H Ho o(一一)最小显著差数法（最小显著差数法（LSD法）法）x x1 1x x2 2即即 和和 在给定的在给定的水平上差异显著水平上差异显著x x1 1x x2 2-LSD，变异来源变异来源SSdfs2FF0.05F0.01品种间品种间品种内品种内103.94109.3631234.6479.1133.802*3.495.95总变异总变异213.3015不同品种猪不同品种猪4 4个月增重量的方差分析表个月增重量的方差分析表例例=2se2=29.113 42.1346查查t值表，当误差自由度值表，当误差自由度dfdfe e=12时，时，=2.179 2.1346=4.6513(kg)=3.
18、056 2.1346=6.5233(kg)t0.05 2.179，t0.01 3.056nx x1 1x x2 2-SLSD0.05=t0.05 x x1 1x x2 2-SLSD0.01=t0.01 x x1 1x x2 2-S2.结果表示方法结果表示方法(一一)最小显著差数法（最小显著差数法（LSD法）法）梯形法标记字母法标记字母法标记字母法 首先将全部平均数首先将全部平均数从大到小从大到小依次排列。然后在依次排列。然后在最大最大的平均的平均数上标字母数上标字母a a，将该平均数与，将该平均数与以下各平均数以下各平均数相比，凡相比，凡相差不显相差不显著著的（的（LSD LSD）都标上字母）
19、都标上字母a a，直至某个与之，直至某个与之相差显著相差显著的则标的则标字母字母b b。再以。再以该标有该标有b b的平均数的平均数为标准，与各个为标准，与各个比它大比它大的平均数的平均数比较，凡差数差异不显著的在字母比较，凡差数差异不显著的在字母a a的右边加标字母的右边加标字母b b。然后再。然后再以以标标b b的最大平均数的最大平均数为标准与以下未曾标有字母的平均数比较，为标准与以下未曾标有字母的平均数比较，凡差数差异不显著的继续标以字母凡差数差异不显著的继续标以字母b b，直至差异显著的平均数，直至差异显著的平均数标字母标字母c c，再与上面的平均数比较。如此重复进行，直至最小，再与上
20、面的平均数比较。如此重复进行，直至最小的平均数有了标记字母，并与上面的平均数比较后为止。的平均数有了标记字母，并与上面的平均数比较后为止。(一一)最小显著差数法（最小显著差数法（LSD法）法）标记字母法标记字母法品种品种平均数平均数差异显著性差异显著性0.050.050.010.01大白大白沈花沈花沈白沈白沈黑沈黑30.930.927.927.925.825.824.124.1a aA A例例不同品种间不同品种间4 4个月增重量差异显著表个月增重量差异显著表abbbAABBBx xi i结果表明：结果表明：大白和沈黑增重大白和沈黑增重量差异达到了极量差异达到了极显著标准，大白显著标准，大白与沈
21、白之间的差与沈白之间的差异达到了显著标异达到了显著标准，其他品种间准，其他品种间差异不显著。差异不显著。LSD0.05=4.6513LSD0.01=6.5233标记字母法标记字母法在各平均数间，凡有一个相同标记字母的即在各平均数间，凡有一个相同标记字母的即为差异不显著，凡具不同标记字母的即为差异显为差异不显著，凡具不同标记字母的即为差异显著。著。差异极显著标记方法相同，但用大写字母标记。差异极显著标记方法相同，但用大写字母标记。(一一)最小显著差数法（最小显著差数法（LSD法）法）梯形比较法梯形比较法又叫三角形法，是将各处理的平均数差数按梯形列于又叫三角形法，是将各处理的平均数差数按梯形列于表
22、中，并将这些差数和表中，并将这些差数和LSDLSD值比较：值比较：差数差数 LSD LSD0.050.05差异显著差异显著*差数差数 LSD LSD0.010.01差异极显著差异极显著*差数差数 LSD LSD0.050.05差异不显著差异不显著(一一)最小显著差数法（最小显著差数法（LSD法）法）例例不同品种间不同品种间4 4个月增重量差异显著表个月增重量差异显著表品种品种平均数平均数差异显著性差异显著性大白大白沈花沈花沈白沈白沈黑沈黑30.930.927.927.925.825.824.124.16.8 6.8*3.83.81.71.75.1 5.1*2.12.13.03.0 x xi i
