1、 比数学3中“回归”增加的内容数学统计1.画散点图画散点图2.了解最小二乘法了解最小二乘法的思想的思想3.求回归直线方程求回归直线方程ybxa4.用回归直线方程用回归直线方程解决应用问题解决应用问题选修2-1统计案例5.引入线性回归模型引入线性回归模型ybxae6.了解模型中随机误差项了解模型中随机误差项e产产生的原因生的原因7.了解相关指数了解相关指数 R2 和模型拟和模型拟合的效果之间的关系合的效果之间的关系8.了解残差图的作用了解残差图的作用9.利用线性回归模型解决一类利用线性回归模型解决一类非线性回归问题非线性回归问题10.正确理解分析方法与结果正确理解分析方法与结果问题问题1 1：正
2、方形的面积正方形的面积y y与正方形的边长与正方形的边长x x之间之间 的的函数关系函数关系是是y=xy=x2 2确定性关系确定性关系问题问题2 2：某水田水稻产量某水田水稻产量y y与施肥量与施肥量x x之间是否之间是否 -有一个确定性的关系？有一个确定性的关系？例如：例如：在在 7 7 块并排、形状大小相同的试验田块并排、形状大小相同的试验田上上 进行施肥量对水稻产量影响的试验，得到进行施肥量对水稻产量影响的试验，得到如下所示的一组数据：如下所示的一组数据：施化肥量施化肥量x x 15 20 25 30 35 40 45 15 20 25 30 35 40 45水稻产量水稻产量y y 33
3、0 345 365 405 445 450 455 330 345 365 405 445 450 455复习复习:变量之间的两种关系变量之间的两种关系自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做机性的两个变量之间的关系叫做相关关系相关关系。1 1、定义：、定义：1 1）：相关关系是一种不确定性关系；）：相关关系是一种不确定性关系；注注对具有相关关系的两个变量进行对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫统计分析的方法叫回归分析回归分析。2 2）：）：2 2、现实生活中存在着大量的相关关系。现实生活中存在着大量的相关关系。探索：
4、水稻产量探索：水稻产量y y与施肥量与施肥量x x之间大致有何之间大致有何规律？规律？10 20 30 40 5010 20 30 40 50500500450450400400350350300300发现：图中各点，大致分布在某条直线附近。发现：图中各点，大致分布在某条直线附近。探索：在这些点附近可画直线不止一条，探索：在这些点附近可画直线不止一条，哪条直线最能代表哪条直线最能代表x x与与y y之间的关系呢？之间的关系呢？x xy y施化肥量施化肥量水稻产量水稻产量施化肥量施化肥量x x 15 20 25 30 35 40 45 15 20 25 30 35 40 45水稻产量水稻产量y
5、y 330 345 365 405 445 450 455 330 345 365 405 445 450 455散点图散点图例例1 从某大学中随机选取从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如下表所示。名女大学生，其身高和体重数据如下表所示。编号12345678身高/cm165165 157 170 175 165 155 170体重/kg4857505464614359求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重。的女大学生的体重。解：解：1、选取身高为自变量、选取身高为自
6、变量x，体重为因变量，体重为因变量y，作散点图：，作散点图：2、由散点图知道身高和体重有比较好的、由散点图知道身高和体重有比较好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程线性相关关系，因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系。刻画它们之间的关系。3、从散点图还看到，样本点散布在某一条、从散点图还看到，样本点散布在某一条直线的附近，而不是在一条直线上，所以直线的附近，而不是在一条直线上，所以不能用一次函数不能用一次函数y=bx+a描述它们关系描述它们关系。我们可以用下面的我们可以用下面的线性回归模型线性回归模型来表示：来表示：y=bx+a+e，其中，其中a和和b为模型的未知参数，为模型的未知参数，e
7、称为随机误差称为随机误差。思考思考产生随机误差项产生随机误差项e的原因是什么？的原因是什么？思考思考产生随机误差项产生随机误差项e的原因是什么？的原因是什么？随机误差随机误差e e的来源的来源(可以推广到一般）：可以推广到一般）：1、其它因素的影响：影响体重y 的因素不只是身高 x，可能还包括遗传基因、饮食习惯、生长环境等因素；2、用线性回归模型近似真实模型所引起的误差；3、身高 x 的观测误差。函数模型与回归模型之间的差别函数模型与回归模型之间的差别函数模型：abxy回归模型：eabxy可以提供选择模型的准则例例1 从某大学中随机选取从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如下表所示