23、x xi i-24.1-24.1x xi i-25.8-25.8x xi i-27.9-27.9LSD0.05=4.6513LSD0.01=6.5233结果表明：大白和沈黑增重量差异达到了极显著标准，大结果表明：大白和沈黑增重量差异达到了极显著标准，大白与沈白之间的差异达到了显著标准，其他品种间差异不显著白与沈白之间的差异达到了显著标准，其他品种间差异不显著LSDLSD法应用的说明法应用的说明(一一)最小显著差数法（最小显著差数法（LSD法）法）1.1.进行进行LSDLSD检验时，这一对平均数的比较是检验时，这一对平均数的比较是检验之前检验之前已经指定已经指定的，且经的，且经F F检验证实平均
24、数间的差异已检验证实平均数间的差异已达到达到显著显著之后，才可以进行之后，才可以进行LSDLSD检验。检验。3.3.LSDLSD 法适用于法适用于各处理组与对照组各处理组与对照组的比较，不适用的比较，不适用于处理组间的比较。于处理组间的比较。2.2.LSDLSD 法实质上是法实质上是t t 检验检验，但，但LSDLSD 法是利用法是利用F F 检验检验中的误差自由度中的误差自由度dfdfe e 查查t t 临界值，利用误差方差临界值，利用误差方差s se e2 2 计计算平均数差异标准误，从一定程度上缓解了算平均数差异标准误，从一定程度上缓解了t t检验过检验过程中的三个弊病，但是程中的三个弊
25、病，但是LSDLSD法仍然存在提高犯法仍然存在提高犯错误错误的概率，所以进行的概率，所以进行LSDLSD检验必须限制其应用范围。检验必须限制其应用范围。(二二)最小显著极差法（最小显著极差法（LSR法）法）是指不同平均数间用不同的显著差数标准进行是指不同平均数间用不同的显著差数标准进行比较，可用于平均数间的所有相互比较。比较，可用于平均数间的所有相互比较。新复极差法新复极差法（New multiple rang method）SSR法法q q 检验检验（q-test）新复极差法（新复极差法（SSR）SSR法又称Duncan法。无效假设H0为：A A B B=0=0(1)(1)按相比较的样本容量
26、计算按相比较的样本容量计算平均数标准误平均数标准误:当当n1 n2n时时(2)(2)根据误差方差根据误差方差s se e2 2所具有自由度所具有自由度dfdfe e和比较所含平均数个数和比较所含平均数个数M M，查查SSRSSR值值（附表（附表8 8），然后算出最小显著极差值（），然后算出最小显著极差值（LSRLSR值值）。）。(3)(3)将各平均数按大小顺序排列，用各个将各平均数按大小顺序排列，用各个M M值的值的LSRLSR值，值，检验检验各平均数间极差的显著性。各平均数间极差的显著性。nsexS2 xSSSRLSR 例例例：例：n=4，se2=9.113，dfdfe e12查附表查附表8
27、，当，当dfdfe e 12，M2时，时，LSR0.05 1.50943.084.65LSR0.01 1.5094 4.326.52当当M M3 3，M M4 4时，按同理计算，将结果列于下表：时，按同理计算，将结果列于下表：SSR0.05 3.08，SSR0.014.32)(5094.14113.92kgnsSex 不同品种不同品种4 4个月增重量试验个月增重量试验LSRLSR值（新复极差法）值（新复极差法）M234SSR0.05SSR0.01LSR0.05LSR0.013.084.324.656.523.224.504.886.793.314.625.006.97品种品种平均数平均数大白大
28、白沈花沈花沈白沈白沈黑沈黑30.927.925.824.1大白与沈黑：大白与沈黑：M M4 4，极差，极差6.86.85.005.00大白与沈白：大白与沈白：M M3 3，极差，极差5.15.14.884.88大白与沈花：大白与沈花：M M2 2，极差，极差3.03.04.654.65M=M=相隔数相隔数+2+2品种品种平均数平均数差异显著性差异显著性0.050.01大白大白沈花沈花沈白沈白沈黑沈黑30.927.925.824.1aabbbAAAA结论：猪的结论：猪的4 4个品种中只有大白与沈黑，大白与沈白个品种中只有大白与沈黑，大白与沈白4 4个月增重量差异达到显著，其他品种间差异不显著。个
29、月增重量差异达到显著，其他品种间差异不显著。猪品种间猪品种间4 4个月增重量差异显著性比较表（新复极差法）个月增重量差异显著性比较表（新复极差法）也称也称Newman-keulsNewman-keuls检验，方法与新复极差法相检验，方法与新复极差法相似，其区别仅在于计算最小显著极差似，其区别仅在于计算最小显著极差LSRLSR时不是查时不是查SSRSSR，而是查，而是查q q值（附表值（附表9 9）还对上例作还对上例作q q检验检验：1.5094,查查q值表，值表，dfe12,M=2时时q0.05 3.08，q0.014.32。同理可查。同理可查M3，M=4时的时的q值，算出最小显著极差值，算出
30、最小显著极差LSR。q-检验法检验法xSqLSR xSq-检验检验M234q0.05q0.01LSR0.05LSR0.013.084.324.656.523.775.045.697.614.205.506.348.30不同品种不同品种4个月增重量试验个月增重量试验LSR值（值（q检验）检验）品种品种平均数平均数大白大白沈花沈花沈白沈白沈黑沈黑30.930.927.927.925.825.824.124.1大白与沈黑：大白与沈黑：M M4 4，极差，极差6.86.86.346.34大白与沈白：大白与沈白：M M3 3，极差，极差5.15.15.695.69大白与沈花：大白与沈花：M M2 2，极
31、差，极差3.03.04.654.65(二二)最小显著极差法（最小显著极差法（LSR法）法）不同品种间不同品种间4个月增重量差异显著性比较表（新复极差法）个月增重量差异显著性比较表（新复极差法）品种品种平均数平均数差异显著性差异显著性0.050.01大白大白沈花沈花沈白沈白沈黑沈黑30.927.925.824.1aababbAAAA结论：猪的结论：猪的4 4个品种中只有大白与沈黑个品种中只有大白与沈黑4 4个月增重量个月增重量差异达到显著，其他品种间差异不显著。差异达到显著，其他品种间差异不显著。LSD0.05=4.6513LSD0.01=6.5233M234q0.05q0.01LSR0.05L
32、SR0.013.084.324.656.523.775.045.697.614.205.506.348.30M234SSR0.05SSR0.01LSR0.05LSR0.013.084.324.656.523.224.504.886.793.314.625.006.97当样本数当样本数k=2k=2时，时，LSDLSD法、法、LSRLSR法和法和q q检验法的显著性尺度是相同的。检验法的显著性尺度是相同的。当当M3M3时，三种检验的显著尺度便不相同。时，三种检验的显著尺度便不相同。因此，在实际计算中：因此，在实际计算中：对于精度要求高的试验对于精度要求高的试验q检验法检验法一般试验一般试验SSR检
33、验法检验法试验中各个处理均数皆与对照相比的试验试验中各个处理均数皆与对照相比的试验LSD检验法检验法方差分析的基本步骤方差分析的基本步骤（1 1）将样本数据的）将样本数据的总平方和总平方和与与总自由度总自由度分解为各变分解为各变异因素的平方和与自由度；异因素的平方和与自由度；（2 2）列方差分析表进行）列方差分析表进行F F检验检验，以弄清各变异因素，以弄清各变异因素在总变异中的重要程度；在总变异中的重要程度；（3 3）对各处理平均数进行）对各处理平均数进行多重比较多重比较。第二节第二节单因素方差分析单因素方差分析单因素方差分析单因素方差分析在试验中所考虑的因素只有一个时，称为单因在试验中所考