8、。名女大学生，其身高和体重数据如下表所示。5943616454505748体重/kg170155165175170157165165身高/cm87654321编号求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重。的女大学生的体重。根据最小二乘法估计 和 就是未知参数a和b的最好估计，abniiniiiniiniiixnxyxnyxxbyaxxyyxxb1221121)()(制表7 8 合计654321ixy ，ixxiyy()()iixx yy2()ixxniiniiynyxnx1111，
9、其中所以回归方程是所以回归方程是0.84985.712yx所以，对于身高为所以，对于身高为172cm的女大学生，由回归方程可以预报的女大学生，由回归方程可以预报其体重为其体重为0.849 7285.71260.316()ykg(,)x y 称为样本点的中心探究：探究：身高为身高为172cm的女大学生的体重一定是的女大学生的体重一定是60.316kg吗？吗？如果不是，你能解析一下原因吗？如果不是，你能解析一下原因吗？例例1 从某大学中随机选取从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如下表所示。名女大学生，其身高和体重数据如下表所示。5943616454505748体重/kg1701551
10、65175170157165165身高/cm87654321编号求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重。的女大学生的体重。712.85849.0ab，于是得到探究：探究：身高为身高为172cm的女大学生的体重一定是的女大学生的体重一定是60.316kg吗？如果不是，你能解析一下原因吗？吗？如果不是，你能解析一下原因吗？答：身高为答：身高为172cm的女大学生的体重不一定是的女大学生的体重不一定是60.316kg，但一般可以认为她的体重在，但一般可以认为她的体重在60.316kg左
11、右。左右。60.136kg不是每个身高为不是每个身高为172cm的女大学生的体重的女大学生的体重的预测值，而是所有身高为的预测值，而是所有身高为172cm的女大学生的女大学生平均平均体重的预测值体重的预测值。函数模型与回归模型之间的差别函数模型与回归模型之间的差别函数模型：abxy回归模型：eabxy 线性回归模型线性回归模型y=bx+a+e增加了随机误差项增加了随机误差项e，因变量，因变量y的值的值由自变量由自变量x和随机误差项和随机误差项e共同确定，即共同确定，即自变量自变量x只能解析部分只能解析部分y的变化的变化。在统计中，我们也把自变量在统计中，我们也把自变量x称为解析变量，因变量称为
12、解析变量，因变量y称为预称为预报变量。报变量。1.用相关系数用相关系数 r 来衡量来衡量2.公式：公式：12211niiinniiiixxyyrxxyy求出线性相关方程后，求出线性相关方程后，说明身高说明身高x每每增加一个单位增加一个单位,体重体重y就增加就增加0.849个单位个单位,这表这表明体重与身高具有正的线性相关关系明体重与身高具有正的线性相关关系.如何描如何描述它们之间线性相关关系的强弱呢述它们之间线性相关关系的强弱呢?849.0b00rxyrxy当时，表示 与 为正相关;当时，表示 与 为负相关、当、当 时，时，x x与与y y为完全线性相关，它们之为完全线性相关，它们之间存在确定
13、的函数关系。间存在确定的函数关系。、当、当 时，表示时，表示x x与与y y存在着一定的线存在着一定的线性相关，性相关，r r的绝对值越大，越接近于的绝对值越大，越接近于1 1，表示，表示x x与与y y直线相关程度越高，反之越低。直线相关程度越高，反之越低。1r10 r3.性质：性质：0.751,1,0.75,0 25,0.25,rrr 当，表明两个变量正相关很强；当表明两个变量负相关很强；当.表明两个变量相关性较弱。相关关系的测度相关关系的测度（相关系数取值及其意义）对回归模型进行统计检验对回归模型进行统计检验思考：思考：如何刻画预报变量（体重）的变化？这个变化在多大程度上如何刻画预报变量
14、（体重）的变化？这个变化在多大程度上与解析变量（身高）有关？在多大程度上与随机误差有关？与解析变量（身高）有关？在多大程度上与随机误差有关？假设身高和随机误差的不同不会对体重产生任何影响，那么所假设身高和随机误差的不同不会对体重产生任何影响，那么所有人的体重将相同。有人的体重将相同。在体重不受任何变量影响的假设下，设在体重不受任何变量影响的假设下，设8名女名女大学生的体重都是她们的平均值，即大学生的体重都是她们的平均值，即8个人的体重都为个人的体重都为54.5kg。54.554.554.554.554.554.554.554.5体重/kg170155165175170157165165身高/c
15、m87654321编号54.5kg在散点图中，所有的点应该落在散点图中，所有的点应该落在同一条水平直线上，但是观在同一条水平直线上，但是观测到的数据并非如此。测到的数据并非如此。这就意这就意味着味着预报变量（体重）的值预报变量（体重）的值受解析变量（身高）和随机误受解析变量（身高）和随机误差的影响差的影响。5943616454505748体重/kg170155165175170157165165身高/cm87654321编号 例如，编号为例如，编号为6的的女大学生的体重并没有女大学生的体重并没有落在水平直线上，她的落在水平直线上，她的体重为体重为61kg。解析变量。解析变量（身高）和随机误差共