34、虑的因素只有一个时，称为单因素实验。素实验。单因素方差分析是最简单的一种，它适用于只单因素方差分析是最简单的一种，它适用于只研究一个试验因素的资料，目的在于正确判断该试研究一个试验因素的资料，目的在于正确判断该试验因素各处理的相对效果（各水平的优劣）验因素各处理的相对效果（各水平的优劣）.单因素方差分析单因素方差分析组组内内观观测测数数目目的的不不同同组内观测次数相等方差分析组内观测次数不相等的方差分析组内观测次数相等的方差分析组内观测次数相等的方差分析 是指在是指在k k组处理中，每一处理皆含有组处理中，每一处理皆含有n n个观测值，其方个观测值，其方差分析方法前面已做介绍，这里以方差分析表
35、的形式给出差分析方法前面已做介绍，这里以方差分析表的形式给出有关计算公式：有关计算公式：s se e2 2k(n-1)k(n-1)SSSSe e误差或处理内误差或处理内nk-1nk-1SSSST T总和总和s st t2 2k-1k-1SSSSt t处理间处理间F F均方均方自由度自由度平方和平方和变异来源变异来源F Fs st t2 2s se e2 2测定东北、内蒙古、河北、安徽、贵州测定东北、内蒙古、河北、安徽、贵州5 5个地区黄鼬冬个地区黄鼬冬季针毛的长度，每个地区随机抽取季针毛的长度，每个地区随机抽取4 4个样本，测定的结果如个样本，测定的结果如表，试比较各地区黄鼬针毛长度差异显著性
36、。表，试比较各地区黄鼬针毛长度差异显著性。地区地区东北东北内蒙古内蒙古河北河北安徽安徽贵州贵州合计合计1 132.032.029.229.225.225.223.323.322.322.32 232.832.827.427.426.126.125.125.122.522.53 331.231.226.326.325.825.825.125.122.922.94 430.430.426.726.726.726.725.525.523.723.7126.4126.4109.6109.6104.1104.199.099.091.491.4530.5530.531.6031.6027.4027.402
37、6.0326.0324.7524.7522.8522.8526.5326.533997.443997.443007.993007.992709.982709.982453.162453.162089.642089.6414258.2114258.21x2xx在这里，在这里，k=5k=5，n=4n=4。（1 1）首先计算出，及，并列于表中。）首先计算出，及，并列于表中。x2x（2 2）计算出离均差平方和与自由度：）计算出离均差平方和与自由度：51.14071455.53022nkTC7.18651.1407121.142582CxSST71.17351.14071)4.916.1094.126(
38、41222CTnSSit21tTeSSSSSS186.7-173.7112.991 nkdfT201191 kdft5(41)15)1(nkdfe（3 3）计算方差：）计算方差：43.43471.1732tttdfSSs866.01599.122eeedfSSs514（4 4）进行）进行F F 检验：检验：15.50866.043.4322etssF查查F F 值表，得值表，得F F0.05(4,15)0.05(4,15)3.063.06，F F0.01(4,15)0.01(4,15)4.894.89，故，故F FF F0.01 0.01，P 0.01P LSDLSD0.010.01，说明两地
39、间差异极显著，标说明两地间差异极显著，标以不同的大写字母；以不同的大写字母；LSDLSD0.010.01 各组间差数各组间差数 LSDLSD0.05 0.05，说明两地间差异显著，说明两地间差异显著，标以不同的小写字母；标以不同的小写字母；地区地区平均数平均数差异显著性差异显著性0.050.050.010.01东北东北内蒙古内蒙古河北河北安徽安徽贵州贵州31.6031.6027.4027.4026.0326.0324.7524.7522.8522.85a ab bbcbcc cd dA AB BBCBCCDCDD D结果表明，东北与其它地区，内蒙古与安徽、贵州，结果表明，东北与其它地区，内蒙古
40、与安徽、贵州，河北与贵州黄鼬冬季针毛长度差异均达到极显著水平，河北与贵州黄鼬冬季针毛长度差异均达到极显著水平，安徽与贵州差异达到显著水平，而内蒙古与河北、河北安徽与贵州差异达到显著水平，而内蒙古与河北、河北与安徽差异不显著。与安徽差异不显著。根据组内观测次数目不同根据组内观测次数目不同组内观测次数相组内观测次数相等的方差分析等的方差分析组内观测次数不组内观测次数不相等的方差分析相等的方差分析 有时由于试验条件的限制，不同处理的观测次数不同，有时由于试验条件的限制，不同处理的观测次数不同，k k个处理的观测次数依次是个处理的观测次数依次是n n1 1 、n n2 2 、n nk k的单因素分组资
41、料，的单因素分组资料，前面介绍的方差分析方法仍然可用，但由于总观测次数不是前面介绍的方差分析方法仍然可用，但由于总观测次数不是nknk，而是而是 次，在计算平方和时公式稍有改变。次，在计算平方和时公式稍有改变。kiin1组内观测次数不相等的方差分析组内观测次数不相等的方差分析se2ni-1 SSe误差或处理内误差或处理内SST总和总和st2k-1处理间处理间F方差方差自由度自由度平方和平方和变异来源变异来源Fst2se2CnTii2ni-k 在作多重比较时，首先应计算平均数的标准误。由在作多重比较时，首先应计算平均数的标准误。由于各组内观测次数不等，因此应需先算得各于各组内观测次数不等，因此应
42、需先算得各n ni i的平均数的平均数n n0 0：1022knnniiin02022 21nssnssexxex或各个处理的样本容量用于LSR检验用于LSD检验用某种小麦种子进行切胚乳试验，实验分为三种处理：用某种小麦种子进行切胚乳试验，实验分为三种处理：整粒小麦（整粒小麦（I I），切去一半胚乳（），切去一半胚乳（IIII），切去全部胚乳），切去全部胚乳（IIIIII），同期播种与条件较一致的花盆内，出苗后每盆选），同期播种与条件较一致的花盆内，出苗后每盆选留两株，成熟后进行单株考种，每株粒重结果如表，试进留两株，成熟后进行单株考种，每株粒重结果如表，试进行方差分析。行方差分析。处理处理株
43、号株号合计合计平均数平均数12345678910III21202429252224252822232525292130312627242626 20 2120424414625.524.424.3小麦切胚乳试验单株粒重（小麦切胚乳试验单株粒重（g g）处理处理株号株号合计合计平均数平均数12345678910III21202429252224252822232525292130312627242626 20 2120424414625.524.424.3小麦切胚乳试验单株粒重（小麦切胚乳试验单株粒重（g）n1 8，n2 10，n3 6，N24(1)平方和的计算平方和的计算5.147012414
44、624420422inTCSST x2 C=212+292+262-C=230.58.66146102448204222CSStSSe SST-SSt 230.5-6.8223.7(2)自由度的计算自由度的计算231241iTndf21324kndfie2131 kdft(3)列方差分析表列方差分析表变异来源变异来源SSdfs2F处理间处理间处理内处理内6.8233.72213.410.70.318总变异总变异230.523由表中结果可知，由表中结果可知，F F1 1，表明三种处理的每株粒重无，表明三种处理的每株粒重无显著差异。显著差异。由于由于F检验不显著，不需要再作多重比较。如果检验不显著