16、（身高）和随机误差共同把这名学生的体重从同把这名学生的体重从54.5kg“推推”到了到了61kg，相差相差6.5kg，所以，所以6.5kg是解析变量和随机误差是解析变量和随机误差的的组合效应组合效应。编号为编号为3的女大学生的体重并也没有落在水平直线上，她的的女大学生的体重并也没有落在水平直线上，她的体重为体重为50kg。解析变量（身高）和随机误差共同把这名学生的。解析变量（身高）和随机误差共同把这名学生的体重从体重从50kg“推推”到了到了54.5kg，相差，相差-4.5kg，这时解析变量和，这时解析变量和随机误差的组合效应为随机误差的组合效应为-4.5kg。54.5kg用这种方法可以对所有
17、预报变量计算组合效应。用这种方法可以对所有预报变量计算组合效应。数学上，把每个效应（观测值减去总的平均数学上，把每个效应（观测值减去总的平均值）的平方加起来，即用值）的平方加起来，即用21()niiyy表示总的效应，称为表示总的效应，称为总偏差平方和总偏差平方和。在例在例1中，总偏差平方和为中，总偏差平方和为354。5943616454505748体重/kg170155165175170157165165身高/cm87654321编号 那么，在这个总的效应（总偏差平方和）中，有那么，在这个总的效应（总偏差平方和）中，有多少来自于解析变量（身高）？有多少来自于随机多少来自于解析变量（身高）？有多
18、少来自于随机误差？误差？假设随机误差对体重没有影响，也就是说，体重仅受身高的影响，那么散点图中所有的点将完全落在回归直线上。但是，在图中，数据点并没有完全落在回归直线上。这些点散这些点散布在回归直线附近，所以一定是随机误差把这些点从回归直布在回归直线附近，所以一定是随机误差把这些点从回归直线上线上“推推”开了开了。因此，数据点和它在回归直线上相应位置的差异因此，数据点和它在回归直线上相应位置的差异 是随机误差的效应，称是随机误差的效应，称 为为残差残差。)iiyy(iiieyy=在例在例1中，残差平方和约为中，残差平方和约为128.361。例如，编号为例如，编号为6的女大学生，计算随机误差的效
19、应（残差）为：的女大学生，计算随机误差的效应（残差）为：61(0.849 16585.712)6.627对每名女大学生计算这个差异，然后分别将所得的值平方后对每名女大学生计算这个差异，然后分别将所得的值平方后加起来，用数学符号表示为：加起来，用数学符号表示为：21()niiiyy称为称为残差平方和残差平方和，它代表了它代表了随机误差的效应随机误差的效应。由于解析变量和随机误差的总效应（总偏差平方和）为由于解析变量和随机误差的总效应（总偏差平方和）为354，而随机误差的效应为而随机误差的效应为128.361，所以解析变量的效应为，所以解析变量的效应为354-128.361=225.639，这个值
20、称为，这个值称为回归平方和。回归平方和。解析变量和随机误差的总效应（总偏差平方和）解析变量和随机误差的总效应（总偏差平方和）=解析变量的效应（回归平方和）解析变量的效应（回归平方和）+随机误差的效应（残差平方和）随机误差的效应（残差平方和）我们可以用我们可以用相关指数相关指数R2来刻画回归的效果，其计算公式是来刻画回归的效果，其计算公式是22121()11()niiiniiyyRyy 残差平方和。总偏差平方和 显然，显然，R2的值越大，说明残差平方和越小，也就是的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合效果越好。说模型拟合效果越好。在线性回归模型中，在线性回归模型中，R2表示解析变量对预报
21、变量变表示解析变量对预报变量变化的贡献率化的贡献率。R2越接近越接近1，表示回归的效果越好（因为，表示回归的效果越好（因为R2越接近越接近1，表示解析变量和预报变量的线性相关性越强）。表示解析变量和预报变量的线性相关性越强）。如果某组数据可能采取几种不同回归方程进行回归分如果某组数据可能采取几种不同回归方程进行回归分析，则可以通过比较析，则可以通过比较R2的值来做出选择，即的值来做出选择，即选取选取R2较大较大的模型作为这组数据的模型的模型作为这组数据的模型。总的来说：总的来说：相关指数相关指数R2是度量模型拟合效果的一种指标。是度量模型拟合效果的一种指标。在线性模型中，它在线性模型中，它代表
22、自变量刻画预报变量的代表自变量刻画预报变量的能力能力。我们可以用我们可以用相关指数相关指数R2来刻画回归的效果，其计算公式是来刻画回归的效果，其计算公式是22121()11()niiiniiyyRyy 残差平方和。总偏差平方和1354总计0.36128.361随机误差(e)0.64225.639解释变量(身高)比例平方和来源 从表中可以看出，解析变量对总效应约贡献了从表中可以看出，解析变量对总效应约贡献了64%，即，即R20.64，可以叙述为，可以叙述为“身高解析了身高解析了64%的体重变化的体重变化”，而随，而随机误差贡献了剩余的机误差贡献了剩余的36%。所以，身高对体重的效应比随机误。所以
23、，身高对体重的效应比随机误差的效应大得多。差的效应大得多。2xR解释变量（）对预报变量(y表示)的贡献率。r衡量两个变量之间线性相相关系数：关的强弱r2与R 的区别：2r2R在数值上：2221;2;3rRrR、先算相关系数、再算相关指数、算总偏差平方和;4、残差平方和=总偏差平方和总偏差平方和 在研究两个变量间的关系时，首先要根据散在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关，是否可以用点图来粗略判断它们是否线性相关，是否可以用回归模型来拟合数据。回归模型来拟合数据。残差分析与残差图的定义：残差分析与残差图的定义：然后，我们可以通过残差然后，我们可以通过残差 来来判断模
24、型拟合的效果，判断原始数据中是否存在判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据，可疑数据，这方面的分析工作称为残差分析这方面的分析工作称为残差分析。12,neee编号编号12345678身高身高/cm165165157170175165155170体重体重/kg4857505464614359残差残差-6.3732.6272.419-4.6181.1376.627-2.8830.382 我们可以利用图形来分析残差特性，作图时纵我们可以利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形
25、称为据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图残差图。下表列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相下表列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据。应的残差数据。iiieyy=使用公式使用公式 计算残差计算残差残差图的制作及作用。残差图的制作及作用。坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择；坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择；若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以横轴为心的带形区域横轴为心的带形区域；对于远离横轴的点，要特别注意对于远离横轴的点，要特别注意。身高与体重残差图异常点 错误数据 模型问题 几点说明：几点说明：第一个样本点
26、和第第一个样本点和第6个样本点的残差比较大，需要确认在采集过程中是否有人为个样本点的残差比较大，需要确认在采集过程中是否有人为的错误。如果数据采集有错误，就予以纠正，然后再重新利用线性回归模型拟合数的错误。如果数据采集有错误，就予以纠正，然后再重新利用线性回归模型拟合数据；如果数据采集没有错误，则需要寻找其他的原因。据；如果数据采集没有错误，则需要寻找其他的原因。另外，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，这另外，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。样的带状区域的宽度越窄，
27、说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。用身高预报体重时，需要注意下列问题：用身高预报体重时，需要注意下列问题：1、回归方程只适用于我们所研究的样本的总体；、回归方程只适用于我们所研究的样本的总体；2、我们所建立的回归方程一般都有时间性；、我们所建立的回归方程一般都有时间性；3、样本采集的范围会影响回归方程的适用范围；、样本采集的范围会影响回归方程的适用范围；4、不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值。、不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值。事实上，它是预报变量的可能取值的平均值。事实上，它是预报变量的可能取值的平均值。这些问题也使用于其他问题。这些问题也使用于其他
28、问题。一般地，建立回归模型的基本步骤为：一般地，建立回归模型的基本步骤为：（1）确定研究对象，明确哪个变量是解析变量，哪个变量）确定研究对象，明确哪个变量是解析变量，哪个变量是预报变量。是预报变量。（2）画出确定好的解析变量和预报变量的散点图，观察它）画出确定好的解析变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（如是否存在线性关系等）。们之间的关系（如是否存在线性关系等）。（3）由经验确定回归方程的类型（如我们观察到数据呈线）由经验确定回归方程的类型（如我们观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程性关系，则选用线性回归方程y=bx+a）.（4）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）。）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）。（5）得出结果后分析残差图是否有异常（个别数据对应）得出结果后分析残差图是否有异常（个别数据对应残差过大，或残差呈现不随机的规律性，等等），过存在残差过大，或残差呈现不随机的规律性，等等），过存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等。异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等。