45、，不需要再作多重比较。如果F检验检验显著，则需要进一步计算显著，则需要进一步计算n0，并求得，并求得 （用于（用于LSR检验）检验）或或 （用于（用于LSD检验），即检验），即x xS88.7224)6108(2422221022knnniiin16.187.10 02nssex64.187.10220221nssexxx x1 1x x2 2-S需要指出的是，不等观测次需要指出的是，不等观测次数的试验要尽量避免，因为这样数的试验要尽量避免，因为这样的试验数据不仅计算麻烦，而且的试验数据不仅计算麻烦，而且也降低了分析的灵敏度。也降低了分析的灵敏度。在实际工作中经常会遇到两种因素共同影响试验结果
46、的情况在实际工作中经常会遇到两种因素共同影响试验结果的情况每一观测值都是某一特定温度与光照条件共同作用的结果。每一观测值都是某一特定温度与光照条件共同作用的结果。温度光照B1B2BcA1A1 B1A1B2A1 BcA2A2 B1A2B2A2 BcArAr B1ArB2Ar Bc第三节第三节 无重复观测值无重复观测值 的二因素方差分析的二因素方差分析定义定义：是指对：是指对试验指标试验指标同时受到两个试验同时受到两个试验因素因素作用的试验资料的方差分析。作用的试验资料的方差分析。二因素都是固定因素二因素都是固定因素二因素均为随机因素二因素均为随机因素固定模型固定模型随机模型随机模型混合模型混合模
47、型一个因素是固定因素，一个因素是固定因素，一个因素是随机因素一个因素是随机因素二因素方差分析二因素方差分析三种模型在计算上类似，但在对待检验及结果解释时有三种模型在计算上类似，但在对待检验及结果解释时有所不同所不同。主效应和互作主效应和互作主效应主效应（main effectmain effect）：各试验因素的相对独立作用各试验因素的相对独立作用互作互作（interactioninteraction）：某一因素在另一因素的不同水平上所产生的效应不同。某一因素在另一因素的不同水平上所产生的效应不同。因素间的交互作用显著与否关系到主效应的利用价值因素间的交互作用显著与否关系到主效应的利用价值二因
48、素间是否存在交互作用有专门的统计判断方法，二因素间是否存在交互作用有专门的统计判断方法，有时也可根据专业知识判断。有时也可根据专业知识判断。如果交互作用如果交互作用显著显著，则各因素的效应就，则各因素的效应就不能累加不能累加，最优，最优处理组合的选定应根据处理组合的选定应根据各处理组合的直接表现选定各处理组合的直接表现选定。有时交。有时交互作用相当大，甚至可以忽略主效应。互作用相当大，甚至可以忽略主效应。如果交互作用如果交互作用不显著不显著，则各因素的效应可以，则各因素的效应可以累加累加，各因，各因素的素的最优水平组合起来最优水平组合起来，即为最优的处理组合。，即为最优的处理组合。依据经验或专
49、业知识，判断二因素无交依据经验或专业知识，判断二因素无交互作用时，每个处理可只设一个观测值，即互作用时，每个处理可只设一个观测值，即假定假定A A因素有因素有a a个水平，个水平，B B因素有因素有b b个水平，每个水平，每个处理组合只有一个观测值。个处理组合只有一个观测值。无重复观测值的二因素方差分析无重复观测值的二因素方差分析因素因素A A因素因素B B总和总和T Ti i.平均数平均数B B1 1B B2 2B Bb bA A1 1x x1111x x1212x x1b1bT T1 1.A A2 2x x2121x x2222x x2b2bT T2 2.A Aa ax xa1a1x xa
50、2a2x xababT Ta a.总和总和T.T.j jT.T.1 1T.T.2 2T.T.b bT T平均数平均数.ix.1x.2x.axxjx.1.x2.xbx.无重复观测值的二因素分组资料模式无重复观测值的二因素分组资料模式二因素方差分析的线性模型二因素方差分析的线性模型因素间不存在交互作用，所以二因素方差因素间不存在交互作用，所以二因素方差分析观测值的线性模型是分析观测值的线性模型是xij=+i+j+iji 和j 是A因素和B因素的效应，可以是固定的，也可以是随机的，且，ij是随机误差，彼此独立且服从N(0，2)。i=1,2,a;j=1,2,b0ii（1 1）平方和的分解为：）平方和的
